Нов.ПМС-2

критическую точку wниж.кр . (Q, n1 , n2 ) , где Q .

Если Wнабл. wнижн.кр. - нулевая гипотеза принимается. Если Wнабл. wнижн.кр. - нулевую гипотезу отвергают. Правило 3. При конкурирующей (альтернативной)

гипотезе H1 : F1 (x) F2 (x) надо найти верхнюю

критическую точку

wв ерх.кр. (Q;n1;n2 ) (n1 n2 1)n1 wнижн.кр. (Q;n1;n2 ),

где Q .

Если Wнабл. wв ерх.кр. - нулевую гипотезу принимают. Если Wнабл. wв ерх.кр. - нулевую гипотезу отвергают.

Замечание.

Если несколько элементов только одной выборки одинаковы, то в общем вариационном ряду их нумеруют как различные числа. Если совпадают элементы разных выборок, то им присваивают один и тот же порядковый номер, равный среднему арифметическому порядковых номеров, которые имели бы эти элементы до совпадения.

Б. Проверка нулевой гипотезы в случае, если объѐм хотя бы одной из выборок больше 25.

распределения по равенству:

(zкр ) (1 ) ,

2

61

знак [ ] означает целую часть числа. В остальном правило 1, приведенное п. А, сохраняется.

Правило 2. При альтернативах F1 (x) F2 (x) и F1 (x) F2 (x) нижнюю критическую точку находят по формуле (*), положив Q ;

zкр находят по табл. П3.2. функции нормального распределения по равенству

(zкр ) (1 2 ) .

2

В остальном правила 2-3, приведенные в п. А, сохраняются.

Задачи и решения

Задача 53

При 50 подбрасываниях монеты герб появился 20 раз. Можно ли считать монету симметричной? Принять α=0,10.

Решение:

При решении этой задачи используется статистика

m

G ( i npi )2 npi .

i 1

В этом случае число интервалов разбиения определяется из условия npi 10 или i 10.

При этом длина интервалов может быть разной.

Следует заметить, что при n 50 можно считать, что статистика G распределена по закону 2 в соответствии с теоремой Пирсона.

62

r l 1 2 0 1 1 (r число разрядов, на разбиен.опытные

Задача 54

Число выпадений герба при 20 подбрасываниях двух монет распределились следующим образом:

Согласуются ли эти результаты с предположениями о симметричности монет и независимости результатов подбрасываний? Принять α=0,05.

Решение:

При решении этой задачи, как и задачи 52, также используется статистика вида

m

G ( i npi )2 npi .

i 1

63

rl 1 3 0 1 2

экс2 кр2 H0 принимаем.

Ответ : H0 принимаем.

Задача 55

Для определения зависимости цвета волос жителей от их местожительства были обследованы три группы людей из районов А, В и С. Свидетельствуют ли приводимые ниже результаты обследования о зависимости цвета волос жителей от их местожительства? Принять α=0,05.

Решение:

Для решения данной задачи следует применить критерий однородности хи-квадрат. Статистика критерия такова:

изделий в одной партии, во второй количество партий содержащих это количество нестандартных изделий). Требуется при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что число нестандартных изделий Х распределено по закону Пуасона.

Решение:

1.Найдем выборочную среднюю

2. Примем в качестве оценки параметра распределения Пуассона выборочную среднюю =0.6 , то закон распределения будет иметь вид:

P200(k) (0.6)k e 0.6 pk k!

65

3. По табл. П3.1 находим вероятность рк появления k нестандартных изделий в 200 партиях, положив k=0, 1, 2, 3, 4

p0=P200(0)=0.5488 p1=P200(1)=0.3293 p2=P200(2)=0.0988 p3=P200(3)=0.0198 p4=P200(4)=0.0030

4. Найдем теоретические частоты по формуле

n|k npk 200pk .

Подставив в эту формулу найденные в пункте 3 значения вероятностей рк , получим:

n|0 = 200*0,5488=109,76 n1| = 200*0,3293=65,86 n|2 =200*0,0988=19,76 n|3 =200*0,0198=3,96

n|4 =200*0,0030=0,6

5. Сравним эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия 2 Пирсона. Для этого составим расчетную таблицу, учитывая значения, объединим малочисленные частоты (4+2=6) и соответствующие им теоретические частоты (3,96+0,60=4,56). Результаты занесем в таблицу

66

Из расчетной таблицы находим наблюдаемые значения Пирсона: χ набл2 =2,54. По выборке оценивался один параметр, то число степеней свободы L=4-1-1=2, где 4-число групп

случайной величины Х по закону Пуассона принимается.

Задача 57

Измерения 1000 деталей представлены в виде группированной выборки в таблице.

Проверить, пользуясь критерием Колмогорова, согласие полученных наблюдений с предположением, что величина Х подчиняется нормальному закону с математическим. ожиданием x =100,25 мм и СКО =1 мм при уровне значимости =0,005.

67

Решение:

Теоретическая функция распределения определяется формулой

F(x) 12 12 (x x)

12 (xi x) - ищется в табл. П3.2.

Из таблицы следует, что

dэкс n sup | Fn (x) F(x) | 1000 * 00963 31.6 * 0.0963 3.04 .

x

Для =0,005 из табл. П3.6 находим а=kкр=1,358

следовательно, принимается альтернатива Н1, т.е. гипотеза Н0 о нормальности распределения выборки наблюдений отвергается.

68

Лабораторная работа № 7. Критерии хи-квадрат проверки гипотез в пакете STATISTICA

Цель работы – изучить применение критерия хи-квадрат для анализа законов распределения случайных величин, полученных в результате эксперимента.

Теоретические сведения

Проверка простой гипотезы о вероятностях

Обозначим: A1, ..., Am - m возможных исходов некоторого опыта;

m

p1, ..., pm - вероятности cooтветствующих исходов, pi 1; i 1

n - число независимых повторений опыта;

1, ..., m - число появлений соответствующих исходов в n

m

опытах, i n ; i 1

p 10 , ..., p 0m - гипотетические значения вероятностей, p 0i 0,

m

pi0 1.

i 1

Требуется по наблюдениям 1,..., m проверить гипотезу Н о том , что вероятности p1, ..., pm имеют значения p10 , ..., p 0m ,

Мерой расхождения между гипотетическими и эмпирическими вероятностями принимается величина

69

которая с точностью до множителя n есть усредненное с

Последняя величина равна 0, если верна Н; если же Н не верна, то X2 .

Процедура проверки гипотезы состоит в том, что если величина X2 приняла ―слишком большое‖ значение, т.е. если

то гипотеза Н отклоняется; если это не так, будем говорить, что наблюдения не противоречат гипотезе. На вопрос, что означает ―слишком большое‖ значение, отвечает теорема Пирсона.

70