Розв’язок:
Ця задача є повністю подібною до попередньої задачі. У згоді з цим, інтенсивність випромінювання визначається формулою (6.8), в якій напрямок диполя визначатиметься не ортом , а іншим ортом :
.
В лабораторній системі координат орти і мають вигляд:
,
тому
.
Остаточно, при довільних виборах орієнтації дипольного моменту осцилятора Герца і точки спостереження інтенсивність випромінювання в лабораторній системі координат дорівнює:
. (6.12)
Напруженості електричного і магнітного полів у хвильовій зоні осцилятора Герца визначаються формулою, подібною до (6.9):
(6.13)
Задача 3. Заряд обертається за колом з кутовою частотою . Радіус кола дорівнює . Визначити інтенсивність та поляризацію випромінювання.
Розв’язок:
a) Розглянемо спочатку найпростіший випадок, коли коло, за яким рухається заряд, є розташованим у площині , а його центр співпадає з початком координат. В цьому випадку радіус-вектор заряду змінюється за законом:
.
Проте орти ЛСК краще вибрати так, щоб орт був направлений вздовж прямої перетину площини і площини, утвореної віссю і радіус-вектором , а орт був перпендикулярним до останньої площини. Тоді,
,
де азимутальний кут, який задає положення радіус-вектору точки спостереження. Неважко бачити, що
і ,
тобто,
, і (6.14)
утворюють нову сукупність взаємно перпендикулярних ортів, які утворюють більш доцільну систему координат у порівнянні з лабораторною СК.
З означення дипольного моменту випливає, що
.
Початок відліку часу можна вибрати у такий спосіб, щоб . Тоді
. (6.15)
Оскільки радіус-вектор точки спостереження представляється у вигляді:
,
то
(6.16)
і
.
Інтенсивність випромінювання згідно (6.3), таким чином, дорівнює:
. (6.17)
Представимо тепер (6.17) у векторній формі, яка буде придатною для будь-якої просторової орієнтації кола, за яким рухається заряд. Очевидно, що
,
тобто
.
б) Якщо просторова орієнтація кола задається ортом , перпендикулярним до площини кола, то інтенсивність випромінювання описується виразом:
, (6.18)
в якому новий початок відліку часу відповідає моменту проходження зарядом точки перетину кола з площиною, утвореною ортами і .
в) Розглянемо тепер характер поляризації електромагнітного випромінювання у власній системі координат, яка задається ортами:
, і ,
і довільній лабораторній системі координат з ортами .
Напруженості електричного і магнітного полів у власній системі координат визначаються формулами (6.2):
. (6.19)
де, згідно (6.15),
.
Орти , і є пов’язаними з ортами , і ССК, для якої полярна вісь є направленою вздовж , а азимутальний кут відраховується від вісі , направленої вздовж , співвідношеннями:
(6.20)
Оскільки, , то
і
Вираз для напруженості електричного поля можна представити у вигляді:
.
Звідси випливає, що електромагнітна хвиля, яка генерується рівномірним рухом заряду вздовж кола, є циркулярно поляризованою. Відношення амплітуд дорівнює:
або , (6.21)
тобто, кінець вектора напруженості електричного поля, як функція часу, описує еліпс, витягнутий вздовж паралелі. В полярній області, коли еліпс вироджується у коло, а в екваторіальній площині, коли , еліптично поляризована хвиля переходить у лінійно поляризовану – вздовж паралелі.
г) Зрозуміло, що зроблений нами висновок про характер поляризації хвилі, яка розповсюджується вздовж напрямку , не може залежати від вибору ЛСК. Значення , одначе, обчислюється за формулою:
, (6.22)
яка безпосередньо випливає зі скалярного добутку ортів і в довільній ЛСК:
і .
д) Повна інтенсивність випромінювання визначається з (6.17) інтегруванням за кутами:
. (6.23)
Усереднення за періодом обертання приводить до остаточної формули:
. (6.24)
Як і повинно бути, інтенсивність випромінювання співпадає зі значенням, яке визначається за формулою:
, (6.25)
де .