Для студентов / Лекции / (2)ВЕД / (16)Закон збереження імпульсу електромагнітного поля

15. Закон збереження імпульсу електромагнітного поля

Цей розділ буде присвячено

1. виведенню закону збереження імпульсу електромагнітного поля на основі рівнянь Максвела;

2. фізичній інтерпретації усіх величин, які входять до рівняння, що описує просторово-часову зміну імпульсу;

3. аналізу властивостей максвелівського тензору напружень електромагнітного поля і його застосуванням.

Для того, щоб впевнитись в існуванні закону збереження імпульсу і знайти явні вирази для густин імпульсу та потоку імпульсу, будемо виходити, як і в попередньому розділі, з рівнянь Максвела у тій самій формі:

(15.1)

Виконаємо тепер наступні дії: 1) помножимо з правого боку обидві частини рівняння (3) векторним чином на , а рівняння (4) – з лівого боку на і 2) просумуємо отримані векторні добутки. Як наслідок, ми отримаємо наступне рівняння:

(15.2)

де

, (15.3)

. (15.4)

Тут комбінація типу позначає прямий добуток векторів, тобто, це є тензор, якому відповідають компоненти , а - одиничний тензор, компоненти якого дорівнюють: . Крім того, враховується, що величина є вектором, компоненти якого дорівнюють: .

Дійсно, мають місце наступні співвідношення:

, (15.5)

. (15.6)

Щоб переконатись у справедливості (15.6), скористаємось наступним перетворенням:

.

Похідна від скалярного добутку , в якому слід вважати постійним вектором, очевидно, дорівнює половині від , в якому диференціюються обидва множники в дужках. Тобто:

.

Далі,

.

На останньому кроці ми скористались означенням скалярного добутку оператора набла і діади: (див. ()), а також першим з рівнянь Максвела.

а) Фізичний смисл рівняння (15.2)

Комбінація , яка знаходиться в правій частині рівняння (15.2), представляє собою силу, яка діє на всі заряджені частинки в одиниці об’єму. У згоді з другим законом Ньютона, часова похідна від імпульсу частинок, повинна дорівнювати інтегралу від в межах об’єму системи:

. (15.7)

Це дозволяє інтегральному аналогу рівняння (15.2) надати вигляд:

, (15.8)

де . Спрямуємо тепер радіус поверхні , яка охоплює об’єм , до нескінченості. З причин, які мають той самий характер, що і по відношенню до інтеграла в попередньому розділі, можна стверджувати, що

.

Як наслідок, ми приходимо до закону збереження:

, (15.9)

де . Звідси випливає, що величина має смисл сумарного імпульсу електромагнітного поля, а - густини імпульсу електромагнітного поля. До такого ж самого висновку приводить обчислення фізичних розмірностей і : []= і . Це дає нам підстави тлумачити (15.9) як закон збереження імпульсу електромагнітного поля.

У згоді з другим законом Ньютона, величина в рівнянні (15.8) повинна інтерпретуватись як сила , яка діє на поверхню , що обмежує об’єм . Компоненти цієї сили дорівнюють:

.

Звідси випливає, що

• є та компонента сили, яка діє на елемент поверхні , просторова орієнтація якого задається ортом : ;

• є сила, яка діє на одиничну площадку, просторова орієнтація якої задається ортом ;

• є сила, яка діє на одиничну площадку, перпендикулярну до вісі, якій відповідає індекс (в цьому випадку ).

У згоді з цим, тензор прийнято називати тензором напружень електромагнітного поля, або максвелівським тензором напружень електромагнітного поля. Оскільки тензор напружень є симетричним: , то можна також сказати, що є а компонента сили, яка діє на одиничну площадку, перпендикулярну до ї вісі.

Оскільки , то величину

або , (15.10)

можна тлумачити як густину об’ємних сил, які діють на систему зарядів і токів з боку електромагнітного поля.

Якщо в певному об’ємі заряди і токи є відсутніми, з (15.2) випливає, що електромагнітне поле задовольняє рівнянню:

, (15.11)

яке є цілком подібним до тих, що описують закони збереження заряду та енергії (див. попередній розділ (15)). Інтегруючи (15.7) в межах об’єму , знаходимо:

. (15.12)

Звідси випливає, що тензор може також тлумачитись як густина потоку імпульсу через поверхню, яка обмежує об’єм . Діючи у такий самий спосіб, як і при опису сил, діючих на поверхню , можна стверджувати, що

• є та компонента густини імпульсу, що протікає через одиничну площадку, перпендикулярну вісі . Завдяки його симетрії, можна також стверджувати, що є та компонента густини імпульсу, що протікає через одиничну площадку, перпендикулярну вісі .