Для студентов / Лекции / (2)ВЕД / (12)Мультипольні розклади в електростатиці

12. Мультипольні розклади в електростатиці

В цьому розділі будуються мультипольні розклади для наступних задач електростатики: 1) потенціалу компактної системи зарядів на великих відстанях від неї (систему зарядів називають компактною, якщо відстань між найвіддаленішими один від одного зарядами є скінченою); 2) енергії взаємодії компактної сукупності зарядів із зовнішнім електричним поле, яке плавно змінюється на протязі системи і 3) енергії взаємодії між двома компактними системами зарядів на відстанях, які набагато перевищують значення діаметрів систем.

В усіх цих випадках можна написати точні вирази для і для потенціалу систему і для енергій взаємодії. Так потенціал системи зарядів на довільних відстанях від неї задається стандартним співвідношенням:

. (12.1)

Але на великих відстанях від системи, в нульовому наближені вона може розглядатись як точково-подібна, а її потенціал апроксимуватись сумарним зарядом системи :

, (12.2)

де . Це є наближення, в якому всі заряди системи знаходяться в одній і тій же точці – на початку координат. Зрозуміло, що невеличкий зсув зарядів з початку координат бути призводити до появи внесків, які будуть убувати з відстанню за більш високими степенями :

, (12.3)

де - певні коефіцієнти, які будуть визначені нижче. Така ж сама обставина буде проявлятись і в інших сформульованих вище задачах.

а) Мультипольний розклад потенціалу компактної системи зарядів

Нехай позначає діаметр системи зарядів. В цьому випадку всі . Розглянемо асимптотичну поведінку потенціалу , який задається формулою (12.1) на відстанях від системи, які задовольняють нерівності: . Завдяки нерівності , обернену відстань можна розкласти в нескінчений ряд за степенями компонентів вектора . Згідно (Д.10) відповідний розклад має структуру:

. (12.4)

Підставляючи його в (12.1), знаходимо:

,

або

, (12.5)

де коефіцієнти розкладу дорівнюють:

(12.6)

Як бачимо, вони мають смисл тензорів нульового, першого, другого і т.п. рангу, оскільки за структурою є суперпозиціями тензорних комбінацій , утворених з добутків компонентів радіус-вектора го заряду. Прийнято називати: - компонентами вектора дипольного моменту, - компонентами тензора квадрупольного моменту і т.д. Вирази (12.6) побудовані за тим же принципом, що і моменти сили, що діє на систему.

Формулу (12.5) часто записують у вигляді:

, (12.7)

де

- (12.8)

вектор дипольного моменту,

-

компоненти модифікованого тензору квадрупольного моменту. Його характерною властивістю є те, що сума його діагональних елементів – слід матриці – дорівнює нулю:

.

Еквівалентність двох різних означень витікає з того, що їх згортки з тензором є однаковими:

.

Завдяки цьому, в залежності від ситуації ми будемо користуватись то одним, то другим означень тензора квадрупольного моменту зарядів.

Якщо електричне поле утворюється не дискретними, а розмазаними зарядами, означення мультипольних моментів розподілу зарядів змінюються тривіальним чином (замість сум з’являються інтеграли):

(12.9) Проілюструємо застосування отриманих формул на прикладі простої задачі, в якій стандартний метод розрахунку потенціалу виявляється нетривіальним.

Задача. Визначити потенціал електричного поля, утвореного рівномірно зарядженим кругом на великих відстанях від нього. Радіус круга , густина заряду .

Розв’язок: Загальна відповідь тут може бути написаною без утруднень:

.

Але при довільній орієнтації диска значення інтегралу зводиться до еліптичної функції.

Проте, на великих відстанях від круга значно природніше скористатись розкладом потенціалу в ряд за мультиполями:

, (12.10)

де

(12.11)

є мультипольними моментами у власній системі координат круга, коли вважається, що круг знаходиться в площині (), а його центр співпадає з початком координат. Значення нульового мультипольного моменту – заряду – знаходиться тривіально:

.

Для визначення мультипольних моментів більш високого порядку бажано, перш за все, скористатись властивостями симетрії у розподілі заряду. Очевидно, що . Оскільки в площині () розподіл заряду є ізотропним, а початок координат є водночас і центром інверсії, то - компоненти дипольного моменту повинні задовольняти співвідношенню:. З тих самих причин можна стверджувати, що дорівнюють нулю і всі непарні мультипольні моменти більш високого порядку.

Що стосується компонентів квадрупольного моменту, то внаслідок симетрії у розподілі заряду відмінними від нуля повинні бути тільки діагональні моменти матриці :

. (12.12)

Більш конкретно, рівняння є наслідком ізотропії у розподілу заряду в площині (), а рівняння є наслідком обернення сліду матриці до нуля. Безпосередньо з (12.11) випливає, що

.

Діагональну матрицю (12.12), очевидно, можна переписати у вигляді:

. (12.13)

Підставляючи (12.13) і отримані вище значення заряду і дипольного моменту у (12.10), для потенціалу електричного поля у квадрупольному наближенні знаходимо:

.

Оскільки , де - одиничний вектор, перпендикулярний до площини кругу, то для потенціалу остаточно знаходимо:

. (12.14)

б) Енергія взаємодії компактної сукупності зарядів із зовнішнім електричним поле, яке плавно змінюється на протязі системи

Енергія взаємодії сукупності зарядів із зовнішнім електричним полем, яке описується потенціалом , визначається стандартним виразом:

, (12.15)

в якому позначає певну фіксовану точку всередині системі, а є радіус-вектором -го заряду відносно точки . Якщо діаметр системи є малим у порівнянні з характерним масштабом зміни зовнішнього поля, то його потенціал доцільно розкласти в ряд за степенями :

Оскільки,

,

,

то енергію взаємодії (12.15) можна переписати у вигляді:

,

або

. (12.16)

Тут, як і раніше, позначають повний заряд системи, дипольний і квадрупольний моменти відповідно. Приймаючи до уваги, що заряди, які утворюють зовнішнє поле, знаходяться за межами заданої системи зарядів, задовольняють рівнянню:

,

в (12.16) можна перейти до модифікованого квадрупольного моменту:

(12.17)

В тих випадках, коли положення фіксованої точки можна обрати таким чином, щоб , формула (12.17) спрощується:

(12.18)

Зазначимо, що формула (12.17) залишається незмінною і тоді, коли заряди розподілені по системі неперервним чином, або має місце комбінація дискретних і неперервних зарядів.

в) Мультипольний розклад енергії взаємодії двох компактних систем зарядів

Нехай відстань між двома системами зарядів значно перевищує їх діаметри: . В цьому випадку електричне поле, утворене першою системою зарядів, можна розглядати як слабо-неоднорідне поле, в якому знаходиться друга підсистема зарядів. Зрозуміло, що її енергію взаємодії з полем першої підсистеми можна апроксимувати мультипольним розкладом типу (12.17):

. (12.19)

З другого боку, згідно (12.5):

Підставляючи цей вираз, а також його похідні

в (12.19), бачимо що різні внески можна згрупувати за степенями убування :1

, (12.20)

де

(12.21)

Ряд (12.20) прийнято називати мультипольним розкладом енергії взаємодії двох відділених компактних систем. Похідні, які входять до (12.21), приймають наступні значення:

Підставляючи їх в (12.21), остаточно знаходимо:

. (12.21)

Як бачимо, закони убування диполь-дипольної і заряд-квадрупольної взаємодії є однаковими. У мультипольних внесках більш високого порядку така ситуація є типовою. Зокрема, в загальному випадку однаковий порядок величини мають квадруполь-квадрупольна, диполь-октупольна і заряд-гексапольна взаємодії.

Все выписанные выражения должны быть инвариантны относительно перестановки индексов систем и одновременной замены .

г) Закони перетворення компонентів мультипольних моментів при зсувах початку координат і поворотах системи зарядів

Нехай початок системи координат, в якій розраховуються компоненти мультипольних моментів, зсувається на вектор . Тоді радіус-вектор го заряду, змінюється за законом:

. (12.22)

За означенням, мультипольний момент го порядку дорівнює:

,

що у символічній формі можна переписати у вигляді:

, (12.23)

де комбінація є прямим добутком векторів . Підставляючи (12.22) в (12.23), знаходимо:

, (12.24)

де , а символ означає симетризацію за індексами:

,

,

і т.д. У такий спосіб знаходимо, що перші мультипольні моменти перетворюються за закономи:

(12.25)

Якщо користуватись модифікованим квадрупольним моментом, то третя строчка в (12.25) набуває вигляду:

. (12.26)

При повороті системи зарядів на малий кут навколо вісі, просторова орієнтація якої задається ортом , радіус-вектор го заряду змінюється за законом:

,

що в компонентах переписується наступним чином:

Діючи далі у такий самий спосіб, як і в попередньому випадку, і утримуючи тільки лінійні за внески, знаходимо:

(12.27)

д) Інваріантність потенціалу відносно зсуву початку координат

З фізичної точки зору є цілком очевидним, що значення потенціалу компактної системи зарядів у деякій віддаленій точці не повинно залежати від вибору початку координат всередині системи. Інакше кажучи, асимптотичні мультипольні розклади, які відповідають різним системам координат, повинні задовольняти рівнянню:

, (12.28)

в якому , а мультипольні моменти пов’язані між собою перетвореннями (12.24) або (12.25). Переконаємось у справедливості (12.28), виділяючи і сумуючи всі внески, які убувають за однаковим законом Зупинимось тут тільки на внесках нульового і першого порядку за відношенням . В цьому наближенні,

,

і т.д. Зрозуміло, що в нульовому за наближенні права частина формули (12.28) переходить в її ліву частину:

В першому наближенні перший і другий додатки в (12.28) породжують внески:

,

.

З третього додатку виділимо тільки внесок, пропорційний дипольному моменту:

Неважко бачити, що внески у потенціал системи, обумовлені зарядом і дипольним моментом, у лінійному за відношенням наближенні взаємно компенсуються. Так само можна переконатись в існуванні взаємної компенсації всіх внесків, пропорційних старшим мультипольним моментам, у наближенні , а також у всіх інших наближеннях більш високого порядку.

Таким чином, вибір початку координат не впливає на значення потенціалу. Цей результат залишається справедливим і для мультипольних розкладів енергій взаємодії компактної системи зарядів зі слабо неоднорідним зовнішнім електричним полем і віддалених компактних систем зарядів.

Математичний додаток. Розклад довільної скалярної функції в ряд Тейлора за компонентами вектора .

У порівнянні з розкладом скалярної функції однієї змінної:

(Д1)

розклад функції від векторного аргументу в ряд Тейлора є більш складним, оскільки векторам і відповідають по три незалежні компоненти: і . В цьому випадку потрібно диференціювати функцію по всім трьом компонентам і похідні множити на відповідну комбінацію приростів аргументу:

(Д2)

Тут, як і завжди, по двом індексам, що повторюються, виконується сумування. Зокрема

Похідні від функції обчислюються з урахуванням того, що вона залежить від модуля радіус-вектора . Приймаючи до увагу цю обставину, обчислюємо похідні за правилами, які застосовуються при диференціюванні функції, яка залежить від аргументу складним чином. Послідовно знаходимо:

, (Д3) , (Д4)

. (Д5)

Так само знаходяться і похідні більш високого порядку.

Розглянемо найбільш прості випадки застосування отриманих формул. Нехай . Тоді

, ,

,

і для функції має місце наступний розклад:

. (Д6)

У векторній формі він приймає більш зручний вигляд:

(Д7)

Для побудови розкладу в ряд Тейлора спорідненої функції , достатньо ряди (Д6) або (Д7) возвести до квадрату. Зокрема, за допомогою (Д7) отримуємо:

Для оберненої функції перші три похідні дорівнюють:

, , (Д8)

. (Д9)

Перші члени розкладу функції в ряд Тейлора за степенями компонентів , таким чином, дорівнюють:

(Д10)