Для студентов / Лекции / (2)ВЕД / (11)Потенціали Лієнара-Віхерта
.doc11. Потенціали Лієнара-Віхерта
Так називають запізнілі скалярний і векторний потенціали електромагнітного поля, утвореного рухомим точковим зарядом . Нехай положення заряду описується радіус-вектором , який змінюється з часом за відомим законом. Просторовий розподіл зарядів і токів, що відповідають рухомому точковому заряду, описуються формулами:
(11.1)
Для знаходження запізнілих потенціалів достатньо вирази (11.1) підставити в формули (10.17) і (10.20), які визначають запізнілі потенціали в загальному випадку:
(11.2)
На жаль, інтегрування за просторовою змінною в (11.2) є непростим, оскільки вона входить як в комбінації , так і в часову змінну . Саме остання обставина і унеможливлює виконання безпосереднього інтегрування за змінною .
Цю перешкоду не важко подолати, якщо звернутись до формул (10.22) і (10.28), які представляють запізнілі скалярний і векторний потенціали електромагнітного поля за допомогою функції Гріна. Так, для скалярного потенціалу знаходимо:
. (11.3)
Тут просторова змінна інтегрування входить тільки в комбінації і тому, використовуючи властивості дельта-функції Дірака (див. ()), без зусиль знаходимо наступний проміжний результат:
,
де - момент початку руху заряду. З врахуванням явного вигляду функції Гріна (10.23) отримуємо:
. (11.4)
Інтеграл, який входить до (11.4), за своєю структурою є таким самим, як і інтеграли у формулах (11.2). Але він є суттєво простішим, оскільки змінна є скалярною. В той же час, до інтегралів в (11.2) входить векторна змінна , яка породжує три взаємопов’язаних скалярних змінних. Для виконання інтегрування в (11.4) зробимо заміну змінної інтегрування:
.
Їй відповідає наступний зв'язок між старим і новим диференціалами:
.
Як наслідок, формула (11.4) переписується у вигляді інтегралу:
, (11.5)
який вже обчислюється елементарно. Він дорівнює значенню підінтегральної функції, яка входить множником перед дельта-функцією Дірака, при :
. (11.6)
Сумування в (11.6) відбувається по всім кореням рівняння , або у більш розгорнутому вигляді:
. (11.7)
За своїм фізичним змістом, корені утворюють сукупність моментів часу випромінювання електромагнітних сигналів, які досягають точки спостереження в момент часу .
Неважко бачити, що похідна дорівнює:
,
де - швидкість заряду. Як наслідок, запізнілий скалярний потенціал рухомого точкового заряду, який дається формулою (11.6), можна переписати у більш явній формі:
. (11.8)
Як бачимо, рух заряду призводить до суттєвої зміни просторового розподілу потенціалу в його околі у порівнянні з нерухомим зарядом:
.
Величина зміниє тим більшою, чим ближче швидкість заряду наближується до швидкості розповсюдження електромагнітного сигналу.
Запізнілий векторний потенціал рухомого точкового заряду визначається
формулою, цілком подібною до (11.8):
, (11.9)
де
. (11.10)
а) Електромагнітні потенціали точкового заряду, який рухається з постійними за величиною і напрямком швидкістю
Направимо вісь лабораторної системи координат вздовж напрямку швидкості заряду. Крім того, будемо вважати, що в початковий момент часу положення заряду збігається з початком координат. Тоді
, ,
і скалярному потенціалу електричного поля, згідно (11.8), можна надати вигляду:
,
де моменти випромінювання електромагнітних сигналів задовольняють квадратному рівнянню:
.
Вводячи позначення , , і , де () – компоненти радіус-вектора , два останні рівняння можна переписати у вигляді:
, (11.11)
. (11.12)
З двох коренів квадратного рівняння (11.12) фізичний смисл має тільки корінь:
. (11.13)
Другий корінь при приводить до некоректної асимптотики: , оскільки при певних значеннях і її ліва частина є позитивною, а права частина при достатньо великих стає негативною. Підставляючи (11.13) в (11.11) і виконуючи громіздкі, але тривіальні, перетворення, знаходимо:
. (11.14)
У згоді з (11.9) векторний потенціал повинен дорівнювати:
. (11.15)
б) Еквіпотенціальні поверхні рухомого електричного заряду
Більш наочне уявлення про просторовий розподіл електричного поля рухомого точкового заряду ми отримаємо, коли розглянемо еквіпотенціальні поверхні, які відповідають потенціалу (11.14). Вони визначаються стандартним рівнянням:
,
яке можна представити у вигляді:
. (11.16)
Це є рівняння еліпсу з півосями:
,
центр якого рухається вздовж вісі зі швидкістю . Довжина півосі не залежить від швидкості і приймає таке ж саме значення , яке є характерним для нерухомого заряду:
. (11.17)
В останньому випадку, як і повинно бути, еквіпотенціальні поверхні є сферами. Що стосується півосей еліпса вздовж і осей, то вони є однаковими () і зростають зі швидкістю заряду. Таким чином, еквіпотенціальна сфера для нерухомого заряду переходить у еквіпотенціальний еліпс обертання для заряду, який рухається з постійною за величиною і направленням швидкістю. Коли , цей еліпс за своєю формою більше нагадує оладку великого розміру або млинець.
Якщо константу змінимо на невелику величину , то довжина півосей еліпсу також зміниться:
. За означенням, компоненти і напруженостей полів в напрямку вісі і площині (), яка проходить через центр еліпсу, дорівнюють:
і .
Звідси випливає, що на одній і тій же еквіпотенціальній поверхні напруженість поля у площині () є меншою, чим у напрямку руху заряду:
.
Такі ж самі висновки можна зробити і з аналізу просторового розподілу напруженості електричного поля:
(11.18)
при .
Оскільки значення напруженості поля є пропорційними густині розподілу векторних ліній, то ми приходимо до висновку, що ізотропний розподіл векторних ліній у випадку нерухомого заряду змінюється на анізотропний їх розподіл, коли заряд рухається. Густина векторних ліній зростає у напрямку руху тим більше, чим ближче швидкість заряду наближається до швидкості розповсюдження електромагнітного поля. У граничному випадку, коли , електричне поле майже повністю зосереджується всередині голко-подібних областей, які охоплюють вісь , тобто напрямок руху, в обох від заряду напрямках. Слід зазначити, що такий самий розподіл електричного поля є характерним також для заряджених частинок на їх орбітах руху в колайдерах великого радіусу.
в) Напруженість магнітного поля рухомого заряду
Виходячи з означення напруженості магнітного поля за допомогою (11.15) знаходимо:
. (11.19)
Тут більш зручно перейти до циліндричної системи координат, в якій . Тоді
. (11.20)
Як і повинно бути, векторні лінії магнітного поля є колами, які охоплюють вісь . При напруженість магнітного поля рухомого заряду прямує до нуля всюди, за виключенням області, яка прилягає до площини (), що проходить через точку . На самій цій площині змінюється за законом:
. (11.21)
Тобто, магнітне поле набуває плоско-подібного характеру. Нагадаємо, що в цьому самому граничному випадку електричне поле зосереджується в голко-подібних областях, які охоплюють вісь . Вираз для напруженості магнітного поля можна подати і в іншому вигляді, використавши формулу (11.18) для напруженості електричного поля:
. (11.22)
г) Потенціали електричного і магнітного полів рухомого заряду в більш загальній формі
Узагальнимо формули (11.14) і (11.15) на більш загальний випадок, коли заряд рухається з постійною швидкістю вздовж прямої, яка не співпадає з координатними осями і не проходить через початок координат. Крім того, в початковий момент часу заряд знаходиться в довільній точці . Фактично, узагальнення вказаних формул полягає в переході до векторних позначень.
Одне з узагальнень тут є тривіальним: . Аналогом координати у формулі (11.14) є проекція вектора на напрямок, який співпадає з напрямком швидкості заряду. Нехай цей напрямок задається одиничним вектором . Тоді . Так само, замість треба підставити . Остаточно, скалярний потенціал набуває вигляду:
. (11.23)
Векторний потенціал узагальнюється аналогічним чином:
. (11.24)