Для студентов / Лекции / (2)ВЕД / (13) Векторний потенціал магнітостатичного поля на великих відстанях від компактної системи токів

13. Векторний потенціал магнітостатичного поля на великих відстанях від компактної системи токів

В цьому розділі буде розглянуто структуру векторного потенціалу , утвореного компактною системою постійних токів, на великих відстанях від неї. Як і в попередньому розділі, ми виходимо з точного виразу для :

. (13.1)

На великих відстанях від системи () можна скористатись розкладом:

,

завдяки чому двоє перших внесків до потенціалу набувають вигляду:

= (13.2)

Доведемо тепер, що перший додаток в (13.2) дорівнює нулю:

, (13.3)

а другий – приводить до виразу:

, (13.4)

де дорівнює:

. (13.5)

Для встановлення першого факту скористаємось тією обставиною, що розподіл постійних токів у обмеженій системі можна представити сумою замкнутих токів, які течуть по сукупності замкнутих трубок току. Трубкою току ми будемо називати довільну торо-подібну або бублико-подібну область, поверхня якої утворюється замкнутими лініями току. У згоді з цим означенням, тік зарядів через бокову поверхню трубки току є відсутнім: . Незамкнутість обмежених токів приводила б до накопичення зарядів в певних областях об’єму , що суперечить вихідній умові про статичний характер розподілу токів в системі.

Використовуючи означення трубки току, інтеграл (13.3) можна представити у вигляді суми інтегралів по трубкам току:

,

де елемент площі поперечного перерізу - ї трубки току, - елемент її довжини. Має місце ланцюжок наступних перетворень:

,

де = є струм, який протікає - ю трубкою току, - одиничний вектор, дотичний до осьової лінії току. Суттєво, що струм є однаковим в усіх поперечних перерізах довільної трубки току. Завдяки цьому отримуємо наступне рівняння:

,

де - контур, який співпадає з осьовою лінією - ї трубки току. Оскільки трубка є замкнутою, то

,

і твердження (13.3) про занулення об’ємного інтегралу від густини току є повністю доведеним.

Для доведення формули (12.4), скористаємось тим, що підінтегральну функцію можна переписати у вигляді:

. (13.6)

Перший додаток в правій частині цього рівняння явно призводить до виразу , який є пропорційним першому моменту розподілу току в системі.

Якщо обидві частини рівняння (13.6) помножити на і додати до них по , знаходимо:

+. (13.7)

Скористаємось тепер тотожністю:

, (13.8)

де - довільний постійний вектор. В її справедливості можна впевнитись безпосередньою перевіркою. Обчислимо результат дії оператора :

.

Врахуємо тепер, що для статичних токів (всі лінії току є замкнутими). Далі, і , тобто права і ліва частини (13.8), дійсно, є тотожніми. Тотожність (13.7) дозволяє нам написати наступний ланцюжок тотожніх перетворень:

.

Оскільки на поверхні, яка охоплює систему статичних токів, , то

.

Оскільки це рівняння має місце при довільному виборі вектора , можна зробити висновок, що інтеграл теж дорівнює нулю. Таким чином,

і формули (13.4) і (13.5) є повністю доведеними.

За означенням, величину (13.5) прийнято називати магнітним дипольним моментом системи токів. Формула (13.4), яка дає нам головний асимптотичний внесок у векторний потенціал компактної системи токів, відповідає магнітно-дипольному наближенню.

Проілюструємо застосування магнітно-дипольного наближення на одному простому прикладі.

Розрахуємо векторний потенціал, утворений витком лінійного струму на великих відстанях від нього. Неважко бачити, що векторний потенціал визначається наступним точним виразом:

=,

де - радіус витка, а - елемент довжини кола в полярній системі координат. Можна переконатись, що результатом інтегрування є еліптичний інтеграл першого роду.

Більш адекватним способом розв’язання цієї задачі є звернення до мультипольного розкладу векторного потенціалу. Згідно (13.4),

,

де магніто-дипольний момент дорівнює:

.

Нехай виток знаходиться в площині ДСК, початок якої співпадає з центром витка. Розрахунок інтегралу природно виконати в змінних полярної СК. В них і , крім того, , де - одиничний вектор, перпендикулярний до площини витка (співпадає з віссю ДСК) і узгоджений з напрямком лінійного струму за правилом буравчика. У такий спосіб знаходимо:

.

Магніто-дипольний момент у такому вигляді, взагалі, має інваріантний характер, який можна використати в довільній системі координат. Остаточно,

для векторного потенціалу знаходимо:

=. (13.9)

В ССК, вісь якої направлена вздовж , векторний потенціал набуває особливо простого вигляду:

= (13.10)