Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Одесский национальный университет им. И.И. Мечникова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Інтегральне числення ФОЗ. 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.05.2015

Размер:

447.84 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>


1	ln	4	x4 + 1 + x	−	1	arctg	4 x4 + 1		+ C .
4					2			x
		4	x4 + 1 − x
		4	x4 + 1 − x

−

3. ∫

= ∫(x3 + 1) 2 dx .

x3 + 1

#: m = 0, n = 3, p = −

;

m + 1

;

m + 1

+ p = −

. # +

I, II, III , + ( ! ', * " -

11.# . , ' -

ax2 + bx + c .

$" ":

∫R (x, ax2 + bx + c )dx , a ≠ 0, b2 − 4ac ≠ 0 ,

R = R( x, y) – * " x y . # +

* ( ' (-

1)ax2 + bx + c = ±t ± a x , " a > 0 ,

2)ax2 + bx + c = ± xt ± c , " c > 0 ,

3)ax2 + bx + c = ±t ( x − x1 ) , " b2 − 4ac > 0 .

3- x1 – ax2 + bx + c . 2

«'» « » ! , * " + -

" * " , ! * -

", " , * " , ! " 3 '. ,

3, , , " , <( " *

! *.

1. ∫ x + x2 + x + 1 .

2 ! : t = x + x2 + x + 1 . #, ’" ' x -

* " ", :

x =	t 2	−1		dx =	2t 2 + 2t + 2	dt .
			,
					(2t + 1)2
	2t + 1

% "' , , * -

+ t + 1

2∫

dt = 2∫

−

+ C

2(2t + 1)

t(2t + 1)

| 2t +1 |

(" * ! + " -

, ( (). " " -

3 " * ( " t .

2 . ∫1 + 1 − 2 x − x2 .

2 ! : 1 + 1 − 2x − x2 = xt . #:

x =	2(t −1)			dx = −2	t 2 − 2t −1		dt .
			,
	t 2	+ 1			(t 2	+ 1)2

% "' , ,:

∫

t 2 − 2t −1

∫

t −1

−

dt = −

−

dt = ln

− 2 arctg t + C .

(t 2 + 1)(t −1)t

t 2 + 1

t −1

t = (1 +

)x−1 , ,-

% ' * x '

1 − 2 x − x2

3.∫ x − x2 + 3x + 2 dx . x + x2 + 3x + 2

& ' , ( " ,

( , * x1 = −1 , (

x2 + 3x + 2 = t( x + 1) = tx + t .

#, ’" ' * " " x , ( ( -

x(1) = −1, x( 2) = 2 − t 2 .

t 2 −1

2, 3 ( ! , :

x =	2 − t 2	, x + 1 =		1	,	dx = −	2tdt		.
	t 2 −1		t 2				(t 2	−1)2
				−1

% "' , , * -

t 2 + 2t

−2∫ (t − 2)(t −1)(t + 1)3 dt .

( ( " , ( ',:

−

t + 1

t −1

−

t − 2

+ C .

6(t + 1)2

18(t + 1)

108

$" ":

P ( x)

∫ n dx , (11.1) ax2 + bx + c

P ( x) – " n . % +, ( +

P ( x)

( x) ax2 + bx + c + λ

dx = Q

(11.2)

∫ ax2 + bx + c

n−1

∫ ax2 + bx + c

Qn−1 ( x) – " n −1 ,, λ –

+ . '' + * (11.2), , - + ' " * ! 2ax2 + bx + c , :

2P ( x) = 2Q′		( x)(ax2 + bx + c) + (2ax + b)Q	( x) + 2λ .	(11.3)
n	n−1	n−1

2 '' (11.3) , " x ( (

, , Qn−1 ( x) λ . 0

( (11.2) * " , " ( " . 6. 0 "

∫ ( x − p)r ax2 + bx + c ,

r , " * " " (11.1) ':

t =	1	.


	x − p

x3dx

1. ∫ 2x2 + x + 1 .

2 ' (11.2) ,:

∫

x3dx

+ λ∫

= ( Ax2 + Bx + C ) 2x2 + x + 1

(11.4)

2 x2 + x + 1

2x2 + x + 1

, A, B, C, λ " ' * '. $* (11.3)

! , ":

2x3

= 2(2 Ax + B)(2x2 + x + 1) + (4x + 1)( Ax2 + Bx + C ) + 2λ .

$' + '' , x3 , x2 , x, 1, ,

A, B, C, λ :

6 A = 2 ,

5 A + 8B = 0 ,

4 A + 3B + 4C = 0 ,

2B + C + 2λ = 0 .

$ ’" ' ' , ,:

A =		1			, B = −						5		, C = −									17					, λ =					57				.
A =					, B = −								, C = −														, λ =									.
	6								48											192												384
)! :
					dx							=		1													dx								=		1			dx			=


∫																2 ∫																						2 ∫
∫			2 x2 + x + 1													2 ∫							x	2		+			1	x	+		1					2 ∫		1 2		7
																							x			+			2	x	+		2						x +		+
																																							x +		+	16
																																								4		16

=	1			ln			x +		1	+ x2 +									x	+				1			+ C .
=				ln			x +			+ x2 +										+							+ C .
	2								4								2							2						1
	2								4								2							2
% "' (11.4), ,:
					x	3		dx									2				5x							17
						3											2
∫												=			x			−							−									2 x2 + x + 1					+


			2 x2 + x + 1											6						48						192

x +

+ x2 +

+ C

384

xdx

= t,

x =

+ 1, dx = −

∫( x −1)2

1 +

2 x − x2 x −1

−

(t + 1)dt

t 2

= ∫

= −∫

t 2

−

t 2 − 2

1 + 2

+ 1

−

+ 1

= −∫

d (t 2 − 2)

− ∫

= − t 2 − 2

− ln

t + t 2 − 2

+ C =

2 t 2 − 2

t 2 − 2

= −

− 2 − ln

− 2

+ C .

(x −1)2

x −1

(x −1)2

12. # .

# " " (.

I.	) ∫cosm x sin n x dx .

$" .

1.m n ! . % " ,m , m = 2k + 1. / ,:

∫sin n x cos2 k +1 x dx = ∫sin n x cos2 k x cos x dx =∫sin n x (1 − sin 2 x )k d sin x

.[t = sin x] = ∫t n (1 − t 2 )k dt ,

' ! .*' , * "

2.)! m n . # ' * " +- " ":

sin 2 x =	1 − cos 2 x	,	cos2 x =	1 + cos 2 x	.

2			2
			36

∫cos2 x sin3 x dx = ∫cos2 x sin 2 x sin x dx = ∫cos2 x (1 − cos2 x )(−d cos x ) =

= ∫cos2 x (cos2 x −1)d cos x [t = cos x]

= ∫t 2 (t 2 −1)dt = ∫(t 4 − t 2 )dt =

= ∫t 4 dt − ∫t 2 dt =

t 5

−

+ C =

cos5 x

−

cos3 x

+ C .

∫

(sin2 x )

1 − cos 2x 2

∫

− 2 cos 2x + cos2 2x )dx =

sin 4 x dx =

dx =

∫

∫dx −

∫2 cos 2 xdx +

∫cos2 2 xdx =

x −

sin 2 x +

∫

1 + cos 4 x

dx =

−

sin 2 x

∫dx +

∫cos 4 x dx =

−

sin 2 x

sin 4 x + C =

−

sin 2 x

sin 4 x

+ C .

II.

) ∫

∫

sin

2 n

cos

2 n

# ! '' * " ' :

= 1 + tg2 x,

= 1 + ctg2 x,

= d tg x,

= −d ctg x .

sin 2

cos2 x

sin 2 x

=∫(tg2

x + 1)

∫

= ∫

d tg x =

cos

[t = tg x] = ∫(t 2 + 1)2 dt = ∫(t 4 + 2t 2 + 1)dt =∫t 4 dt + 2∫t 2 dt + ∫dt =

t 3

tg5 x

2 tg3 x

+ t + C =

+ tg x

+ C .

III.)

∫sin ax cos bx dx, ∫sin ax sin bx dx, ∫cos ax cos bx dx .

# ! '' * " ' :

sin α cos β = 12 (sin (α + β ) + sin (α − β )), sin α sin β = 12 (cos (α − β ) − cos (α + β )), cosα s cos β = 12 (cos (α − β ) + cos (α + β )).

∫sin 5x cos 3x dx = 12 ∫(sin 8x + sin 2 x )dx = 12 ∫sin 8x dx + 12 ∫sin 2 x dx =

=− 1 cos 8x − 1 cos 2 x + % .

16 4

IV. )

∫R (sin x, cos x )dx ,

R – * " sin x, cos x , " * " -

* ( ' # " -:

t = tg

(12.1)

x = 2 arctg t, dx =

2dt

1 + t 2

sin x =

cos x =

1 − t 2

, tg x =

1 + t 2

1 − t 2

1 + t 2

∫5 − 4 sin x + 3 cos x

2 ! (12.1). # :

∫

2dt

∫

2dt

= ∫

2dt

1 + t 2

5 − 4

+ 3

1 − t 2

5 + 5t 2 − 8t + 3 − 3t 2

2t 2 − 8t + 8

1 + t 2

= ∫

= −

+ C =

+ C .

t 2 − 4t + 4

(t − 2)2

t − 2

2 − tg

& " * + -

! *. # * 3 -

. . , " R(− sin x, cos x) = −R(sin x, cos x) ,

, * " t = cos x . : R(sin x, − cos x) = −R(sin x, cos x) ,

, * " t = sin x . : R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x) , , * " t = tg x . 2, * "

∫Asin 2 x + B sin x cos x + C cos2

x + D

∫

= ∫

2 sin2 x − 4 sin x cos x + 5 cos2 x + 3

cos2 x(2 tg2 x − 4 tg x + 5 + 3(1 + tg2 x))

= ∫

d (tg x)

∫

[t = tg x] =

5 tg2 x − 4 tg x + 8

5t 2 − 4t + 8

−

						2
	1	∫	d	t −					1		5t − 2		1		5 tg x − 2
			d	t −
=						5		=		arctg		+ C =		arctg		+ C .
=	5			2	2		36	=	6	arctg	6	+ C =	6	arctg	6	+ C .
			t −			+
			t −	5		+	25
				5			25

13. , ' ".

0 ' * , " +

. 6 ,, ,, 3 !- + ' * " 3 (. # ( - + . " * " :

∫e− x2 dx – %,

∫cos x2 dx, ∫sin x2 dx – 4 ",

∫lndxx – * ( ,

∫sin x dx – * ( ,

∫1 − k 2 sin2 x dx ( k < 1) – ( .

# 3 * ' * " -

. . , % , + * (-

(, ( , ( , 4 " - ' * " " (" 4 "). " ! "

' * ", " , ! + .

1.?

2.* " , , "

* , ! ?

3.( ?

4.: ?

5." ' * ! * "?

6." , " ?

7." ?

8.: " , * " * '? : * ! ' *- " ?

9.: * ( ! , * " !?

10.: ' * " !?

11.: ' * " * (?

12.: ' * " (?

13. . (, " + ' * "

’ .

1.2 ( , ' * * ! ' - " :

	∫	(5x2	− 3x5 + 2x − 4)dx ,						∫	2		−			1		+	5
1)								2)													dx ,
1)								2)													dx ,
										x3				4x4					x

				4		x3							6					5
				4		x3							6					5
3)		5 7	x2 −				dx ,	4)								+						dx
3)	∫	5 7	x2 −				dx ,	4)		∫						+						dx
	∫				6					∫			4	x	5
					6						7			x						x

(1 +

5) ∫( x + 2)(x − x + 3)dx ,

6) ∫

dx ,

∫

2 5x −

∫

7 x ex dx ,

∫

−

dx , 8)

dx ,

10)

dx ,

41x

7 x

∫

− x

∫

− x

∫

(3sin x + 5 cos x )dx ,

11)

5 +

dx , 12)

ex 1 +

dx ,

13)

sin 2

cos 2 x dx

14) ∫tg

15) ∫ctg

∫

x dx ,

x dx .

16)

17)

sin

x cos

sin

x cos

18)

∫

3 tg2 x + 4

dx ,

19) ∫

4 − 5 ctg2 x

dx , 20)

∫sin 2

sin 2 x

cos2 x

∫

− cos

22)

sin

dx ,

23)

, 24)

∫ cos 2 x + sin 2 x

25) ∫

26) ∫

27) ∫

−16

+ 4

− 5

dx , 21) ∫cos2 x dx .

∫ cos2 x − cos 2 x ,

28) ∫ 3x2 + 7 ,

29) ∫

dx ,

30) ∫

dx , 31) ∫

32) ∫

+ 9

9 − x2

− 7

3 7 − x2

33) ∫

35) ∫

3 + x

34) ∫ 5 −

+ 7 x2

− 8 x2 − 8

9 − x4

2. )! " .

dx , 2) ∫

1) ∫(2 +

, 3) ∫ 9 (4 + 5x )

dx , 4) ∫

3x )

(6 − 5x )4

(7 + 2x )8

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.2025478.72 Кб1індз критика.doc
#
20.05.2015116.27 Кб6Індивідуальні засоби захисту.docx
#
06.05.201993.57 Кб18Інстр.-метод.мат-ли до практ. Word.docx
#
01.05.202590.62 Кб1Інструкція ІУ курс внутр мед ІІ сем.doc
#
09.11.201939.18 Кб4Інструкція з діловодства.docx
#
20.05.2015447.84 Кб3Інтегральне числення ФОЗ. 1.pdf
#
08.07.201958.37 Кб51Інтернет.doc
#
21.08.201999.33 Кб11ІСН.doc
#
05.12.2018777.73 Кб9ІСТОРІЯ ЕКОНОМІКИ ТА ЕКОНОМІЧНОЇ ДУМКИ.doc
#
01.05.2025503.3 Кб1Історія Росії 3 курс-ПРОВЕРЕНО.doc
#
01.05.202591.07 Кб1Історія України РКР.docx