Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Одесский национальный университет им. И.И. Мечникова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Інтегральне числення ФОЗ. 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.05.2015

Размер:

447.84 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

!. % " * " * , " (

, Qm ( x ). % " * '' * " , -

" x * * P	( x ) !
n

R ( x ), , * " ( ! " * -

, * !. / + ,

( ", + , , ( ’". $ ’" ' ' , ", ’" *

! " * -

" !, " " * .

. ,, , n < m . : n ≥ m , ! *

* , ! ', , ! - ! R ( x ) , ', , " -

. 0 R ( x ) 3 * " " * -

, * * " + ! + . % ( " " .

∫ 5x3 + 2

1. I = dx . x3 − 5x2 + 4x

* * , ' . & -

* ! :

5x3 + 2	= 5 +	25x2 − 20x + 2
				.
x3 − 5x2 + 4x		x3 − 5x2
			+ 4 x
#:
I = ∫5dx + ∫	25x2 − 20x + 2		dx = 5x + ∫		25x2 − 20x + 2	dx .
	x3 − 5x2 + 4 x				x3 − 5x2 + 4x

$ + * !: x3 − 5x2 + 4x = x ( x −1)( x − 4) .

2 !, + " * " I . # * (

! 3 * " :

25x2 − 20 x + 2		=	A	+	B	+	D
								.
x3 − 5x2
	+ 4 x		x x −1 x − 4

2 " ( * , ,:

25x2 − 20x + 2	=	A( x −1)( x − 4) + Bx ( x − 4) + Dx ( x −1)	=
x3 − 5x2 + 4 x		x ( x −1)( x − 4)

=Ax2 − 5 Ax2 + 4 A + Bx2 − 4Bx + Dx2 − Dx .

x ( x −1)( x − 4)

2 ", , " x *

* 25x2 − 20 x + 2 , " !:

x2 : A + B + D = 25
x :	− 5 A − 4B − D = −20
1 :	4 A	= 2
$ ’" ' ' , +: A =			1	,	B = −	7	,	D =	161	.
$ ’" ' ' , +: A =				,	B = −		,	D =		.
		2			3			6

2 +, + ! 3. ) * -

( * , * 25x2 − 20 x + 2 " ! * " -

* x ,

25x2 − 20 x + 2 = A( x −1)( x − 4) + Bx ( x − 4) + Dx ( x −1) ,

' +,

x = 0, x = 1, x = 4 . )-

, + " " , A,

D .

0 , ! ! + " ,.

# ,:

25x2 − 20x + 2

1 2

7 3

161 6

dx =

−

∫ x3 − 5x2 + 4x

∫

x −1 x − 4

∫

161

∫

161

−

x − 1

− 4

+ C .

x − 1

x − 4

) +

I = 5x +

−

x −1

161

x − 4

+ C .

2. I = ∫

5x2 + 6x + 9

dx .

( x − 3)2 ( x + 1)2

* * + * ,

+ II . #:

5x2 + 6x + 9

(

x − 3

)2 (

x +

x − 3

(

− 3

x + 1

(

x + 1

A( x − 3)( x + 1)2 + B ( x + 1)2 + D ( x + 1)( x − 3)2 + E ( x − 3)2

( x − 3)2 ( x + 1)2

=	A( x3 − x2 − 5x − 3) + B ( x2 + 2x + 1)	+ D ( x3 − 5x2 + 3x + 9) + E ( x2 − 6x + 9)		=

	( x − 3)2		( x + 1)2

( A + D ) x3 + (− A + B − 5D + E ) x2 + (−5 A + 2B + 3D − 6E ) x − 3A + B + 9D + 9E

(x − 3)2 (x + 1)2

2 '' ,, ,:

x3 : A

+ D

= 0

x2 : − A + B − 5D + E = 5

x : − 5 A + 2B + 3D − 6E = 6

1 : − 3A + B + 9D + 9E = 9

% ' x = 3 '' *, : 16B = 72 .

% ' x = −1 , ,: 16E = 8 .

2 B =

E =

, , * ":

A + D = 0, A + 5D = 0 .

2 A = D = 0 . # ,:

9 2

1 2

I =

dx =

∫

(

2 ∫(

∫(

x − 3

x + 1

− 3

x + 1

= −

−

+ C .

2 ( x − 3)

2 ( x + 1)

3. I = ∫

x4 + 1

dx .

x3 − x2 + x −1

* * * . & *-

! :

	x4 + 1		= x + 1	+		2		.

x3	− x2				x3	− x2
		+ x −1					+ x −1

I =

+ x + 2∫

+ x +

2∫

x3 − x2 + x −1

(

)(

)

−1

+ 1

) + I + III . ) +

A Mx + N

Ax2 + A + Mx2 − Mx + Nx − N

(

−

)(

)

x −1

x2 + 1

(

)

(

)

+ 1

x −1

+ 1

2 '' ,, ,:

x2 : A + M

= 0

x :

− M + N = 0

: A

− N = 1

A =

, M = N = −

1 2

(1 2) x + 1 2

x + 1

I =

+ x + 2

−

+ x +

−

dx =

∫

x2 + 1

∫ x −1

∫ x2

x −1

+ 1

2x dx

+ x + ln

x −1

−

∫

− ∫

x2 + 1

+ x + ln

x −1

−

ln (x2 + 1) − arctg x + C .

4. I = ∫	x −1	dx

	( x + 2)(x2 + 4)2

* * + * , +

x + 2 I , + (x2 + 4)2					– IV . / ,:
x −1	=	A	+	M1 x + N1		+	M 2 x + N2	.

( x + 2)(x2 + 4)2		x + 2		x2 + 4			(x2 + 4)2

9 *, , * " " " * , ,

A(x2 + 4)2 + (M1 x + N1 )( x + 2)(x2 + 4) + (M 2 x + N2 )( x + 2) = x −1.

% ' x = −2 , + 64 A = −3 , A = − 3 .

64 $' + '' , " x ,

, A, M1 , N1 , M 2 , N2 :

x4 : A + M		1													= 0
		1
x3 :	2M		1	+ N											= 0
			1			1
x2 :8 A + 4M				1	+ 2N + M						2				= 0
				1			1				2
x :	8M1 + 4 N1 + 2M 2 + N2																		= 1
1 :16 A						+ 8N1					+ 2N2								= −1
) * + , A = −																	3			, ’" , * ":
) * + , A = −																				, ’" , * ":
															64
2 1– " ": M										= − A =			3			.
2 1– " ": M									1	= − A =			64			.
									1

2 2– " ": N = −2M													= −					6			.
2 2– " ": N = −2M												1	= −								.
							1					1			64
															64
2 3– " ": M										= −8 A − 4M										− 2N =			24	.
2 3– " ": M									2	= −8 A − 4M									1	− 2N =				.
									2										1	1			64
																							64
2 4– " ": N										= 1 − 8M					− 4N − 2M								=	16	.
2 4– " ": N								2		= 1 − 8M				1	− 4N − 2M							2	=		.
								2						1						1		2	64
																							64
# ,:
	− 3 64						(3 64) x − 6 64												(	24 64) x + 16 64
	− 3 64						(3 64) x − 6 64												(	24 64) x + 16 64
I = ∫						+				x2 + 4					+						(x2 + 4)2					dx =
I = ∫	x + 1					+				x2 + 4					+						(x2 + 4)2					dx =

3 x − 2

3x + 2

= −

∫

dx +

∫

dx .

(8.1)

x + 2

x2 + 4

(x2 + 4)2

)! :

x − 2

2x dx

∫

dx =

∫

− 2∫

ln (x2 + 4) − 2 arctg

+ C ;

x2 + 4

∫

3x + 2

∫

2x dx

+ 2∫

dx =

(x2 + 4)2

= −

arctg

+ C

2 (x2 + 4)

4 (x2 + 4)

(" ' (7.2)).

% "' (8.1), ,:

I = −

ln (x2 + 4) −

arctg

x − 6

+ C .

x + 2

(x2 + 4)

128

9. # . & .

0 " * ( ! 3, + -

" * (. *3 , +

( + ". # 3

" +. : , ' * "

! , " " ! ! " *. 2 -

ax + b n

∫

ax + b s

,...,

dx ,

cx + d

R – * " , +

* ' :

ax + b = t k , cx + d

k – * ( ! m ,..., r .

$" .

(t + 1) −1

t = x

2tdt

1. ∫

= ∫

= 2∫

dt =2∫ 1

−

dt =

+ 1

t + 1

x + 1

x = t

, dx = 2tdt

t + 1

= 2∫dt − 2∫ t dt+ 1 = 2t − 2 ln t + 1 + C = 2 x − 2 ln ( x + 1) + C .

t = 6

, x = t 6

6t5 dt

t 3dt

(t3 + 1) −1

= 6

dt =

∫ 3 x +

dx = 6t5 dt

∫t 2 + t3

∫t + 1

∫

t + 1

+ 1

(t + 1)(t 2

− t + 1)

= 6∫

−

= 6∫

−

+ 1

t + 1

= 6

∫

− t + 1 −

∫

− 6

∫

tdt + 6

∫

− 6

∫

t dt

t + 1

dt = 6

= 6

t 3

− 6

t 2

+ 6t − 6 ln

t + 1

+ C = 2

− 3 3

+ 6 6

− 6 ln (6

+ 1)+ C .

1 − t

1 − x

= t 2 x =

1 + t 2

1 − x dx

3. ∫

1 + x

1 + t

= −4∫t

dt =

4 dt

1 + x x

dx = −

1 − t 2

(1 + t 2 )2

(1 + t 2 )

= 4∫

t 2

dt = 4∫

+ 1)(t

−1)

+1)(t −1)(t + 1)

Mt + N

= 4∫

dt .

t −1

t + 1

t 2 + 1

2 " * ( ! * '' -

( * t 2 , , " * -

, A, B, M , N :

t3 :	A + B + M	= 0
t 2 :	A − B +	N = 1
t :	A + B − M	= 0
1 :	A − B − N = 0
$ ’" ' ' , ,: A =			1	,	B = −	1	, M = 0,	N =	1	. #-
$ ’" ' ' , ,: A =				,	B = −		, M = 0,	N =		. #-
		4			4			2

3 ! , " ( " , 4 ):

∫

− ∫

+ 2∫

= ln

t − 1

− ln

t + 1

+ 2 arctg t + C =

t − 1

t + 1

+ 1

1 − x

−1

t −1

1 − x

= ln

+ 2 arctg t = ln

+ x

+ 2arctg

+ C =

t + 1

1 + x

− x

+ 1

1 + x

= ln

1 − x −

1 + x

+ 2arctg

1 − x

+ C .

1 + x

1 − x +

1 + x

0 * :

x = sin t

sin

t cos tdt

1 − cos 2t

x dx

sin 2 tdt =

dt =

∫

1 − x2

= cos tdt

cos t

∫dt −

∫cos 2tdt =

t −

sin 2t + C =

t −

sin t

1 − sin 2 t + C =

arcsin x −

1 − x2 + C .

x = 2 tg t x2 +

4 =

cos t

2dt

5. ∫

= ∫

cos2 t

∫cos t dt

dx =

cos2 t

+ 4)2

cos t

sin t + C =

tg t

+ C =

+ C .

tg2 t + 1

4 x2 + 4

10.# . ! "-

( " &.

$" :
∫xm (axn + b )p dx ,	(10.1)

m, n, p – * , a, b – ! * " .

%.5.9 ! 31 ! , " (10.1) ! '- ' * " " 3 * :

1) p – ;

1 9 ! 3 % ( 5* (1821–1894) – ( ( * ( .

2)m + 1 – ; n

3)m + 1 + p – . n

0 (10.1) ' * " # # # & '. $" + .

I. .( p – . # t = k x , k – * ( +

! m, n , * (10.1) * . : p ≥ 0 , * + ! " ,

(axn + b )p ' ! .*',

* " (.

II.

m + 1

– . 2 ! : z = xn , x = z1 n ,

dx =

z1 n−1dz , ,:

∫xm (axn + b )p

dx = ∫ z

(az + b )p

−1dz =

∫ z q (az + b )p dz ,

q = m + 1 −1. n

) * q , ! : tν = az + b , ν – -

! p . # * " * . / + ! ! (10.1) ! axn + b = tν .

III.

m + 1

+ p – . # 3 3 :

∫xm (axn + b)p dx = ∫xm xn (a + bx− n ) p dx = ∫xm+np (a + bx− n )p dx .

−

−1

2 ! : z = x− n . #

x = z n ,

dx = −

z n

dz , ,:

m+1

−

∫z −

(m+np ) (a + bz )p z −

−1dz = −

∫z −

− p−1 (a + bz )p dz .

) * − m + 1 − p −1 (, * " - n

* ' a + bz = tν , ν –

! p . / + (10.1) ! a + bx− n = tν .

		∫													∫									1
								x																1
								x
				3	1 +			4	x								−	1				1	3
	1.									dx = x 2 x 4 + 1 dx .
	1.									dx = x 2 x 4 + 1 dx .
																									−	1		+ 1
						1					1						1				m + 1				−	2		+ 1
# m = −						1	, n =				1		,	p =			1		;		m + 1			=		2					= 2 , ! , II.
# m = −							, n =						,	p =					;					=			1				= 2 , ! , II.
					2				4								3						n				1
																										4
									1			+ 1 = z3 , x = (z3 −1)4																		, dx = 4 (z3 −1)3
$! : x										4		+ 1 = z3 , x = (z3 −1)4																		, dx = 4 (z3 −1)3		3z 2 dz , -
! , ":
∫(z3 −1)−2 z 4 (z3 −1)3 3z 2 dz = 12∫z3 (z3 −1)dz = 12∫(z6 − z3 )dz =
																				7									4
	12z7															1									1
													12			1						3			1				3
													12									3							3
=			− 3z 4 + C =												x 4 + 1								− 3 x 4 + 1								+ C =
=	7		− 3z 4 + C =										7		x 4 + 1								− 3 x 4 + 1								+ C =
	7												7

= 127 3(1 + 4 x )7 − 3 3(1 + 4 x )4 + C .

						−	1
					1
		dx			1		4
		dx					4
2.			=	x 4		+ 1		dx .
2.			=	x 4		+ 1		dx .
	∫4 1 + x4			∫

# m = 0, n = 4, p = − 1 ; m + 1 + p = 0 , ! III.

% :

	1				1
∫ x4 (1 + x−4 ) −			dx = ∫x−1 (1 + x−4 )−				dx
		4
		4				4
					x = (z 4 −1)−			1		1	(z 4 −1)−	5
! : 1 + x−4 = z 4 . #								4 ,	dx = −	1		4	4z3dz ,
! : 1 + x−4 = z 4 . #								4 ,	dx = −			4	4z3dz ,
! , ":									4
! , ":
1			−	5	z2
			−		z2
−∫(z4 −1)4	z−1 (z 4 −1) 4 z3dz = −∫						dz .
−∫(z4 −1)4	z−1 (z 4 −1) 4 z3dz = −∫				z4 −1		dz .

# * . & '

, . 8, ,, ( ', ( -

():

1 ln z + 1 − 1 arctg z + C . 4 z −1 2

% ' * x , ,, 3 - ',:

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.09.2019224.26 Кб5ІДПЗК 5.3.doc
#
09.11.201941.59 Кб14ІЗМАЇЛЬСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ГУМАНІТАРНИЙ УНІВЕРСИТЕ1...docx
#
20.05.2015116.27 Кб5Індивідуальні засоби захисту.docx
#
06.05.201993.57 Кб9Інстр.-метод.мат-ли до практ. Word.docx
#
09.11.201939.18 Кб1Інструкція з діловодства.docx
#
20.05.2015447.84 Кб2Інтегральне числення ФОЗ. 1.pdf
#
08.07.201958.37 Кб11Інтернет.doc
#
21.08.201999.33 Кб5ІСН.doc
#
05.12.2018777.73 Кб5ІСТОРІЯ ЕКОНОМІКИ ТА ЕКОНОМІЧНОЇ ДУМКИ.doc
#
12.11.201966.15 Кб2Історія Фонтанки.docx
#
20.05.201561.01 Кб3Історія.docx