Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Одесский национальный университет им. И.И. Мечникова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Інтегральне числення ФОЗ. 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.05.2015

Размер:

447.84 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

4). ∫

45 x dx

= −

∫

−3 5 ln 4 45 x dx

= −

∫

d (2 − 3 45 x )

− 3 4

5 x

15 ln 4

2 − 3 4

5 x

15 ln 4

2 − 3

5 x

= −

2 − 3

45 x

+ C .

15 ln 4

5. % .

. ( u = u ( x ), v = v ( x ) – ( " - + . $" !:

d (uv ) = udv + vdu .

2 , ! , : uv = ∫udv + ∫vdu .

∫udv = uv − ∫vdu

(5.1)

4 (5.1) , * " ' " . & „ -

,” v ' u . 4 ' u -

* ! ' * , ! (

(5.1) ! 3, + ( , . $" .

1). ∫x cos x dx .

)! u = x , dv = cos x dx, du = dx, v = ∫dv = ∫cos x dx = sin x .

2 ' (5.1) ,:

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x + C .

2) ∫ x ln x dx .

)! u = ln x,

dv = x dx,

du =

v = ∫x dx =

∫x ln x dx =

ln x − ∫

ln x −

∫x dx =

2 x

x2 . # ,:

ln x − x2 + C .

9 + 3 ! u = x , u = ln x . ) *

' " (5.1). *

' * " , .

! # #

# " ! (! # ), -

u .

! # # -

# " # ", u

# " # " .

0 (5.1) * " * .

1). ∫x3ex dx

u = x

,2 dv

= e

dxx = x3ex − 3∫x2 ex dx

du = 3x dx, v = e

u = x

, dv = e

du = 3x2 dx, v = ex

= x3ex − 3(x2ex

− 2∫xex dx )

dxx

= x3ex

− 3x2ex + 6∫xex dx u = x,

dv = e

du = dx, v = e

= x3ex − 3x2 ex + 6 (xex − ∫ex dx ) = x3ex − 3x2 ex + 6xex − 6ex + C .

2). ∫ex sin x dx .

% ( I , (5.1), ! 3 u = sin x, dv = ex dx, du = cos xdx, v = ex . #

I = ex sin x − ∫ex cos x dx .

: u = cos x, dv = ex dx, du = − sin x, v = ex . ) ,:

I = ex sin x − (ex cos x + ∫ex sin x dx ) = ex (sin x − cos x ) − I ,

! " " I . $ ’" ' (, ,:

I = ex (sin x − cos x ) + C . 2

6.& , ' .

! , :

∫

arctg

+ C ,

∫

x − a

+ C .

x + a

+ a

− a

% +, + ":

	dx
		, p, q – .
∫ x2
	+ px + q

(, * ! ( :

∫

= ∫

x2 + px + q

p 2

+ 2x

+ q −

x +

+ q −

= ∫

t = x +

dx = dt

−

+ 3- (.

q −

= 0 . # ! , ":

∫

= −

+ C = −

+ C .

t 2

x +

q −

> 0 . #, 3 q −

= a2 , :

x +

∫

arctg

+ C =

arctg

+ C .

+ a

q −

< 0 . #, 3 q −

= −a2 , :

														x +		p		−	p	2	− q
			dt			1		t − a		1
∫					=		ln		+ C =				ln			2			4			+ C .
																2			4
	t	2	− a	2				t + a
		2		2
						2a				p	2				p				p	2
											2									2
									2			− q		x +			+				− q
									2	4		− q		x +			+		4		− q
										4						2			4

2 +, + ! ":

	dx
		,	(6.1)
∫

	ax2 + bx + c

" :

== ln

t + t 2 ± α 2

+ C

( a > 0 ).

∫

t 2 ± α 2

= arcsin

+ C

( a < 0 ).

∫

α 2 − t 2

% ( .

1. ∫

∫

= ∫

[t = x + 3, dx = dt ] =

+ 6x

+ 6x + 9

+ 4

( x

+ 4

+ 13

= ∫

arctg

+ C =

arctg

x + 3

+ C .

+ 4

2. ∫

∫

= ∫

− 3x + 1

− 2 x

+ 1 −

x −

−

2 4

t −

∫

x −

= t, dx = dt =

+ C =

−

t +

x −

−

2x − 3 −

+ C .

2 x − 3 + 5

x −

	3. ∫			dx				= ∫				dx			= ∫


			3	− x − x2							− (x2 + x − 3)
			3	− x − x2							− (x2 + x − 3)
= ∫				dx						= ∫			dx


						2										1 2
					1	2	13		13							1 2
		−	x +			−							− x	+


					2		4		4							2
					2		4		4							2

			dx					=
								=
	2		1		1		1
− x		+ 2x		+		− 3 −
− x		+ 2x		+		− 3 −
			2		4		4

	1
t = x +		,	dx = dt
t = x +		,	dx = dt
	2

										1
						2		x +
						2		x +
= ∫	dt		= arcsin		t		+ C = arcsin			2	+ C = arcsin	2 x	+	1	+ C .

	13	− t 2		13					13			13
	4	− t 2		2
	4			2

$" ! *3 * ":

Mx + N

∫ x2 + px + q dx .

& * * ! ( :

Mx + N =

(2x + p ) + N −

# 3 ! , ":

M 2 x + p

dx + N −

2 ∫ x2 + px + q

∫ x2

+ px + q

% 3 ( ', M ln x2 + px + q ( '

(4.2)), ( ! ', * " !.

! '' * " ":

	Mx + N
		dx .
∫

	x2 + px + q

; + + ! , 3 ( " , ":

∫duu = 2u + C ,

( * " " (6.1). $" .

(

2x + 4) −1

3x + 5

2 x + 4

1. ∫

= ∫

∫

dx − ∫

dx =

x2 + 4x + 5

x2 + 4 x + 5

− ∫

x2 + 4x + 5

− arctg ( x + 2) + C .

( x + 2)2 + 1

(2x + 5) −

2. ∫

x − 3

dx =

∫

dx =

x2 + 5x + 1

∫

2x + 5

dx −

∫

x2 + 5x + 1

d (x

+ 1)

d x +

+ 5x

∫

−

∫

x2 + 5x + 1

x +

−

1 2

+ 5x + 1 −

x +

−

+ C =

−

+ C .

x +

x2 + 5x + 1

7. # ".

< ! ' * " ":

	1			1			1				Mx + N
	1)		, 2)				, 3)			, 4)		,
		x − a		( x − a )m				x2 + px + q			x2 + px + q
	1						Mx + N
5)					, 6)				.
	(x2 + px + q )m					(x2 + px + q )m
# , * ",							m – * , " ! *3 1,

x2 + px + q , ( , ! ( p2 − 4q < 0 .

$" " ! " . 0

! 1), 2) ! '' * " + :

∫

= ∫

d ( x − a )

= ln

x − a

+ C.

x − a

( x − a )1−m

∫

= ∫( x − a )

− m

d ( x − a ) =

+ C = −

+ C.

(

x − a

1 − m

(

)(

x − a

)m−1

m −1

0 ! 3), 4) ! " .6. 2 * -

! 5), 6). .6 !, ' ' -

! 5) + :

Im = ∫	dx	(a ≠ 0).
	(x2 + a2 )m

# " Im . 2 , "

(5.1).

u =

dv = dx

(x2 + a2 )

Im = ∫

2 m

2mx dx

(x + a )

du = −

, v = x

(x2 + a2 )m+1

x2 dx

x2 + a2 − a2

+ 2m∫

dx =

(x2 + a2 )m

(x2 + a2 )m+1

(x2 + a2 )m

(x2 + a2 )m+1

+ 2m

∫

− a

∫

(x2 + a2 )m

(x2 + a2 )m+1

+ 2mI

− 2ma2 I

m+1

(x2 + a2 )m

(2m −

1) I

m+1

2ma

+ a

)

# ! , " ",

Im . 2, " m = 1, ,:

(7.1)

Im+1

	=	1		+	x
I2			I1			.
		2a2			x2 + a2

& ',

I =

arctg

+ C ,

∫ x

2 + a2

arctg

+ C =

∫(x2 + a2 )2

2a2

a x2

+ a2

arctg

+ C .

(7.2)

2a3

2a2 (x2 + a2 )

# " " ! 6):

(2x + p ) + N −

∫

Mx + N

dx =

∫

(x2 + px + q )m

2x + p

dx +

−

∫(x2 + px + q )m

d (x2 + px + q )

+ N −

∫ (x2 + px + q )m

= −

+ N −

(m −1)

−

∫

(x2 + px + q )m

(x2 + px + q )m 1

! .

. )!

I = ∫

3x + 5

dx .

(x2 + x + 10)3

/ ,:

I = ∫

(2x + 1) + 5 −

2x + 1

2 2

dx =

∫

dx +

(x2 + x +10)3

(x2 + x + 10)3

∫

d (x2 + x + 10)

= −

(x2 + x + 10)3

4 (x2 + x + 10)2

= ∫

(x2 + x + 10)3

)! ( .

		=														dx									=							dx										= x +
I																																								t
I				∫																				3		∫												3		t
				∫						2	+	2 x				1	+		1	+		39				∫					1		2		39
							x																					x	+					+
							x																					x	+					+
																2 4 4															2				4

= ∫								dt						.
= ∫					2		+		39 3					.
					2				39 3
			t
			t
										4
2 ' (7.1) ( m = 2 ) ,:

∫				dt										1				3∫				dt							t							1	∫				dt
				dt							=			1								dt				+			t					=		1					dt
	2					39 3					=		4		39							2 39 2					2			39 2				=	13				2			39 2
	2					39 3																2 39 2					2			39 2									2			39 2
	t +														4						t	+					t +												t +
	t +																				t	+	4				t +												t +
							4																4							4												4

,dx = dt =

+			t			=

		2	+	39	2
39	t
39	t
				4

arctg

19773

39 2

507

t 2 +

) +, ' * x , ,:

2 x + 1

2x + 1

2 x + 1

4 39

arctg

19773

507 (x2 + x + 10)

78 (x2 + x + 10)2

2 " *:

7 (2x + 1)

14 x −110

2 x + 1

I =

arctg

1014 (x2 + x + 10)

156 (x2 + x + 10)2

19773

8. # .

. ,, * ' ,' , * " " ":

R ( x ) =		P	( x )
		n		,
		Q	( x )	,
		m
P	( x ) – " n , Q				(x ) – " m .
n				m

0 * ( + + ' * " -

. " +

3 ( (*, ). # "

* * !. & " ,

8 , * " :

$" n < m , ! * * + -

" .

1.2 Qm (x ) , * " +, + " *-

" * :

I.x − a

II.( x − a )s , s > 1

III.x2 + px + q , p2 − 4q < 0

IV. (x2 + px + q )s , p2 − 4q < 0, m > 1

2. + + * " * ( !, !

!. :

/ + I * " * ! A . x − a

/ + II * " * !:

A1	+	A2	+ +	Am
					.
x − a		( x − a )2		( x − a )m

/ + III * " * !							Mx + N	.
/ + III * " * !								.
							x2 + px + q
/ + IV * " * !:
	M1 x + N1	+	M 2 x + N2	+ +	M s x + Ns
						.
	x2 + px + q		(x2 + px + q )2		(x2 + px + q )s	.

, * ! .

3. % * ( ! R (x ) , * " " -

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.09.2019224.26 Кб5ІДПЗК 5.3.doc
#
09.11.201941.59 Кб14ІЗМАЇЛЬСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ГУМАНІТАРНИЙ УНІВЕРСИТЕ1...docx
#
20.05.2015116.27 Кб5Індивідуальні засоби захисту.docx
#
06.05.201993.57 Кб9Інстр.-метод.мат-ли до практ. Word.docx
#
09.11.201939.18 Кб1Інструкція з діловодства.docx
#
20.05.2015447.84 Кб2Інтегральне числення ФОЗ. 1.pdf
#
08.07.201958.37 Кб11Інтернет.doc
#
21.08.201999.33 Кб5ІСН.doc
#
05.12.2018777.73 Кб5ІСТОРІЯ ЕКОНОМІКИ ТА ЕКОНОМІЧНОЇ ДУМКИ.doc
#
12.11.201966.15 Кб2Історія Фонтанки.docx
#
20.05.201561.01 Кб3Історія.docx