Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Одесский национальный университет им. И.И. Мечникова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Інтегральне числення ФОЗ. 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.05.2015

Размер:

447.84 Кб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

517.3

22.161.1

. ., - ,

! " . #., - ,

$ .

% &. . – - ,

' ( ' ) * *

* ,

% . &. – - ,

' ( ' ! ' *

%$ ) * +

! ,

’, -. ). – - ,

) * * * ,

. *-( ! * -

«/ ( » " !, -

* " « », « », « -

"».

% ! * " ", , , !

’" , + " " ( ! -

$ -' ' ). 0. 0. /

( 1 1 24.10.2013).

1..

&«* " ( , » (-

" * " * – "- " :

f ′(x ) = lim	f ( x +	x ) − f (x )	.

x→0		x

2 ' ,' .

& ! * " ! ’" ! :

' ' f ′ (x ) ( ' f (x ) .

2 + , , : - , ' 3 ' v (t ) = dxdt * t -

x (t ) ( .

2’" , * ", " ! 3, + '-

". *3 , " ! + * 3 ",

+ ’". . , -


( , , " ', e− x2 .
% ( *.
.		4 " F (x ) , * " "				f (x )
	(a, b), "		F (x )	(	(a, b),
x (a, b) : F ′ (x ) = f (x ) .
:
1. .(		f ( x ) = 2 x,	x (−∞; + ∞). # F ( x ) = x2 .			(,

x (−∞; + ∞) : (x2 )′ = 2 x .

2. . (

f ( x ) =

# F ( x ) = tg x . (,

−

;

cos2

: (tg x )′ =

x −

;

cos2

%, "

f ( x ) = 2 x

! * +

F ( x ) = x2 + 1,

F ( x ) = x2 −

, F ( x ) = x2 +

! * " "

" x2 + C , C – . & " f ( x ) = cos2 x -

! * " tg x + C . * ( "

. F ( x ) f ( x )

(a, b) , F (x ) + C , C – ,

f ( x ) (a, b) .

! + . (:

(F ( x ) + C )′ = F ′( x ) + C′ = f ( x ) + 0 = f ( x ).

# , + " ’" , * " . - ' ! * " f ( x ) , -

, , + * * . & , ": , * " " + -

" , . & * , .

. F1 ( x ) F2 ( x ) – f ( x )

(a, b) . x (a, b) :

F2 ( x ) − F1 ( x ) = C .

!. % Φ ( x ) = F2 ( x ) − F1 ( x ). # x (a, b):

Φ′( x ) = (F2 ( x ) − F1 ( x ))′ = F2′( x ) − F1′( x ) = f ( x ) − f ( x ) = 0 .

& * * " x1 , x2 (a, b) , x1 < x2 "

' Φ ( x2 ) − Φ ( x1 ) . 2 ' 5 + ( x1, x2 )

, c , ! *:

Φ ( x2 ) − Φ (x1 ) = Φ′(c )( x2 − x1 ) = 0

(* Φ′(c ) = 0 ). ) + Φ ( x2 ) = Φ ( x1 ), ! " Φ ( x )

' * *	(a, b) . 6 ,,
Φ ( x ) = C = const (a, b), ( ! ! .
2 ,, " "	f ( x ) (a, b)

, ! , " f ( x ) * , ! -

, "' * " .

. * f ( x ) (a, b)

, * " ! " # # f ( x ) * , -

, * " :

∫ f ( x ) dx .

% * " f ( x ) , * " ,

f ( x ) dx # ! #.

∫ ! 5 (! 1686 . 6 ( , -

* ! S – 3 ! Summa. # « » ( * integer – () ! 1696 7

. & , * " ! "

2 " , " ( ! ":

∫ f ( x )dx = F ( x ) + C

# ! ! * " F ( x ) f ( x ) ! *

C .

. " , , ,:

∫2 x dx = x2 + C, ∫	dx			= tg x + C .

	cos	2
			x

', " :

1. ! " :

(∫ f ( x )dx )′ = (F ( x ) + C )′ = f ( x ) + 0 = f ( x ) .

2. $ ! " #

d (∫ f ( x )dx ) = (∫ f ( x )dx )′ dx = f ( x )dx .

3. ! "

∫dF ( x ) = ∫F ′( x )dx = ∫ f ( x )dx = F ( x ) + C .

& 1 – 3 - '' * ( , " -

" , ! ' ' ".

4. % # # ! ! ! " :

∫k f ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx .

5. ! " # (!) # ( - !) ! " :

∫( f ( x ) ± g ( x ))dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx .

& 4,5 , ( .

2. " # # .

. " ! ( . -

«* " ( , ») + -

! ' . , ( ! ! * * "

, " ! + ' * " ! ' . 6 "- ' * " ! ' ". ) +:

∫0 dx = C

∫dx = x + C

∫xα dx =

xα +1

+ C

(α ≠ −1)

α + 1

∫

= ln

+ C

∫a x dx =

a x

+ C,

∫ex dx = ex + C

ln a

∫sin xdx = − cos x + C

∫cos xdx = sin x + C

= − ctg x + C

∫ sin 2 x

= tg x + C

∫ cos2

∫

arctg

+ C

+ a

∫

x − a

+ C

x2 − a2

x + a

∫

= ln

x + x2 ± a2

+ C

x2 ± a2

	dx	= arcsin	x	+ C
∫

	a2 − x2		a

3. $ " .

& ' 3 ! ' , + + ! ' " . $" .

	1		5			1		−	4

1). ∫ 3x5 −		+			dx = 3∫x5 dx −		∫x		3 dx + 5∫x−3 dx =
			x	3		2
	2 3 x4

−

x−2

= 3

−

+ 5

+ C =

−

−2

2 3 x

∫

+ 1

dx =

+ 1 dx =

= ln x + 4 x + x + C.

& ’" :

−	5	+ C .
	2x2

dx + 2∫ dx + ∫dx = x x

∫

= ∫x−

x 2

dx =

+ C = 2 x + C .

∫

2 x

3).

cos

+ sin

dx =

cos

+ 2 cos

sin

+ sin

dx =

= ∫(1 + sin x )dx = ∫dx + ∫sin x dx = x − cos x + C.

# :

cos2 α + sin 2 α = 1,

sin α = 2 sin

cos

∫

− x

∫

− x

4).

4x 3 +

dx =

3 4x +

cos2

cos2 x

= 3∫4x dx + ∫

= 3

+ tg x + C.

cos2 x

ln 4

∫

1 − sin3

5).

− sin x dx =

sin 2 x

∫ sin 2

dx =

= ∫

−

∫sin x dx = − ctg x + cos x + C.

sin

∫

− 81 + 81

dx =

∫

− 81

6).

∫ x2 + 9

x2 + 9

x2 + 9 x2 +

(x2

− 9)(x2 + 9)

∫

dx =

2 −

9 +

∫

x2 + 9

= ∫x2 dx − 9∫dx + 81∫

− 9 x + 81

arctg

+ C .

x2 + 9

∫

1 + x2 − 1 − x2

1 + x2

1 − x

7).

dx =

−

dx =

1 − x

∫

− x

1 − x

∫

1 + x

1 − x

−

dx =

+ x

− x

1 + x

1 − x

= ∫

−

dx = ∫

−

∫

1 − x2

1 + x2

1 − x2

1 + x2

=arcsin x − ln x + 1 + x2 + C .

4..

! '' * " , " .3. #

3 * . ) ,

! . & 8 , * " ( .

. F (x ) f ( x ) (a, b ), :

∫ f ( x )dx = F ( x ) + C,	x (a, b ) ,
x = ϕ (t )	! " (α , β ),

" # # ! " (a, b ).

∫ f (ϕ (t ))ϕ ′(t )dt = F (ϕ (t )) + C, t (α , β ) .

!. 2 ' ' " ,-:

(F (ϕ (t )))′ = F ′(ϕ (t ))ϕ′(t ) = f (ϕ (t ))ϕ ′(t ),

,, " F (ϕ (t )) , ' " f (ϕ (t ))ϕ ′(t )

(α , β ) , ! + " .

. ' * . ' * " (-

' x = ϕ (t ) , !

∫g (t ) dt = ∫ f (ϕ (t ))ϕ ′ (t ) dt

! 3 , + (

∫ f ( x ) dx .

9 ! " t =ψ ( x ) , ! "

+ t x .

. * , , + ( *.

. ( F ( x )

, ' "

f ( x ) (a, b ), !

∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C.

$":

t = ax + b,

∫ f (ax + b )dx

x =

t − b

, dx =

= ∫ f (t )

dt =

∫ f (t )dt =

F (t ) + C =

F (ax + b ) + C

(4.1)

$" .

1). ∫(3x + 5)10 dx

6 ( + ! ! ! ! *, '

! .*'. * . %, (

+ ( ! (

∫x10 dx =

x11

+ C .

. (4.1) ,:

∫(3x + 5)10 dx =

(3x + 5)11

+ C =

(3x + 5)11

+ C .

# f ( x ) = x10 ,

a = 3,

b = 5,

F ( x ) =

x11

2). ∫a2 − x2 dx, x (0,1) .

2 !

x = a sin t,

= a cos t,

2 (1 − sin 2 t ) =

a2 − x2 =

a2 − a2 sin 2 t =

a2 cos2 t

t 0,

, t = arcsin

dx = a cos t dt

/ ,:

∫

dx = ∫a cos t a cos t dt = a2 ∫cos2 t dt = a2 ∫

1 + cos 2t

dt =

a2 − x2

∫dt +

∫cos 2t dt =

t +

sin 2t + C =

a2t

2 sin t cos t + C =

a2t

+ C =

arcsin

sin t

1 − sin 2 t

a2 − x2 + C .

% ! cos 2t " ' (4.1). ) ! , * " ,

, * " " u ( x ) , 3 * " , - 3 * ' , " u ( x ) , :

∫ f (u ( x ))u′( x ) dx = ∫ f (u ( x )) du ( x ) .

#, ( '' t = u ( x ) , , :

∫ f (t ) dt .

: F ( x ) f ( x ) ,

∫f (u ( x ))u′( x ) dx = ∫ f (u ( x )) du ( x ) = t = u ( x ) =

=∫ f (t ) dt = F (t ) + C = F (u ( x )) + C .

$" :

(ln x )

1). ∫

= ∫

4 − ln 2 x

4 − ln2 x

− ln2 x

) + u = ln x . 2 ! 3 t = ln x ,

	dt		= arcsin	t	+ C = arcsin	ln x	+ C .
∫

	4 − t 2	2			2

2). 0 " " ! * (

+ ( ) " .

													1													1
				3				2					1					3					2			1				3				3		3
∫		x			+ 1 x				dx			=				∫ x			+ 1 3x					dx =				∫	x		+ 1 d (x				+ 1) = t = x		+ 1	=
∫		x			+ 1 x				dx			=	3			∫ x			+ 1 3x					dx =		3		∫	x		+ 1 d (x				+ 1) = t = x		+ 1	=
													3													3
																					3
	1										1		1				1			t 2					2						3
=			∫				dt =					∫t			dt =							+ C =					(x3 + 1)						+ C .

						t								2																		2
						t								2						3												2
	3								3								3			3				9
																				2
	3). & + , ( :
	∫			u′(x ) dx						= ∫				du ( x )					,
	∫									= ∫									,
					u ( x )									u (x )

! * * ! * " ( -

. $! " t = u ( x ) , , :

∫	dt
		= ln	t	+ C = ln	u ( x )	+ C .	(4.2)


	t

# ! ', * " .

1). ∫ctgx dx = ∫

cos x dx

∫

d sin x

= ln

sin x

+ C .

sin x

2). ∫tgx dx = ∫

sin x dx

= −∫

− sin x dx

= −∫

d cos x

= − ln

cos x

+ C .

cos x

3). $" ! *3 ( :

sin

2 x

+ cos

2 x

sin

cos

∫

= ∫

1 dx

∫

=∫

dx + ∫

dx =

sin x

2 sin

cos

2 sin

cos

2 cos

2 sin

∫

ctg

= − ln

cos

+ ln

sin

+ C = ln

+ C .

6 ( + ! ! + ! '

t = tg x .

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.09.2019224.26 Кб3ІДПЗК 5.3.doc
#
09.11.201941.59 Кб14ІЗМАЇЛЬСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ГУМАНІТАРНИЙ УНІВЕРСИТЕ1...docx
#
20.05.2015116.27 Кб5Індивідуальні засоби захисту.docx
#
06.05.201993.57 Кб9Інстр.-метод.мат-ли до практ. Word.docx
#
09.11.201939.18 Кб1Інструкція з діловодства.docx
#
20.05.2015447.84 Кб2Інтегральне числення ФОЗ. 1.pdf
#
08.07.201958.37 Кб10Інтернет.doc
#
21.08.201999.33 Кб5ІСН.doc
#
05.12.2018777.73 Кб5ІСТОРІЯ ЕКОНОМІКИ ТА ЕКОНОМІЧНОЇ ДУМКИ.doc
#
12.11.201966.15 Кб2Історія Фонтанки.docx
#
20.05.201561.01 Кб3Історія.docx