Оцінка ступеня кореляції

Одна з задач, що найчастіше зустрічаються в експериментальному дослідженні - виявлення зв'язків між явищами. Виявити зв'язок між змінами величин, що вимірюються часто непросто через їх випадкові варіації (коливання).

Одна з найпростіших ознак наявності кореляційного зв'язку полягає в тому, що чисельне збільшення або зменшення того або іншого показника супроводжується одночасним збільшенням або зменшенням показника, який кількісно характеризує інші явища.

Кількісною характеристикою кореляційного зв'язку є коефіцієнт кореляції r_xy (індекс xy вказує на зв'язок ознаки х з ознакою у, яку характеризує коефіцієнт r).

Кореляційний зв'язок може бути позитивним (прямим), коли обидві ознаки міняються в одному напрямі, і негативним (зворотнім), коли розвиток одного явища пов'язаний з ослабленням іншого.

Якщо зв'язок між показниками носить прямий характер, то величина коефіцієнта кореляції буде знаходитись в інтервалі від 0 до +1. Прі зворотному характері зв'язку величина r буде укладена в інтервалі від 0 до -1. Прийнято вважати, що величина r_xy в діапазоні від 0 до 0,3 свідчить про слабу міру зв'язку, від 0,3 до 0,7 - про помірну і вище за 0,7 - про сильну міру зв'язку між показниками х і у.

Часто дослідник виявляє, що кореляційний зв'язок між ознаками, що вивчаються. відсутній, так як коефіцієнт кореляції r_xy виявляється значно меншим 1 (наближається до 0). Це вказує на відсутність в цьому випадку прямолінійного кореляційного зв'язку. Однак, це не означає, що зв'язку між цими двома ознаками немає. Можливо між ними існує нелінійний кореляційний зв'язок. У цьому випадку зв'язок між ознаками потрібно оцінювати по коефіцієнту нелінійної кореляції , який точніше, ніж коефіцієнт кореляції r, відображає міру цього зв'язку.

Якщо при аналізі вибірки невідомо, який між двома ознаками існує зв'язок, потрібно розрахувати коефіцієнт кореляції (r) і коефіцієнт нелінійної кореляції (). У випадку, якщо ці два коефіцієнти рівні, або близькі за значеннями, то це означає зв'язок прямолінійний. Якщо ці два коефіцієнти розрізнюються значно, то у цьому випадку зв'язок нелінійний.

Коефіцієнт лінійної кореляції r обчислюється за формулою:

r_xy = (18),

де і означають середні, обчислені відповідно з всіх показників х та у, - сума всіх обутків відхилень показника x та показника y від середніх та (для кожної пари результатів), а i - суми квадратів тих же відхилень.

Якщо кількість пар х і у менше 30 (n 30), то розрахунок показника помилки коефіцієнта кореляції можна провести по формулі:

m_r = (19).

Міру достовірності можна знайти з таблиці 2 додатку при ступені свободи

df = n -2 (де n - число пар ознак х і у).

Приклад 11.

При вивченні впливу ультрафіолетового світла на клітки кишкової палички отримані дані про зміну чисельності життєздатних клітин (у), вираженої у відсотках, в залежності від часу опромінення (х).

n	X (час опромі-нення, сек)	Y (кількість колоній на чашці)	(Xi- Xср)	(Yi-Y р)	(Xi- Yср)* (Yi - Yср)	(Xi - Xср)2	(Yi - Yср)2
1 2 3 4 5 6 7 8	1 2 2 3 4 5 10 10	95 100 92 18 44 48 0 5	-3,6 -2.6 -2.6 -1.6 -0.6 0.4 5.4 5.4	44.7 49.7 41.7 -32.3 -6.3 -2.3 0.0 -45.3	-160.9 -129.2 -108.4 51.7 3.8 -0.9 0.0 -244.6	13.0 6.8 6.8 2.6 0.4 0.2 29,2 29.2	1998.1 2470.1 1738.9 1043.3 39.7 5.3 0.0 2052.1
n=8	=37 Хср= 4.6	402 Yср= 50.3			= -588,8	= 88,2	= 9347,5

Одержані значення підставимо у формулу 18:

Помилку коефіцієнту кореляції знаходимо за формулою19, якщо кількість пар Х та Y більше 30 , але менше 100 (30  n  100).

m_r= (19)

Якщо кількість пар менше 30, то разрахунок слід пролводити за формулою:

(20)

Показник крітерія Стьюдента з данних досліду разраховують за формулою:

t= (21)

Ступінь достовірності коефіцієнту кореляції можно знайти по таблицях 2 та 4 при ступені свободи df=n-2.

Подальші розрахунки, проведені на основі данних прикладу 11 дали можливість визначити величини помилки коефіцієнту кореляції (m_r) та значення t-крітерія:

= 0,204;

З таблиці 2 видно, що для числа ступеней свободи дорівнюючих 14 (n₁+n₂-2) теоретичне значення t становить 2,98 (для Р0,01або 99%). Оскільки t за данними досліду складає 3,18, що більше за 2,98, то можливо вважати доказаним, що вирогідність коефіцієнту кореляції більше за 99%.

З більшею точністю визначити показник Р можливо за допомогою таблиці 4. Для t= 3,18 і df=14 величина Р 99,3%.