Обчислення середніх величин

Одним з найпростіших і найбільш поширених прийомів обробки експериментальних даних є обчислення середньої арифметичної. Розрахунок середньої арифметичної може застосовуватися тоді, коли розподіл отриманих експериментальних даних має симетричний характер, Інакше кажучи, при дуже великому числі дослідів, проведених за допомогою прийнятого методу, отримані результати повинні відхилятися в позитивну сторону від середньої так же часто і в такій же мірі, як і в негативну сторону.

Серед результатів мікробіологічних і імунологічних досліджень часто зустрічаються асиметричні розподіли. Це має місце, наприклад, при визначенні концентрації токсинів, анатоксинів, мікроорганізмів і вакцин по дії на організм різних доз цих агентів. У цих випадках, замість середньої арифметичної необхідне застосування середньої геометричної. Якщо ж закон розподілу даних експерименту невідомий і є сумніви в симетричність розподілу, то найбільш доцільно обчислення медіани - самого універсального виду середньої.

Середню арифметичну можна розраховувати при будь-якому числі даних, відмінному від одиниці. Необхідна лише сувора оцінка меж вірогідного відхилення (довірчого інтервалу) отриманих середніх від дійсного значення, яка проводиться за методами, описаними нижче.

Формула для розрахунку середньої арифметичної:

(=)(3)

застосовується тільки в тому випадку, коли осередненню підлягають дані відособлених визначень або результати, кожний з яких отриманий на основі однакового числа визначень. Якщо ж осереднювані величини є середніми з неоднакового числа одиничних визначень, то загальну середню арифметичну потрібно обчислювати по формулі:

= (4),

де - сума добутків кожної зосереднюваних величин (Х) на число одиничних визначень , по яких вони розраховані, а- сума чисел одиничних визначень, на яких заснована кожна зосреднюваних величин. Розрахованим таким чином середню називають середньою зваженою.

Приклад 2.

Нижче представлені результати визначення концентрації живих мікробних клітин Escherichia coli в добових культурах, отримані методом граничного розведення з висівом на поверхню МПА в чашки Петрі. При цьому визначення числа КУО (колоніє-утворюючих одиниць) проводили з використанням різної кількості чашок.

No досліду	Число визначень (чашок) в кожному досліді	Титр бактерій (КУО/мл  10)	Добуток Х
1	4	0,8	3,2
2	5	1,6	8,0
3	1	1,0	1,0
4	3	0,9	2,7
5	4	1,4	5,6
Сума ():	17		20,5

У дослідах 1, 2, 4 та 5 представлені значення концентрацій є середніми арифметичними з серії визначень. Підставляючи знайдені величини в формулу (4) отримуємо: == 1,21 10⁸ КУО/мл

Розрахована ж по формулі 1 для середньої арифметичної величина становитиме 1,14  10КУО/мл, оскільки проста середня переважно відображає результати, отримані в дослідах, де число визначень було найменшим.

Середня геометрична (геом) може бути обчислена за формулою:

геом = n (5)

де Пх означає добуток всіх середніх величин, а n - число одиничних визначень.

На практиці зручніше розраховувати середню геометричну не безпосередньо по формулі 5, а за допомогою простих операцій, що послідовно виконуються:

1. Обчислюємо логарифм всіх осереднюваних величин - lg х;

2. З отриманих значень розраховуємо середну арифметичну lg;

3. Визначаємо її антилогарифм, який і є середньою геометричною вихідних величин. Цей спосіб розрахунку можна представити у вигляді формули:

геом = anti lg lg = anti lg(6)

Середню геометричну потрібно застосовувати в тих випадках, коли розподіл даних експеримента наближається до нормального при оперуванні не безпосередньо отриманими даними, а їх логарифмами.

Приклад 3.

У таблиці представлені результати п'яти паралельних визначень активності культури вірусу грипу. Активність оцінювали за летальною дією (LD₅₀), вираженій в загибелі 50% піддослідних тварин.

№ досліду	Активність LD50/мл (Х)	Логарифм активності (lg х)
1	3,2  10	5,50
2	1,0  10	5,00
3	1,0  10	5,00
4	10,0  10	6,00
5	1,8  10	5,25
		lgx = 26,75

Звідси lg == 5,35 і, отже,

геом= antilg lg =2,2 10LD₅₀/мл.

Зазначимо, що обчислення середньою арифметичною дало б в цьому прикладі завищений результат: = 3,4 х 10LD₅₀/мл

Найбільш універсальним видом середніх, застосування яких найбільш доцільно коли ми нічого не знаємо про характер закону розподілу, є медіана. Застосування медіани доцільне, коли осереднювані результати являють собою, наприклад, оцінку ознаки, що враховується в балах (як при обліку міри деградації моношару клітин під дією вірусу).

Медіана - величина, розташована посередині ряду даних, вистроєного в порядку зростання або зменшування величин.

Приклад 4.

Міра руйнування клітинного моношару під дією вірусу грипу в шести повтореннях (за 4-х бальною шкалою) становить 1, 4, 3, 4, 4, 2 бали. При розташуванні цих величин в порядку зростання ряд прийме вигляд: 1, 2, 3, 4, 4, 4. Медіана складе: Ме = = 3,5. У випадку,якщо в досліді використано п'ять повторень, 2, 3, 4, 4, 4, медіана, очевидно, дорівнюється 4.

Зручним методом отримання середніх величин є мода (Мо), що являє собою досліджуваний показник, який найчастіше зустрічається. Обчислення Моди особливо зручне при обробці напівкількісних даних (при обліку, наприклад, не тільки числа загиблих або виживших при дії токсину тварин, але і різної ваги захворювання їх. Потрібно лише мати на увазі, що застосування моди може бути рекомендовано при порівняно великому числі одиничних визначень (звичайно не менше за 30).