§ 7. Формулировка закона электромагнитной индукции.

Фарадей, открывший в 1831 году явления электромагнитной индукции, в XXVIII серии своих „Опытных Исследований по Электричеству" в § 3115 устанавливает следующее основное положение:

„... количество электричества, протекшее по цепи (индуктирован­ного) тока, прямо пропорционально числу перерезанных (этой цепью) магнитных линий.

55

Еще в I серии своих „Исследований" Фарадей в § 213 устанавливает зависимость силы индуктированного тока от сопроти­вления проводника:

„Эти результаты показывают, что токи, производимые в телах при помощи магнито-электрической индукции, пропорциональны их проводимости. Что они в точности пропорциональны проводи­мости и всецело зависят от нее, доказывается, я полагаю..." (далее следует ссылка на ряд опытов с различными проводящими материалами).

Таким образом, мы можем в следующем виде представить основной закон электромагнитной индукции:

q=-N/r. (6)

Здесь q — количество электричества, протекшее в течение некоторого промежутка времени через любое поперечное сечение контура, проводящего индуктированный ток, N—число магнитных линий, перерезанных контуром в это вpeмя, и r—электрическое сопротивление контура. Знак минус (-) мы вводим в соответствии с данными непосредственного опыта, в целях соблюдения правила, связывающего положительное направление тока в контуре с поло­жительным направлением магнитного потока, пронизывающего контур (правило штопора). При этом числу N будем приписывать положи­тельные значения в случае, когда процесс перерезывания магнитных линий влечет за собою увеличение магнитного потока, сцепляющегося с контуром проводника, и отрицательные значения в противном случае.

Пользуясь соотношением (6), легко можно найти выражение для индуктированной ЭДС. Действительно, беря производные от обеих частей равенства (6) по времени, имеем:

Так как;

где i—сила тока, то получаем:

ri=dN/dt.

Но ri представляет собою не что .иное, как ЭДС, расходуемую в данном случае на преодоление сопротивления цепи, именно:

ri=e.

На основании этого окончательно можем написать:

e=-dN/dt, (7)

56

т. е. электродвижущая сила, индуктируемая в некотором контуре, не зависит от вещества, формы и размеров проводника, из которого контур состоит. Эта ЭДС зависит исключительно от скорости перерезывания магнитных линий контуром.

Так как настоящая формулировка закона электромагнитной индукции является лишь простой перефразировкой основных поло­жений, установленных Фарадеем, и в полной мере соответствует его представлению о пересечении магнитных линий проводни­ком, как о первопричине индукции тока, в дальнейшем мы будем соотношение

E=-dN/dt

называть фарадеевской формулировкой закона электромагнитной индукции.

Вскоре после открытия Фарадеем явления электромагнитной индукции Ф. Нейман сделал попытку обосновать математическую теорию этого явления, исходя из закона Ленца. Вслед за тем Гельмгольц и В. Томсон (Кельвин) показали, что электромагнитная индукция может быть рассматриваема как следствие закона сохра­нения энергии. Во всех этих работах авторы пришли к выражению индуктированной электродвижущей силы в виде производной по­времени от некоторой величины, физический смысл которой не был, однако, достаточно ясно вскрыт. Максвелл, основываясь на опытах Фарадея и принимая во внимание установленный Фарадеем же принцип непрерывности магнитного потока, по­казал, что здесь речь идет о магнитном потоке, охватываемом дан­ным контуром (сцепляющимся с данным контуром). Таким обра­зом, предложенная Максвеллом формулировка закона электромаг­нитной индукции гласит:

e=-iФ/dt, (8)

где е — индуктированная в данном контуре ЭДС, а Ф — полный магнитный поток, сцепляющийся с контуром.

С математической точки зрения преобразование первой форму­лировки (фарадеевской) во вторую (максвелловскую) представляет собою не что иное, как преобразование линейного интеграла, распространенного по замкнутому контуру, в поверхностный инте­грал, распространенный по площади, ограниченной контуром. При этом следует иметь в виду, что такое преобразование одного интеграла в другой имеет смысл и возможно только при условии, что рассматриваемый контур не претерпевает никаких изменений,

57

нарушающих его непрерывность, как строго определенного контура. Только в этом случае обязательно всегда будет:

dN=dФ,

и мы можем написать:

e=-dN/dt=-dФ/dt.

Если же условие о непрерывности и неизменности контура электрической цепи не выполняется, то соотношение

- dN/dt=-dФ/dt может и не иметь места.

¹) Faraday, Exp. Res., Vol. I, § 213: „These results tend to prove that the currents produced by magneto-electric induction in bodies are proportional to their conducting power. That they are exactly proportional to and altogether dependent upon the conducting power, is, I think, proved by. .."

¹) Faraday, Experimental Researches in Electricity, Vol. III, § 3115. .... the quantity of electricity, thrown into a current is directly as the amount of curves intersected".