Задача 26

Таблица 1

Динамика производства текстиля, млн. Т

Год	Объем производства
1	56,8
2	53,9
3	55,3
4	52,7
5	52,1
6	46,2
7	51,3
8	54,0
9	48,0
10	44,6

а) построить график динамики изучаемого явления:

б) определить показатели анализа ряда динамики (за каждый период и средние.

Таблица 2

Показатели анализа ряда динамики

Год	Объм произ-водства текстиля, млн. т	Абсолютный прирост, (А)		Темп роста, % (Тр)		Темп прироста, % (Тпр)			Ускорение			Абсо-лютное значение 1% прироста, (П)
		Баз.	Цеп.	Баз.	Цеп.	Баз.	Цеп.	Абс.		Отн.
1	56,8	-	-	100	100	-	-	-		-	-
2	53,9	-2,9	-2,9	94,89	94,89	-5,11	-5,11	-2,90		-0,05	0,57
3	55,3	-1,5	1,4	97,36	102,60	-2,64	2,60	4,30		0,08	0,54
4	52,7	-4,1	-2,6	92,78	95,30	-7,22	-4,70	-4,00		-0,07	0,55
5	52,1	-4,7	-0,6	91,73	98,86	-8,27	-1,14	2,00		0,04	0,53
6	46,2	-10,6	-5,9	81,34	88,68	-18,7	-11,3	-5,30		-0,09	0,52
7	51,3	-5,5	5,1	90,32	111,04	-9,68	11,04	11,00		0,19	0,46
8	54,0	-2,8	2,7	95,07	105,26	-4,93	5,26	-2,40		-0,04	0,51
9	48,0	-8,8	-6	84,51	88,89	-15,5	-11,1	-8,70		-0,15	0,54
10	44,6	-12,2	-3,4	78,52	92,92	-21,5	-7,08	2,60		0,05	0,48

Таблица 3

Среднегодовые показатели ряда динамики

Среднегодовой уровень (У)	Среднегодовой абсолютный прирост (А)	Среднегодовой темп роста (Тр)	Среднегодовой темп прироста (Тпр)
51,49	-1,22	97,61	-2,39

в) определить основную тенденцию развития ряда динамики методом скользящей средней и методом аналитического выравнивания.

1. Метод скользящих средних.

Определим скользящую среднюю, которая используется для сглаживания динамических рядов. Исчисляются скользящие средние путем осреднения уровней динамического ряда по трем, четырем, пятилетним периодам. Техника расчета производится по следующим формулам:

У₁+ У₂+ У₃; У₂+ У₃+ У₄; и т.д.

3 3

Таблица 4

Уровень производства текстиля

Годы	Объем производства, млн.т	Расчет трехлетних скользящих средних		Расчет пятилетних скользящих средних
		Сумма	Скользящая средняя	Сумма	Скользящая средняя
1	56,8	-	-	-	-
2	53,9	166	55,33	-	-
3	55,3	161,9	53,97	270,8	54,16
4	52,7	160,1	53,37	260,2	52,04
5	52,1	151	50,33	257,6	51,52
6	46,2	149,6	49,87	256,3	51,26
7	51,3	151,5	50,50	251,6	50,32
8	54,0	153,3	51,10	244,1	48,82
9	48,0	146,6	48,87	-	-
10	44,6	-	-	-	-

2. Метод аналитического выравнивания

Метод аналитического выравнивания заключается в построении уравнения регрессии, характеризующего зависимость уровней ряда от временной переменной.

Линейное уравнение тренда имеет вид y = bt + a

1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.

Система уравнений МНК:

a₀n + a₁∑t = ∑y

a₀∑t + a₁∑t²= ∑y*t

t	y	t2	y2	t*y
1	56.8	1	3226.24	56.8
2	53.9	4	2905.21	107.8
3	55.3	9	3058.09	165.9
4	52.7	16	2777.29	210.8
5	52.1	25	2714.41	260.5
6	46.2	36	2134.44	277.2
7	51.3	49	2631.69	359.1
8	54	64	2916	432
9	48	81	2304	432
10	44.6	100	1989.16	446
11		121	0	0
66	514.9	506	26656.53	2748.1

Для приведенных данных система уравнений имеет вид:

11a₀+ 66a₁= 514.9

66a₀+ 506a₁= 2748.1

Из первого уравнения выражаем а₀и подставим во второе уравнение

Получаем a₀= -3.103, a₁= 65.425

Уравнение тренда:

y = -3.103 t + 65.425

Эмпирические коэффициенты тренда aиbявляются лишь оценками теоретических коэффициентов β_i, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Коэффициент тренда b = -3.103 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с изменением периода времениtна единицу его измерения. В данном примере с увеличениемtна 1 единицу,yизменится в среднем на -3.103.

Ошибка аппроксимации.

Оценим качество уравнения тренда с помощью средней относительной ошибки аппроксимации.

Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения тренда к исходным данным.

Поскольку ошибка больше 7%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве тренда.

г) осуществить прогноз анализируемого явления на одиннадцатый год.

Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.

m = 1 - количество влияющих факторов в уравнении тренда.

Uy = y_n+L± K

где

L - период упреждения; у_n+L- точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени; n - количество наблюдений во временном ряду; Sy - стандартная ошибка прогнозируемого показателя; T_табл- табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости α и для числа степеней свободы, равногоn-2.

По таблице Стьюдента находим Tтабл

T_табл(n-m-1;α/2) = (9;0.025) = 2.262

Точечный прогноз, t = 12: y(12) = -3.1*12 + 65.43 = 28.19

28.19 - 32.94 = -4.75 ; 28.19 + 32.94 = 61.13

Интервальный прогноз:

t = 12: (-4.75;61.13)

На основании представленных данных можно сделать вывод о том, что за анализируемый период объем производства текстиля колеблется, так на протяжении первых 6 лет оно постепенно сокращалось, до 8 года отмечался постепенный рост, но к 10 году темпы производства опять пошли на снижение. Анализируя среднегодовые показатели ряда динамики, можно установить, что в среднем за 10 лет уровень производства текстиля составил 51,49 т. Каждый год в абсолютных величинах объем производства сокращался на 1,22 т, средний темп роста 97,61 %, а среднегодовой прирост – 2,39 %.

Расчет скользящих средних подтверждает фактические данные уровня производства текстиля за 10 лет, которые указывают на постепенное сокращение данного показателя, особенно ярко это видно по пятилетней скользящей средней. Это говорит об общей тенденции динамики уровня объема производства, направленной на снижение.