aaa28112013

Задача 7.4.26. Пользуясь критерием Колмогорова - Смирнова, определите вероятность, с которой распределение результатов измерений силы тока (табл. 7.15) можно считать соответствующим нормальному закону.

Задача 7.4.27. Определите число результатов измерений, для которых с помощью критерия Колмогорова – Смирнова определена вероятность соответствия теоретическому нормальному распределению, равная 86,4%, при наибольшем расхождении накопленных вероятностей 0,045.

Задача 7.4.28. По результатам измерений, приведенным в таблице 7.10, определите, для какого уровня значимости можно принять гипотезу о соответствии экспериментальных данных нормальному закону распределения по критерию Пирсона.

Задача 7.4.29. Измерительная лаборатория получила две группы образцов стали. После определения содержания в них углерода получены результаты, приведенные в табл. 7.16. Можно ли отнести все образцы к одной партии стали?

Таблица 7.16

Результаты определения содержания углерода в образцах стали

Задача 7.4.30. Проверьте, соответствуют ли распределения результатов измерений, приведенных в табл. 7.16, нормальному закону используя составной критерий с общим уровнем значимости q = 10%.

110

8.ВИДЫ И МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЙ

8.1. Основные положения

8.1.1.Виды измерений (прямые, косвенные, совокупные, совместные)

Целью измерения является нахождение соотношения измеряемой величины с ее единицей и получение значения этой величины. По способу получения значения измеряемой величины измерения делят на прямые, косвенные, совокупные и совместные.

Прямое измерение – это измерение, при котором искомое значение физической величины получают непосредственно из опытных данных.

Косвенные измерения представляют собой определение искомого значения физической величины на основании результатов прямых измерений других физических величин, функционально связанных с искомой величиной.

Совокупные измерения – это проводимые одновременно измерения нескольких одноименных величин, при которых искомые значения величин определяют путем решения системы уравнений, получаемых при измерениях этих величин в различных сочетаниях.

Совместные измерения – это проводимые одновременно измерения двух или нескольких неодноименных величин для определения зависимости между ними.

Перед статистической обработкой результатов измерений из опытных данных должны быть:

а) исключены известные систематические погрешности; б) проверены и исключены грубые погрешности и промахи. Общий порядок статистической обработки результатов

измерений представляет собой:

а) проверку гипотезы о соответствии эмпирического распределения нормальному закону по одному из критериев;

111

б) определение числовых характеристик результатов измерений – среднего арифметического значения, дисперсии или СКО;

в) определение СКО среднего значения результата измерения и доверительных границ случайной составляющей погрешности измерений;

*г) определение границ не исключенных систематических погрешностей (НСП) и их влияния на результат измерений;

д) расчет доверительного интервала результата измере-

ний.

Порядок выполнения расчетов по отдельным пунктам для прямых измерений был рассмотрен в предыдущих главах (3,4,7). Для результатов других видов измерений есть особенности статистической обработки.

Алгоритмы обработки результатов косвенных измерений устанавливаются в зависимости от взаимного влияния (корреляции) погрешностей измерений аргументов и вида функциональной зависимости между измеряемой величиной и ее аргументами.

Корреляция между погрешностями измерения аргументов существует, если выполняется условие:

где n - число измерений каждого аргумента;

tP – коэффициент Стьюдента для доверительной вероятности Р и числа степеней свободы f = n – 2;

r – коэффициент корреляции:

где ahi, aki – результаты i-го измерения, соответственно h-го и j-го аргумента;

*Пункт (г) выполняется в особо точных случаях при возможности определения границ НСП.

112

ah ,ak – средние значения измеренных аргументов.

При установлении корреляции и нормальном распределении погрешностей измерений аргументов порядок статистической обработки определяется видом функциональной зависимости измеряемой величины от ее аргументов.

При линейной функциональной зависимости вида

где bj – коэффициент при aj-м аргументе,

СКО среднего измеряемой величины определяется по формуле:

методическая НСП от округления ряда разложения Тейлора – R:

Методической погрешностью R можно пренебречь, если

В противном случае R должна учитываться в окончательном результате измерений.

При отсутствии корреляции, независимо от вида распределения экспериментальных данных и функциональной зависимости применяется метод приведения:

- вычисляются текущие значения измеряемой величины:

A1 f (a11,a12,...,am1)

A2 f (a12 ,a22,...am2 )

..................................

(8.9)

Ai f (a1j ,a2 j ,...aij ,...amj )

..................................

An f (a1n,a2n ,...amn );

где aij – i-е значение j-го аргумента.

- рассчитывается оценка среднего измеряемой величины:

- рассчитывается СКО оценки среднего измеряемой вели-

чины:

Окончательный результат косвенных измерений представляют в форме доверительного интервала:

где tP – коэффициент Стьюдента для заданной доверительной вероятности Р.

114

Результаты совокупных и совместных измерений получают из системы уравнений вида:

a1x b1 y c1z l1a2 x b2 y c2 z l2

где ai ,bi ,ci ,li - величины, получаемые при измерениях; x,y,z - искомые величины.

Для повышения точности результатов измерений в системе должно быть больше уравнений, чем число неизвестных.

Первоначальная система условных уравнений приводится к системе нормальных уравнений вида:

Решением системы (8.14) являются оценки искомых величин ~x,~y,~z . Подставляя эти значения в условные уравнения, оп-

ределяют остаточные погрешности i, так называемые «невязки». Невязки определяют погрешности измерения искомых величин, на основании которых рассчитываются доверительные интервалы этих величин.

*При проведении совместных измерений условные уравнения равноточные, при совокупных измерениях из-за различных сочетаний измеряемых величин уравнения неравноточны, и вводится дополнительная характеристика – вес:

115

На коэффициент p умножаются все величины a, b, c, l.

8.1.2. Методы измерений

Для повышения точности разработаны различные методы измерений. Метод измерения – это прием или совокупность приемов сравнения измеряемой физической величины с ее единицей в соответствии с реализованным принципом измерений. Методы измерений можно разделить на метод непосредственной оценки и группу методов сравнения с мерой.

Метод непосредственной оценки – это метод измерений, при котором значение величины определяют непосредственно по показаниям средства измерений.

Методы сравнения с мерой предполагают сравнение измеряемой величины с величиной, воспроизводимой мерой. К методам сравнения с мерой относятся нулевой, дифференциальный методы, методы измерений замещением, дополнением и метод противопоставления.

Нулевой метод измерений – это метод, в котором результирующий эффект воздействия измеряемой величины и меры на прибор сравнения доводят до нуля.

Дифференциальный метод измерений – это метод, при котором измеряемая величина сравнивается с однородной величиной, имеющей известное значение, незначительно отличающееся от значения измеряемой величины, и при котором измеряется разность между этими двумя величинами.

Метод измерений замещением – это метод, в котором измеряемую величину заменяют мерой с известным значением величины.

Метод измерений дополнением – это метод, в котором значение измеряемой величины дополняется мерой этой же величины с таким расчетом, чтобы на прибор сравнения воздействовала их сумма, равная заранее заданному значению.

116

Метод противопоставления – это метод измерений, в котором на прибор сравнения воздействует величина, равная отношению измеряемой величины и известной величины, воспроизводимой мерой.

8.2.Вопросы для самопроверки

1.В чем заключается цель любого измерения?

2.Какие бывают виды измерений?

3.В чем отличие прямых измерений от косвенных?

4.В чем различия совместных и совокупных измерений?

5.Как должны быть подготовлены экспериментальные данные для статистической обработки?

6.Каков общий порядок статистической обработки результатов измерений?

7.Как установить, есть ли взаимосвязь между измеряемыми аргументами?

8.Приведите порядок статистической обработки резуль-

9.Приведите порядок обработки результатов совместных измерений.

10.Почему при обработке результатов совокупных измерений вводится статистический вес?

11.Что называется методом измерений?

12.В чем отличие метода непосредственной оценки и метода сравнения с мерой?

13.В чем сходство дифференциального и нулевого методов измерений?

14.В чем отличие: а) дифференциального метода и метода противопоставления; б) методов измерений замещением и дополнением?

117

8.3. Примеры решения задач

Задача 8.3.1. Выполните статистическую обработку результатов прямых многократных измерений диаметра отверстия, приведенных в таблице 8.1, с доверительной вероятностью Р=0,96, и определите его годность, если размер по чертежу Ø12+0,035мм. Систематические погрешности исключены.

Таблица 8.1.

Результаты измерений диаметра отверстия

601,411 12,02822 (мм) 50

СКО результатов измерений (3.15):

S 501 1 (11,52 12,02822 2 (11,9 12,02822)2 2 (12,01 12,02822)2 4 (12,015 12,02822)2 7

(12,02 12,02822)2 18 (12,028 12,02822)2 9 (12,035 12,02822)2 5 (12,058 12,02822)2 3

118

Проверяем наименьшее и наибольшее значения. Рассчитываем значения квантилей (4.1):

По критерию Шарлье для n=50 предельно допустимое значение кш=2,32 (приложение Г). Следовательно, проверяемые значения являются промахами. Их исключаем из вариационного

ряда и рассчитываем X и S :

481

(12,028 12,018875)2 9 (12,035 12,018875)2 5 (12,058 12,018875)2 3 0,055574468

47

Проверяем значения, оставшиеся крайними в ряду экспериментальных данных:

(12,028 12,02404348)2 9 (12,035 12,02404348)2 5 (12,058 12,02404348)2 3)

0,005855913 0,000130131 0,011407515 (мм)

45

119