Комплексно-значная формула комплексной переменной.

w=f(z(t))

w ́=f ́(z(t))∙z ́(t)

u

x²

x²

=(x,y) называется гармонической в области D, u ́ +u ́ =0 ( уравнение Лапласа)

Гармонические u,v называются сопряжёнными, если они удовлетворяют (1).

Аналитические функции

Функция называется аналитечской в области, если

Теорема.

Пусть аналитична в области

Пусть имеют непрерывные частные производные до 2го порядка

- сопряженные гармонические функции

Доказательство.

Аналогично -гармоник.

Свойства аналитических функций

1. аналитическая функция восстанавливается по действительной (мнимой) части.

2. значение аналитической функции внутри контура опред. её значениями на контуре

3. Аналитическая функция имеет производные любого порядка

Параметрическое задание окружности

- параметрическое уравнение окружности

Интеграл функций комплексной переменной.

L

А

В

Теорема (о независимости интеграла от пути интегрирования):

непрерывны в области.

Следующее условие равносильно:

1. не зависит от пути.

2.

3.

4.

Теорема-1 (основная теорема Коши)(для простого контура):

Пусть W=f(z) аналитична в односвязной D.

Доказать:

Доказательство:

Следовательно, интегралы равны нулю.

Теорема-2 (основная теорема Коши)(для сложного контура):

аналитична на контурах и между ними.

L

Доказать:

Доказательство:

Правило обхода сложного контура.

Положительным ходом обхода считается тот, при котором область аналитичности остается слева.

Интеграл с переменным верхним пределом.

Пусть аналитична в области D.

D z₀-фиксированная точка.

z-произвольная точка.

Теорема (об огранич. интеграла):

интегрируема на AB и ограничена.

Доказать:

Доказательство:

Интегральная формула Коши.

аналитична на L и внутри L.

L

непрерывна в D.

(ограничена)

-интегральная формула Коши.

-обобщение для интегральной формулы Коши.

Пример:

Дифференциальные уравнения

Основные теоремы дифференциального исчисления.

Теорема Ферма.

непрерывна наи дифференцируема на

Или

Доказательство.

Теорема Ролля.

непрерывна на

диф. на

Доказательство

Наиб , наим, где

1)

2) или

Теорема Лагранжа

непрерывна на

диф. на

Теорема Ролля частный случай т.Лагранжа.

Доказательство.

непрерывна на

диф. на

Теорема Каши.

непрерывна на

диф. на

непрерывна на

диф. на

Доказательство.

непрерывна на

диф. на

Теорема Лопиталя.

,- удовл. т.Каши

Сущ. сущ

Доказательство

Замечание

Вместо можно

Теорема Лопиталя2

непрерывна на

диф. на

непрерывна на

диф. на

Сущ сущ

Применение дифференциального исчисления к исследованию функций

1. Монотонность

Т1.(необходимые условия монотонности)

- непрерывна и дифференцируема

Если возрастает

Если убывает

Доказательство

ч.т.д.

Т2.(достаточное условие монотонности)

непрерывна и дифференцируема

возрастает

убывает

Доказательство.

Уравнение Бернулли.

(1)

Решение.

1. Как линейное.

2. Сводится к линейному

1. разделим на

Замена

Пример.

Уравнение

Пример.

Дифференциальные уравнения высших порядков.

y ⁽ⁿ⁾=f(x,y,y′,…,y^(n-1)) (1) если уравнениеn-го порядка, то будетnначальных условий.

y(x0)=y0

y′(x0)=y0′ (2) решения (1), удовлетворяющего усл. (2)

y ^(n-1)(x0)=y0^(n-1) назыв. Задачей Коши

Теорема: (о существовании и единственности решения задачи Коши)

f,fy,f′y,…,f′y^(n-1) непр. в обл.DM0(x0,y0,y0′,…,y0^(n-1))

=> существует единств. Решение

y=φ(x) ур-я (1) удовл-го (2)

(*) y=φ(x1,C1,...,Cn) общее решение (1), если:

1) A) – решение любое С1,..,Сn

2) (2) !C1,C20,...Cn0

y=φ(C1,C20,...Cn0) - частное решение

Ф(x,y, C1,...,Cn)=0 общий интеграл

Ф(x,y,C10,...,Cn0)=0 частный интеграл

Уравнения 2-го порядка:

y˝=f(x,y,y΄) (1)

система:

y(x0)=y0

y′(x0)=y0′ (2)

только одна будет под данным углом прямая (касательная)

Уравнение 2-го порядка допускающие понижение порядка.

I.F(x,y′,y′′)=0 - уравнение не содержащее иск. фун-ииy

y′=p(x),y′′=p′

F(x,p,p′)=0

II.F(y,y′,y′′)=0 – уравнение не содерж. произвольной переменной, у – независимая перем-ая

y′=p(y)

y′′x ²= (y′)′x=p′x=p′y *y′x=p′p

F(y,p,p′,p)=0

Например

y*y′′-(y′)²+(y′)³=0

y′=P(y);y′′=p′p

y*P′P-P²+P³=0

P(y*p′-p-p²)=0

1. p=0; y′=0; y=C

2. yP′-P-P²=0

ydp/dy=p-p²

dp/(p- p²)=dy/y

1/(p- p²)=1/p – 1/(p-1)

ln(p)-ln(p-1)=ln(y)+ln(C1)

p/(p-1)=C1y; P-PC1y= –C1y;

P=C1y/(C1y-1); C≠0

3. y′x= C1y/(C1y-1);

dy/dx= C1y/(C1y-1); ∫((C1y-1)/C1y)dy=∫dx;

y-(1/ C1)ln(y)=x+C2

P=0; p=1; y′=1; y=x+ C3; y(0)=-1; y′(0)=0; y=1

Задача о 2-ой космической скорости.

F=mM*k/r²;

-a*m=mMk/ r²

-a=Mk/ r²

v′=-kM/ r²

r ′′=-kM/ r² - уравнение 2го типа

r′=v(r)

r′′=v΄v

v΄v= -kM/r² - уравнение с разделяющимися переменными

∫vdv= - ∫ (kM/ r²)dr

v²/2=kM/R+C

C=v²/2 - kM/R

v²/2= kM/R+(V0²/2 – kM/R) g=kM/R²

0 r

=> V0²/2 – kM/R0 ; V0² kM/R

V0=√2kM/R

kM/R=gR; V0=√2gR ; R=(40*10⁶)/2π

V0=√2*9,81*40*10⁶)/2π=2*10³√9,81/3,14=11,2*10³(м/с)

Уравнения цепной линии

системы

H=T cosφ; H=T cosφ;

P=T sinφ ; PS=T sinφ;

tgφ=PS/H; P/H=1/a;

y′=s/a

y˝=1/a*S΄x

y˝=(√1+(y΄)²)/a

y′=p(x); y˝=p′; dp/dx=(√1+p²)/a;

p′=(√1+p²)/a; p(0)=0; ∫dp/(√1+p²)=∫dx/a;

ln p+(√1+p²) =x/a+с с=0

P+√p²+1=e^x/a

p²+1=( e^x/a –p)²; 1=e ^2x/a -2pe ^x/a

P=(e^2x/a - 1)/2e^x/a =(e^x/a - e^-x/a)/2=sh(x/a)

y′= sh(x/a); y=a*ch(x/a)+C1

y=a*ch(x/a)

Особое решение дифференциальных уравнений.

Это такое решение, в котором нарушается условие единственности.

F(x,y,y′)=0 (1)

y=φ(x) –особое решение {если, через каждую точку кривойφ(x) проходит еще одно решение и эта кривая не принадлежит общему решению}

Огибающая семейство кривых.

Ф(x,y,c)=0 (2) уравнение (2) задает параметрич. семейство, зависящее от параметра С.

Кривая ℓ называется огибающей семейства (2), если в каждой точке кривая ℓ касается одной из кривых семейства, причем в разных точках касается разных точек.

Теорема

Если семейство (2) является общим интегралом уравнения (1), то его огибающая является особым решением уравнения (1), потому что в каждой точке она удовлетворяет уравнению (1).

Док – во:

Для кривой α1 константа С имеет свое значение => для любой точки существует свое значение С.

Возьмем С не константу, а функцию от х,у

Ф=(x,y,c(x,y))=0 (*)

Ф΄x+ Ф΄y*y΄+ Ф΄c(C΄x+C΄y*y΄)=0 (**)

Ф΄x+ Ф΄y*y΄=0

Из (2) y΄= - Ф΄x/ Ф΄y;

Ф΄c(c(x,y)) ΄x=0, т.к. на огиб. С не явл. константой => (c(x,y))΄x≠0 => Ф΄c=0

Система:

Ф(x,y,c)=0

Ф΄c(x,y,c)=0 (3) система, из которой находиться уравнение огибающей.

Замечание: (3) задает любое С дискриминантные кривые, в том числе и огибающие.

Решение дифференциальных уравнений.

y²(1+y΄²)=R²

1+y΄²=R²/y²

y΄=±√ (R²/y²-1);y΄=±(√ (R²-y²))/y

dy/dx=±(√ (R²-y²))/y;

ydy/(√ (R²-y²))= - +∫dx

- +√ (R²-y²)=x+C;

R²-y²=(x+c)²

(x+c)²+y²=R²

система

(x+c)²+ y²= R²

2(x+c)=0 (β)

y²= R²

y=±R(γ)

Задача:

Орудие стреляет под углом α к горизонту. Найти семейство траекторий и огибающую этого семейства.

V0 = нач скорость (движение поступательное)

x=V0t*cos α

y=V0t*sin α - gt²/2 – семейство относит. пар-ра α

t=x/ V0t*cos α

y=x tgα - gx²/2V0*1/cos²α

tg α=k; 1/cos²α=tg²α+1=k²+1;

y=kx - g/2V0²( k²+1) x²

g/2V0²=a; k=1/2ax;

парабола

система:

y=kx-a(k²+1)x²

0=x - ax²2k

y=1/2a - a(1/4a²x²+1) x²

y=1/2a - 1/4a - ax²

y=1/4a - ax²

Линейные д.у.

Теорема множество решений однородного ур-я (2) образуют линейные пространства

Д-во: L– линейное пр-во дляэлементов,const

(и 8 аксиом)

пусть у₁,у₂– решение (2)

рассмотрим их лин. комбинацию:

Система функций называется Л.Н., если равенство

выполняется

Л.З, если

для любых рассматриваемых ф-ций

Теорема 1Система функций Л.З.когда одна из них является линейной комбинацией

всех остальных.

- линейно зависима

Д-во:

например

напримерявляется линейной комбинацией

Следствие: если система содержит функцию эта система Л.З.

2 вектора Л.З. когда они колиниарны

2 функции: Л.З.или,

т.е. одна функция линейно выражается через другую

Определитель Вронского

Теорема 2пусть система ф-цийЛ.З.

их определитель Вронского, т.е.

Д-во:

Теорема 3пустьрешение ур-я (2)

или

Д-во: (n=2)

решения

Определитель Вронского для системы решений удовлетворяет дифф-му ур-ю :

допустим, при значении

- Лиувиль

Теорема 4пустьрешения ур-я (2)

система решений - Л.Н.

Теорема 5пустьЛ.Н. решения ур-я (2)

функция является общим решением (2)

чтобы выписать общее решение однородного ур-я, нужно найти

n– Л.Н. частных решений

Д-во: 1) - решение- доказано

2) при начальных условияхнабор констант

начальных условиях

введем начальное условие:

получим систему n– го порядка относительно констант

система (***) имеет единственное решение , т.е. константы определяются единственным образом.

Теорема 6Л.Н. решения ур-я (2)

- решение (1)

общее решение неоднородного уравнения (1)

( здесь общее решение (2) )

Д-во: 1) - решение (1)

- решение (1)

2) подставим начальные условия:

Уравнения с постоянными коэффициентами

(2.1) однородное уравнение 2го порядка

подберемтак, чтобыбыло решением

1)

2)

Теорема 7если функцияявляется решением однородного ур-я (2)

тоже являются решениями (2)

Д-во:

отделим действительную часть от мнимой:

из Т. следует, что в качестве решения можем брать действительную и мнимую части:

3)есть только одно решение

подберем второе решение, чтобы не являлосьConst

многочленn-ной степени

пусть - корень уравнения (3) кратностиm

ф-ция: решение (2)

если n- кратный корень, то естьmЛ.Н. частных решений.