Основные теоремы о степенных рядах.
(1)
(-R,R)
Теорема 1.
Ряд (1) мажорируем на любом промежутке
[-p;p]
(-R,R).
Доказательство.
-pp
-R0R
(*)
мажоранта
ряда (1)
|x|
p-> |
|
|
|
Теорема 2.(о почленном интегрировании степенного ряда)
Ряд (1) можно интегрировать почленно на любом отрезке, лежащем в интервале сходимости.
Доказательство.
В доказательстве исходить из того, что
можно интегрировать почленно на любом
промежутке [-p;p]
(-R,R).
Теорема 3.(о непрерывности суммы степенного ряда)
S(x) непрерывна на (-R,R).
Теорема 4. (о почленном дифференцировании)
(2)
Доказать:
Интервал сходимости (2) совпадает с
интервалом сходимости (1) . Это (-R,R),
причемf(x)
=
.
Если (2) мажорируем повсюду, то там можно его почленно дифференцировать.
Доказательство.
(-R,R) – интервал сходимости ряда (1)
-R-p0pR
Покажем, что (2) мажорируем на любом промежутке [-p;p].
Возьмем p<
<R.
|x|
p
|
|
n*|
|
n|
|
=
- > сходится ->
|
M
(**)
сходится??
Исследуем (**) по Даламберу:
=q<1 -> (**) – сходится
-> является мажорантой ряда (2).
Ряд (2) будет сходится абсолютно в любой точке интервала сходимости ряда (1) -> его интервал сходимости не меньше, чем у ряда (1).
Покажем, что ряд (2) расходится вне интервала (-R,R). Доказательство исходит из противного.
-RRx1x0R<x1<x0
Предположим, что ряд (2) сходится в x0 -> ряд (2) можно интегрировать почленно на [0,x1].
=
=
- > сходится, а ряд (1) расходится вx1
-> имеем противоречие.
Ч.т.д.
Замечание. Степенной ряд можно сколько угодно раз почленно дифференцировать и интегрировать. Интервал сходимости от этого не изменится.
Ряд Тейлора.
Формула Тейлора:
Если y=f(x) имеет вU(a) непрерывные производные до порядка (n+1), тогда ее можно представить формулой:
Где Rn(x) =
(a+θ(x-a)), 0< θ <1.
Теорема.Пустьf(x)
имеет в окрестности точки а производные
любого порядка,
=
0, тогда ее можно представить рядом
Тейлора.
Замечание. В окрестности точки а ряд должен сходиться.
не сойдется кf(x),
т.к. мешает ост.член.
Если а=0, то ряд Тейлора переходит в ряд Маклорена:
Разложение основных функций в ряд Тейлора.
1) f(x)=
f(0)=1
=
сходится всюду ->
2) f(x)=sinxf(0)=0
cosx
sinx=
сходится всюду ->
lim |
|
=
lim
=0
3) f(x)= cos x
cosx=
сходится всюду ->
Примечание.
=
=
sh x = 
ch x = 
4) f(x) = ch x
chx=
сходится всюду ->
5)f(x)=shx
shx=
сходится всюду ->
6) f(x) =
f(0)=1
m
=1+mx+
сходится на (-1,1)
Примечание.
R=
=lim
=lim|
|
= 1
При m=-1 :
q = - x;
q = x;
1+mx
Ln|1+t|
ln(1+x) =
(-1,1) – интервал сходимости.
(-1,1] – область сходимости
x = -1,
расходится
x= 1,
сходится
Примечание.
arctg t
8) arctg x =
[-1;1] (-1,1)
x=-1
cx.
x=1
cx.