Производные высших порядков.

z=z(x,y) - ? ,

- ? _yx , _y² ,

Теорема.

непрерывна в .

,,,непрерывны в .

Доказать:

.

Доказательство:

=

Скалярное поле.

- поверхность уровня.

- линия уровня.

Производная по направлению.

непрерывна.

непрерывны.

; ;

Определение.

Производной U по направлению s называется:

Свойства производной по направлению.

1. Частные производные являются частным случаем производной по направлению.

2.

3.

Производная по направлению показывает скорость изменения функции в данном направлении.

Градиент показывает направление максимального изменения.

4. В каждой точке пространства градиент перпендикулярен поверхности уровня.

- скалярное поле.

- линия уровня.

||

Вектор-функция скалярного аргумента.

(1)

(2)

- винтовая линия.

- окружность.

Производная вектора-функции.

|| направлен по касательной.

Уравнение касательной в пространстве.

l

M₀ – не особая точка l, т.е.

-уравнение касательной.

Поверхность в пространстве.

- явное уравнение поверхности.

- неявное уравнение поверхности.

Касательная к поверхности – прямая, которая касается какой-либо кривой на поверхности.

Теорема.

(поверхность )

P- не особая точка поверхности , т . е.

Доказать:

все касательные, проходящие через точку P, лежат в одной плоскости.

Доказательство:

- уравнение касательной к плоскости.

- нормаль.

()P(1,2,3)

Экстремумы функции нескольких переменных.

называется точкой максимума , если в некоторойU(P) выполняется

Теорема.(необходимое условие экстремума)

непрерывна в

существуют вP

P- точка экстремума.

Доказать:

Доказательство:

- точка экстремума

-точка экстремума

т. е.

Аналогично .

Теорема(достаточное условие экстремума).

непрерывна в

имеет непрерывную частную производную до 3-го порядка

P-стационарная точка.

-точка экстремума, причем

нет экстремума вP

Исследовать функцию на экстремумы:

-точка минимума.

2.Экстремумы.

О

0

пред.y=f(x) oпределена в U(x )

x

0

0

0

– точка максимума f(x), если f(x)< f(x ) для любого хЄU(x )

Теорема 1(необх. усл. экстремума).

П

0

устьy= f(x) непрерывна и дифференцируема в U(x )

x

0

0

– точка экстремума=>f ́(x )=0

Док.

x

0

0

0

– точка минимума f(x)=> f(x +∆x)> f(x )

∆

0

0

y=f(x +∆x)-f(x )>0

∆

0

x>0=>∆y/∆x>0=>lim (∆y/∆x)≥0; f ́(x)≥0;

∆

0

x<0=>∆y/∆x<0=>lim (∆y/∆x)≤0; f ́(x) ≤0;

0

0

0

≤f ́(x )≤0=>f ́(x )=0

Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными.

Точки, в которых производная равна нулю или имеет разрыв, называются критическими точками функции.

Теорема 2(дост. усл. экстремума).

y

0

= f(x) непрерывна в U(x ) и дифференцируема в

x – критическая точка, если

0

f ́(x)<0, x<x =>x - точка минимума

0

f ́(x)>0, x>x

0

f ́(x)<0, x>x =>x - точка максимума

0

f ́(x)>0, x<x

Док.

1

0

0

0

) x<x f(x )-f(x)= f ́(c)(x -x)>0

2

0

0

0

0

)x>x f(x)-f(x )= f ́(c)(x -x)<0 =>f(x )>f(x)=>x - точка максимума.

Теорема 3(Исследование на экстремум с помощью второй производной).

y

0

= f(x), f ́(x) и f ́ ́ непрерывны в U(x )

f

0

0

0

0

́(x )=0, f ́ ́(x )<0=>x - точка максимума, f ́ ́(x )>0=>x – точка минимума

Док.

f

0

0

́ ́(x )<0=> f ́ ́(x )<0, xЄU(x )

f ́(x)=>x ↓ - точка максимума