Метод вариации произвольных постоянных.
(1)
(2)
Пусть
- однородное
решение (2), будем искать однородное
решение (1) в виде
.
(3)
Определитель (3) –
определитель Вронского для системы
т.к.в 0 не обращаются, то (3) имеет
единственное решение.
(4)
Примеры:
1)
,
,
,
,
,
.
а)
б)
,
,
,
,
;
,
;
О:
,
,
(1)
, где 1-кратность
собственного числа
.
2)
,
,
,
a)
б)
,
,
,
,
,
,
Дифференциальные уравнения
Критерий Рауса-Гурвица
(*)
Составим матрицу:
-
матрица Гурвица
Теорема.
Для того чтобы все
корни (*) имели
необходимо и достаточно, чтобы все
главные миноры матрицы Гурвица были
положительными.
Уравнение колебаний.
Рассмотрим пружину:
- свободные
колебания
,
-сила
сопротивления
резонанс
Краевые (граничные) задачи.
Колебание струны.
(1)
Пусть
,
тогда
Значение
при котором (1) имеет ненулевые решения
называется собственным числом уравнения.
Соответствующие решения называются собственными функциями.
-
собственные числа (1)
- собственные
функции (1)
Некоторые сведения о приближённых решениях.
(1)
(2)
(1)
(2)
Метод последовательных приближений.
- нулевое приближение
ТФКП
W=f(t)- функция аналитична в круге
z
a
c
Ряд Тейлора
сумма
ряда (1) аналитична внутри круга сходимости.
R
a
r
r
a
R
Если
r>R=> ряд не сходится нигде
если r= 0 => область сходимости будет в круге с выколотым центром
Сумма ряда внутри кольца (граница не
входит) является
аналитичной функцией.
ar
R
Функция f(z)- аналитична внутри кольца толькоz лежит между двумя окружностями
a r
z
c2
c2
Функция аналитическая внутри кольца
Ряд
Лоранаn-коэффициенты
Лорана, функция аналитическая, внутри
кольца разлагается в ряд Лорана.
Изолированные особые точки
Если ф-ия f(z)аналитична в некоторой области, за исключением внутренней точки, т.е жту точку можно окружить окресностью, в которой эта точка будет изолирована.
(.)a–изолтрованная слабая точка, есть
окрестность такая, что функция аналитичка
внутри выколотого круга.
Если функция аналитична в кольце, значит она разлогаетмя в ряд Лорана
Коэффициент А -1- называется вычетомf(z)в а
