Числовые множества:

Z-мн. целых чисел n≠0;

Q-мн. рациональный чисел

Рациональные числа выражаются конечной и бесконечной периодической дробью, а все остальные числа называются иррациональной бесконечной непериодической дробью.

a<b то число которое левее всегда меньше числа которое правее

Свойства действительных чисел:

1. Между двумя действительными числами всегда находится рациональное и иррациональное.

2. Любое иррациональное число можно с любой степени точности заменить рациональным.

А,В – множество

(a вложено в B)

А={1,3,5,7}

B={1,2,3,4,5,6,7}

пустое подмножество любого множества

N<Z<Q<R<C

[a,b]- отрезок

(а,b)- интервал

a<x<b

Окрестность точки – интервал с центром в этой точке

r- радиус окрестности

U_r(a)- r окрестность точки а.

U_r⁰(a)- проколотая окрестность.

a-r<x<a+r , x≠a.

|a-x|<r , x≠a.

|a|=

Окрестность- все числа а и b которые отдалены на расстояние r.

Свойства обсалютных величин:

1) |a+b||a|+|b|

Доказательство:

|a|=

|a+b||a|+|b|

-(a+b) |a|+|b| => |a+b||a|+|b|

2) |a|-|b||a-b|

Доказательство:

Пусть a-b=c

a=b+c

|b+c||b|+|c|

|a||b|+|a-b|

|a|-|b||a-b|

3. |ab|=|a|*|b|

4. 

Операции над множествами

21. универсальное множество

А,В- подмножества U,

пустое множество

Диаграмма Эйлера

- объединение

«ИЛИ»

«И»

, и .

А- дополнение(все элементы которой не принадлежат А)

«НЕ»

Свойство операций:

1) 1)’

2)2)’

3)3)’

Законы Моргана

4)4)’

5)5)’

6) 6)’

7) 7)’

8)

Отображения множеств

Кванторы

- всеобщность (всякий, любой).

- существования (существует, найдется).

Любому элементу множества А ставится в соответствии единственный элемент из множества В. Т.е. аА→ единств.bВ.

мн. А - область определения функции

мн. В- множество значений функции.

Сложная функция: если на мн. А определены функция , на В определена функция q, то на а определяется функция a=g(f(a)).

Отображение множителей

1.Отображением называется инъективным или просто инъекция.

- инъекция, если разным прообразам соответствуют разные образы.

2. - сюрьективным, сюрьеция, если множество образов A совпадает со множеством В. bB a A : f(a)=b

3. - биективным- биекция(взаимно однозначные), если оно одновременно инъективно и сюрьективно.

bB a A : b= f(a). ур. имеет ед. решение.

Например:

[-1,1] [-1,1]

f(x)=x²

1. [0,1] [-1,1]

2. [-1,1] [0,1]

3. [0,1] [0,1]

Некоторые свойства функций:

f(x)- называется четной, если

x A => f(-x)=f(x).

f(x)- нечетная, если

x A => f(-x)=-f(x).

f(x)- периодическая, если М >0, то x A => f(x+M)=f(x).

f(x)- возрастает, если x₁ < x ₂ => f (x₁)< f (x₂).

f(x)- убывает , если x₁ > x ₂ => f (x₁)> f (x₂).

Графики прямой и обратной функции, симметричной относительно прямой

x=y.

f(x)- неубывающая, если x₁ < x ₂ => f (x₁) f (x₂).

f(x)- невозрастающая, если x₁ > x ₂ => f (x₁) f (x₂).

Если ф-ия равна постоянно, то она не убывает.

f(x) -ограничена сверху на E₁, если

f(x) - ограниченна снизу на E₁ ,если

Определение. f(x) –ограничена, если она ограничена сверху и снизу.

Утверждение: f(x) -ограничена k>0: |f(x)|k.

Доказательство:

1). => Е m M : m

2). <= k:

Основные элементарные функции

1. Степенная

ООФ: мн. знач.

(α>1) (α=1)

(0<α<1) (α=0)

2. Показательные

(α>1) (0<α<1)

3. Логарифмическая

x>0 (a>0; a≠1)

(a>1) (0<a<1)

4. Тригонометрические

Элементарные функции- функции полученные из элементарными действиями (сложение, умножение и т.д.).

Рациональные функции

Неправильную рациональную дробь всегда можно представить в виде суммы правильного многочлена и правильной дроби.

Полярная система координат

Параметрически заданная кривая

Пределы

Предел последовательности

ф-ция определена наR

- последовательность

Число а называют пределом последовательностиа_n , если для любого положительногонайдется такой номерn, начиная с которого все члены последовательности принадлежат последовательности точки а :

наибольшее целое, не превосходящее а

Свойства предела.

Теорема 1. Предел постоянной = самой постоянной.

Д – во:

Теорема 2. Пост-ть не может иметь двух различных пределов, если предел

существует, то он единственный.

Д – во: (от противного)

пусть

противоречие : одно и то же число не может попасть в 2 не пересекающие

плоскости

Предел функции.

Н.р.

Окрестность бесконечности – это множество всех х

удовлетворяющих неравенству

Теорема об ограниченности

Если ф-ция имеет конечный предел, то она ограничена в окрестности точки а.

огранич. в

Д – во:

ограничена

Односторонние пределы

(предел слева)

(предел справа)

Теоремы об односторонних пределах

Т1. Если сущ. односторонний предел, то сущ. и односторонние пределы.

Т2. Если сущ-ют односторонние пределы, равные между собой, то сущ

обычный предел.

Бесконечно малые ф-ции

бесконечно большой, если ее предел

Св-ва б/м

Т1.

Д-во:

Т2. Сумма б/м есть б/м

Д-во:

пусть

т.е.

Т3. Произведение б/м ф-ций на ограниченную, есть б/м

ограничена в

Д-во:

Следствия:

1. произведение б/м на const - б/м:

2. произведение б/м на ф-цию, имеющую предел, - б/м

3. произведение 2-х б/м – б/м:

Теорема 1. критерий существования предела

Д-во:

Свойства пределов:

Д-во:

покажем, что ограничена:

Теорема 2. о переходе к пределу в неравенстве

Д-во: (от противного)

d не может быть пределом h(x)

Теорема 3. (о двух милиционерах)

Д-во:

При переходе к пределу линейная операция сохраняется.

Некоторые свойства предела последовательности

1. если посл-ть имеет предел – она ограничена

ограничена

2. если посл-ть возрастает и имеет предел, то она ограничена сверху своим

пределом:

3. если посл-ть возрастает и ограничена сверху, то она имеет предел

Понятие непрерывности ф-ции

опр 1 : f(x)непрерывна иа, если

опр 2: f(x)непрерывна иа, если

Покажем, что это одно и то же:

непрерывность означает что предел можно ввести под знак ф-ции.

Свойства непрерывности функции:

1. f(x)непрерывна ва

непрерывны в а

g(x)непрерывна ва

Если ф-ции непрерывны, то их линейные комбинации тоже непрерывны

2. Все элементарные функции непрерывны в каждой точке области их определения

3. f(x)непрерывна ва, g(x)непрерывна ва

непрерывна ва

4. y=f(x) непрерывна ва

обратная функциянепрерывна вb=f(a)

следует из непрерывности функции

I замечательный предел

Теорема.

справедливо и для x<0, т.к. еслиx заменить на - x, то ничего не

изменится – все функции четные

II замечательный предел

Теорема(вспомогательная) последовательность

, гдеимеет предел, заключенный на отрезке

Д-во:

число сочетаний поk-элементов из n

Теорема Второй замечательный предел

Д-во:

х>0:

х<0: обозначим t=-(x+1)

Следствия II замечательного предела:

1.

Д-во:

2.

ln– это не предельная функция, поэтому знак предела можно вынести под знакln

3.

Д-во:

Сравнение бесконечно малых

Опр. 1

Опр. 2

Опр. 3

Опр. 4

Таблица эквиволетности б/м

Т-1.

Точки разрыва функций

1. y=f(x) x=a- точка разрыва функции f(x), если коор. условия непрерывны.

x=a- т. непрер. оси

2)

3.

1. Однородная непрерывность

y=f(x) – непрерывна слева(справа)

если :

2. y=f(x) – непрерывна на интервале (a,b), если f(x) непрерывна

3. y=f(x) – непрерывна на отрезке [a,b] если непрерывна на интервале (a,b)

f(x) непрерывна слева в (.) b

f(x) непрерывна справа в (.) а

Свойства функций не прерывных на замкнутом отрезке

1. f(x) непрерывна на [a,b]

2.

f(x) непрерывна на [a,b]

3. f(x) непрерывна на [a,b]

Производная функции.

Y=f(x) определилась в окрестности U(Xo)

- функция, которая имеет производную, называется дифференцируемой.

Теорема: (о непрерывности дифференцируемой функции)

Если функция дифференцируема в Хо, тогда она непрерывна в этой точке.

Док-во:

, тогда

Значение f(x) непрерывно

Y(x) Xо=0, функция непрерывна.

Если ,

нет предела.

Функция не дифференцируема

Основные формулы дифференцирования.

1. (С)`=0

Док-во:

2. (сложение)

Док-во:

3.

Док-во:

Производная сохраняет линейные комбинации.

4. Производная произведения:

5. Производная частного:

Док-во:

6.Производная сложной функции:

Док-во:

7. Производная обратной функции

Док-во:

Если

Если

8. Производная параметрически заданной функции:

Док-во:

Производные элементарных функций

1. ,

2.

3.

4. ,,

5.

6. ,

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

,

14. ,

15. ,

16. ,

Примеры:

1.

2.

3.

4.

Механический смысл производной

Геометрический смысл производной.

(фиксированная точка)

(текущая)

Касательная (предельное положение секущей)

то

- уравнение касательной

- уравнение прямой

- нормали

Дифференцируемость функции. Дифференциал.

определена в

Опр.

Т.

диф. в

Д.

в

- б/м

=A

=

Опр.

Диф. лин. часть примера

Геометрический смысл диап.

- уравнение касательной

Применение диф. прибл. к функции

Свойства дифференциалов:

1)

2)

3)

4)

5)

6)Форма дифференциала инвариантна (неизменна)

Д.

Производные и дифференциалы высших порядков.

1)x– нед. пер.

, еслиx– недов. перем.

2)

- формула

Производная первой функции

Основные теоремы дифференциального исчисления

Т. Ферма

Пусть ф. непрерывна на, диф. надостигает своего наибольшего и наименьшего значения:

Д.

Т. Ролля.

непрерывна на, диф. на

Д.

Наибольшее , наименьшее.

1)

2)

Т. Логранжа.

непрерывна на, диф. на

Д.

непрерывна на, диф. на

- угловой коэф. конст.

,

=k

Т. Коши.

непрерывна на, диф. на

Д.

непрерывна на, диф. на

Теорема Логранжа – частный случай теоремы Коши

Т. Лопиталя

удовлетворяют условиям т. Коши

Д.

Замечание.

Вместо можно

Дифференциальные уравнения

Уравнения первого порядка

(1)

(2)

Задача Каши

Это поиск решения уравнения с начальными условиями (2).

Теорема (о существовании решения задачи Каши)

- непрерывная и дифференцируемая функция в области

- ограничена

! Решение уравнения, удовлетворяющего условию (2)

Интегральная кривая – решение дифференциального уравнения

Решая уравнение будем получать семейство кривых

- общее решение ()

1) удовлетворяет () прис

2) при (2)!при которомудовл. () и (2)

- частное решение, удовл. (2)

1. Уравнения с разделяющимися переменными.

|

,

ⁱПример.

Задача о распаде радиоактивного вещества.

Скорость распада радиоактивного вещества пропорционально массе вещества. Найти закон распада и период полураспада.

Т – период полураспада

2. Уравнение с однородными множителями

(*)

M, N – однородные функции одной степени

- однородная функция степени, если

Решение.

Уравнение сводится к виду (**)

(уравнение с разделяющимися переменными)

Пример.

3. Линейные уравнения

(1)

(2)

1способ

2способ

Решаем (2)

Подставим в (1)и найдём .

Лекция №11

Применение дифференциального исчисления к исследованию функций.

1.Монотонность

Теорема 1(необходимое условие монотонности)

- непрерывна и дифференцируема

Доказательство

Теорема 2 (достаточное условие монотонности)

- непрерывна и дифференцируема

Доказательство

(две произвольные точки)

C

2. Экстремумы

Определение. определена в окрестности

- точка максимума функции, если

Теорема 1. (Необходимое условие экстремума)

- непрерывна и дифференцируема в

- точка экстремума функции

Доказательство.

- точка минимума

;

;

.

Стационарные точки – точки, в которых производная равна нулю.

Критические точки – точки, в которых производная равна нулю или имеет разрыв.

Экстремумы могут находится только среди критических точек.

Теорема 2.(достаточное условие экстремума)

- непрерывнаи дифференцируема в

- критическая точка

- точка минимума

- точка максимума

Доказательство.

C

- точка минимума

Теорема 3.(Исследование на экстремум с помощью второй производной)

- непрерывна в

- непрерывна в

- точка максимума

- точка минимума

Доказательство.

,

- точка максимума

3.Вогнутость.

Кривая называется вогнутой вверх (выпуклой) , если она лежит ниже касательной проведённой в любой точке отрезка.

Если кривая лежит выше касательной то она вогнута книзу или просто вогнута.

Теорема 1. (необходимое условие вогнутости)

- непрерывна и дифференцируема

Если вогнута кверху

Если вогнута книзу

Доказательство. (нестрогое доказательство)

Если кривая вогнута книзу то первая производная возрастает.

Теорема 2. (достаточное условие вогнутости)

- непрерывна и дифференцируема

Если , то вогнута книзу

Если ,то вогнута кверху

Доказательство.

- кривая

- касательная

справа и слева. Ч.Т.Д.

4.Перегибы.

-точка перегиба кривой если с одной стороны она вогнута кверху, а с другой вогнута книзу.

Теорема 1.(необходимое условие перегиба)

- непрерывна и дифференцируема в

-точка перегиба

Доказательство.

Точка перегиба - точка экстремума для производной в критических точках второго порядка, нужно искать экстремумы.

Теорема 2.(достаточное условие перегиба)

- непрерывна в

- непрерывна в

- непрерывна в

или

Если производная второго порядка меняет знак при переходе через точку , то-точка перегиба.

Доказательство.

Следует из основного условия для экстремума.

5.Асимптоты.

1) Вертикальные асимптоты

называется асимптотой , если

2) Наклонные асимптоты

называется наклонной асимптотой , если

называется асимптотической кривой для , если

Вывод уравнения наклонной асимптоты.

(1)

подставляем в формулу (1)

Формула Тэйлора

имеет непрерывную производную до парв

Пусть имеет непрерывную производную до порядкав

+

(Формула Макларена)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Исследование функций на экстремумы с помощью формулы Тэйлора.

Теорема 1.

Пусть имеет непрерывную производную до порядкав

1) - четная

2) - нечетнаянет экстремума в точке

(- точка перегиба)

Доказательство.

aCx

1) - четная

поскольку произведение непрерывно то знак совпадёт со знаком функции в точке а.- точка минимума

- точка максимума

2) - нечетнаяменяет знак

не меняет знака

меняет знакнет экстремума

Функции нескольких переменных

Z=f(x,y)

Для любых x,y->z

Окрестностью точки на плоскости называется круг с центром в этой точке.

(x-x_о)²+(y-y_o)²<z²

U_r(M_o) –r– окрестностьM_o

_r(M_o) – проколотая окрестность

Точка M_oназывается внутренней точкой множестваD. ТочкаMназывается внутренней если она принадлежит множеству вместе с некоторой своей окрестностью.M₁ – граничная точкаDесли в любой ее окрестности найдутся точки принадлежащие и не принадлежащие. Совокупность граничных точек называется границей.D– граница множестваD.M₂- изолированная точка множестваD, если в некоторой ее окрестности нет других точек множестваDкроме ее самой. МножествоDназывается открытым если состоит только из внутренних точек. множествоDназывается замкнутым если содержит все граничные точки.

- замыкание

Множество Dназывается связным если 2 любые точки множестваDможно соединить непрерывной кривой лежащей вD.

Область – открытое связное множество.

Множество называется ограниченным если его можно поместить внутри круга конечного радиуса, в противном случае оно неограниченное. Односвязное множество – если любую замкнутую прямую, лежащую в Dможно непрерывной деформацией стянуть в точку не покидая множестваD.

Непрерывность функции

Функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке (x_o,y_o) еслиf(x,y) =f(x_o,y_o) илиf=0.

Частные приращения

Дадим приращение аргументу x=x_o+xxf=f(x_o+x,y_o) -f(x_o,y_o)

y=y_o+yyf=f(x_o,y_o+y) -f(x_o,y_o)- полное приращение

частные производные

Пример:

Полное приращение и полные дифференциалы.

Если полное приращение функции можно записать в виде z=Ax+By+Q() где, то линейная часть уравнения (Ax+By) называется полным дифференциалом. Предположим что функцияz=f(x,y) имеет непрерывные частные производные вU(x_o,y_o). Дадим приращение независимым переменнымx_оx_o+x,

y y_o+yz=f(x_o+x,y_o+y)-f(x_o,y_o)=(f(x_o+x,y_o+y)-f(x_o,y_o+y))+ (f(x_o,y_o+y)-f(x_o,y_o)=

( по теореме Логранта

(x_o+x,y_o+y)

)

=

где

x = dx

y = dy

f(x,y)-f(x_o,y_o)

Свойства функции непрерывной на замкнутом множестве

Функция z=f(x,y) имеет наибольшее значение наDв точкахx_o, y_o если

f(x_o,y_o)f(x,y)

??????????????????????????

f(x_o,y_o)f(x,y)

1. f(x,y) непрерывна нато

: f(x_o, y_o) f(x,y)

: f(x₁, y₁)f(x,y)

2. f(x,y) непрерывна нато

M= наибольшееf(x,y)

M= наименьшееf(x,y)

Частная производная сложной функции

Z=f(u,v)

u = u(x,y)

v = v(x,y)

Пример

Полная производная

z=z(x,y,t)

x=x(t)

y=y(t)

Производные неявной функции

F(x,y)=0 (*) задает неявную функцию в окрестности точки (x_o,y_o)

F(x_o,y_o)=0

Будем считать что функция Fимеет непрерывные частные производныевU(x_o,y_o),(x_o,y_o)

x = x_o+x y = y_o+y

F(x_o+x, y_o+y)=0

F= F(x_o+x, y_o+y) - F(x_o,y_o)=0

Пример

Частные производные неявной функции

F(x,y,z)=0 (**)

Z=z(x,y)

xyz-a³=0