3. Нормальное, тангенциальное и полное ускорения.
Движение тела характеризуется скоростью и ускорением, которые могут изменяться во времени. Пусть материальная точка движется по плоской криволинейной траектории с переменной по величине и направлению скоростью (рис. 4). Для характеристики степени криволинейности вводится понятие радиуса кривизны в данной точке траектории.
Радиусом кривизны R траектории называют радиус окружности, которая сливается с криволинейной траекторией на бесконечно малом ее участке.
В данной точке траектории касательная всегда перпендикулярна радиусу кривизны.
Пусть и скорость, и ускорение меняются по величине и направлению.
Мы знаем, что ускорение тела при движении есть .
Вектор скорости можно представить как произведение модуля скорости и некоторого единичного вектора , сонаправленного с вектором линейной скорости , направленного по касательной к траектории.
Таким образом, полное ускорение материальной точки при криволинейном движении можно представить в виде суммы двух слагаемых. Первое слагаемое .
Вектор направлен по касательной к траектории и называется тангенциальным или касательным ускорением. Его модуль равен , поэтому характеризует быстроту изменения скорости криволинейного движения только по величине, так как вектор не изменяется.
Следовательно, можно заключить, что - тангенциальное ускорение, характеризует изменение скорости по величине и направлено по касательной к траектории.
Второе слагаемое называется нормальным ускорением.
Так как вектор сонаправлен с вектором , который определяет изменение направления вектора линейной скорости, то он характеризует изменение скорости криволинейного движения по направлению.
.
перпендикулярно скорости, направлено вдоль радиуса кривизны траектории к центру окружности.
Полное ускорение материальной точки при криволинейном движении характеризует быстроту изменения скорости как по величине, так и по направлению (рис.6).
, .
4. Угловая скорость и угловое ускорение.
Поворот тела на некоторый угол можно задать в виде отрезка, длина которого равна , а направление совпадает с осью, вокруг которой производится поворот. Направление поворота и изображающего его отрезка связано правилом правого винта.
При вращательном движении твердого тела каждая точка движется по окружности, центр которой лежит на общей оси вращения (рис. 7). При этом радиус-вектор R, направленный от оси вращения к точке, поворачивается за время t на некоторый угол . Для характеристики вращательного движения вводится угловая скорость и угловое ускорение.
У гловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:
Угол в 1 радиан – это центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности; 360о = 2 рад.
Направление угловой скорости задается правилом правого винта: вектор угловой скорости сонаправлен с , то есть с поступательным движением винта, головка которого вращается в направлении движения точки по окружности.
Линейная скорость точки связана с угловой скоростью:
.
В векторной форме .
Если в процессе вращения угловая скорость изменяется, то возникает угловое ускорение.
Угловое ускорение – векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:
Вектор угловой скорости сонаправлен с вектором элементарного изменения угловой скорости , происшедшего за время dt.
При ускоренном движении вектор сонаправлен (рис. 8), при замедленном – противонаправлен (рис. 9).
Найдем связь между угловым и тангенциальным ускорениями:
.
Изменение направления скорости при криволинейном движении характеризуется нормальным ускорением :
.
Таким образом, связь между линейными и угловыми величинами выражается следующими формулами:
.
Типы вращательного движения
а) переменное – вращательное движение, при котором изменяются и :
б) равнопеременное – вращательное движение с постоянным угловым ускорением:
.
в) равномерное – вращательное движение с постоянной угловой скоростью:
.
Равномерное вращательное движение можно характеризовать периодом и частотой вращения .
Период – это время, за которое тело совершает один полный оборот.
, [T] = c.
Частота вращения – это число оборотов совершаемых за единицу времени.
, [] = c-1.
За один оборот: ,
, .