5.2. Основные цели и задачи работы

Целью данной лабораторной работе (ЛР) является освоение методики преобразования ММ ОУ из графической формы описания (структурная схема) в матрично-векторную.

В ходе выполнения ЛР необходимо решить следующие задачи:

- получить навыки разложения динамических звеньев;

- изучить особенности и возможности перехода от графических форм описания динамических систем к МВ ММ;

- получить все матрицы необходимые для записи матрично-векторной формы и сформировать по ней структурную схему.

5.3. Программные средства выполнения работы

Для выполнения данной ЛР рекоментуется использовать специальный программный пакет CLASSIC [4]. Пакет поддерживается демонстрационными файлами, позволяющими рассмотреть отдельные фрагменты выполнения операций и наиболее характерные моменты, связанные с созданием проектов исследуемых объектов, проведением расчетов и т. п. В связи с тем, что CLASSIC имеет многоуровневую систему развитого меню и встроенный редактор помощи HELP, пользование им не составляет какого-либо труда. Для предварительного ознакомления с методикой работы в среде CLASSIC и его возможностями рекомендуется использовать соответствующие методические указания.

5.4. Содержание работы

5.4.1. Преобразовать исходную структурную схему к виду, содержащему звенья только нулевого и первого порядков.

5.4.2. Обозначить переменные состояния двумя способами. При этом обязательно необходимо выполнение условия для обоих случаев, расположение же остальных переменных может меняться в произвольном порядке. Составить уравнения звеньев , входящих в структурную схему.

5.4.3. Преобразовать полученные уравнения к форме Коши, найти необходимые матрицы и перейти к описанию исследуемого объект в пространстве состояний.

5.4.4. Сформировать две структурные схемы на основе полученных систем уравнений, реализовать их в среде пакета CLASSIC по различным каналам и сравнить результаты полученные для двух вариантов друг с другом.

5.4.5. Сформировать проект исходной структурной схемы в среде пакета CLASSIC, получить ее характеристики по тем же каналам, что и в п. 5.4.4.

5.4.6. Сравнить результаты пп. 5.4.4 и 5.4.5, сделать обоснованные выводы о достоверности полученных результатов, о множественности форм представления матрично-векторных математических моделей.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6

"ИССЛЕДОВАНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИЧЕСКИХ

СИСТЕМ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ"

6.1. Краткая теория вопроса

6.1.1. Общие закономерности преобразования матрично-векторных математических моделей произвольно выбранного базиса.Допустим, что существует математическая модель эквивалентная форме (5.1), но представленная в виде

(6.1)

Это значит, что существует некоторое преобразование , такое что

(6.2)

позволяющее перейти от одного базиса переменных состояния к другому. При этом обязательно необходимо, чтобы матрицабыла квадратной и неособенной.

После несложных математических вычислений можно получить выражения для нахождения матриц входящих в систему (6.1) с учетом (6.2)

(6.3)

Таким образом, становится ясно, что форма (6.1) не является единственно возможной для каждых конкретных А, В, и т.д. Они просто соответствуют некоторому конкретному базису в пространстве состояний. При этом любое невырожденное преобразование Р в виде квадратной матрицы размерности может быть использовано для получения ММ динамической системы в новом базисе. Это говорит о том, что любая ДС может быть описана в бесконечном количестве различных базисов.

Здесь следует отметить, что пути поиска необходимого преобразования Р могут различаться в зависимости от того, какова исходная предпосылка преобразований.

6.1.2. Основные формы приведения.Для исследования ДС в пространстве состояний используется та или иная форма записи МВ ММ в зависимости от цели исследования. Любую МВ ММ, при определенных условиях, можно привести к необходимому базису, наиболее удобному для анализа свойств объекта. Современная теория управления насчитывает семь основных форм приведения [1, 2].

1) Основная нормальная управляемая форма:

Аон=;Вон=; Сон=.

(6.4)

2) Транспонированная основная нормальная форма (ТОН):

Атон=; Втон=; Стон=.

(6.5)

3) Дополнительная нормальная форма:

Aдоп=; Bдоп=Вон; Cдоп=Сон.

(6.6)

4) Обратная нормальная форма:

Aобр=; Bобр=; Cобр=.

(6.7)

5) Каноническая диагональная форма:

Aд=; Bд=;

(6.8)

6) Жорданово-каноническая форма.

7) Треугольная форма.

6.1.3. Нахождение преобразования на основе свойств управляемости объекта.Пусть объект, заданный системой (5.1), полностью управляемый. Тогда ранг матрицы управляемости объекта

,

(6.9)

должен быть равен его размерности n [2].

Поскольку форма (6.1) эквивалентна, то

,

(6.10)

и ее ранг также должен быть равен n.

Если объект (5.1) одномерный, то матрицы (6.9) и (6.10) квадратные и неособенные. Подставив соотношения из системы (6.3) в выражение (6.10), можно получим формулу для нахождения преобразования

(6.11)

Поскольку выражение (6.11) получено из факта существования (6.2) и (6.10), то оно является необходимым условием существования Р. Для доказательства достаточности необходимо подставить (6.10) в (6.3). Если при этом равенства превратятся в тождество, то будет доказана достаточность.

Так как аналитически доказать достаточность очень сложно, а чаще всего невозможно, то справедливость (6.11) проверяют непосредственной подстановкой и численным расчетом данной структуры после преобразования Р. Если результат совпадает, то эта форма возможна, если нет, то перейти к заданному базису невозможно.

Если отличие полученной действительной матрицы состоит в одном или двух элементах, величина которых несущественна для выбранного базиса, то можно попытаться изменить структуру в соответствии с полученными результатами и с ними провести проверку, либо при невысоком порядке преобразования системы задать соответствующие элементы и путем указанных преобразований получить аналитические выражения для их конкретного выбора.

6.1.3. Нахождение преобразования на основе свойств наблюдаемости объекта.Пусть система (5.1) обладает свойством полной наблюдаемости, тогда матрица наблюдаемости

,

(6.12)

будет имеет ранг равный n [2].

Матрица (6.12) для одномерной системы является квадратной неособенной. Если система (6.1) эквивалентна исходной, то она также наблюдаема и ее ранг равен N.

,

(6.13)

Подставляя в выражение (6.13) уравнения из системы (6.3), получим преобразование для перехода к требуемому базису

,

(6.14)

Возможности использования выражения (6.14) точно также ограничиваются свойствами его необходимости, достаточность проверяется непосредственной подстановкой.

Для получения некоторых конкретных форм описания необходимая структура матрицы Р может быть найдена по известному алгоритму [1]. Так для получения ТОН формы (6.5) обычно используют матрицу Р вида

.

(6.15)

Для построения формы (6.8) строится матрица Вандермонда [1]

W=,

(6.16)

где - собственные числа. Тогда преобразование находится по формуле

.

(6.17)