1.5. Содержание отчета

1) Название и цель работы.

2) Исходные данные.

3) Разделы, посвященные исслледованию типовых звеньев, содержа­щие математические модели, характеристики и выводы о свойствах звеньев.

4) По каждому типовому звену необходимо сделать выводы, заклю­чающиеся в ответах на вопросы, поставленные в п. 1.4. настоящих методи­ческих указаний. Ответы на вопросы должны сопровождаться графиками, подтверждающими правильность сделанных выводов.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2

"Исследование фундаментальных свойств

сложного динамического звена

с использованием различных форм

его математических моделей"

2.1. Краткая теория вопроса

2.1.1. Формы представления математических моделей (ММ) элементов, устройств и систем управления. Наиболее универсальной формой математи­ческого описания динамического звена (ДЗ) является система дифференци­альных уравнений (ДУ). При этом ДЗ любой сложности может быть описа­но, в большинстве случаев, системой уравнений первого порядка

(2.1)

Здесь - вектор переменных, характеризующих со­стояние звена; - полное множество реально существую­щих выходных переменных; u - векторная переменная, описывающая вход­ное воздействие на ДЗ; - в общем случае, нелинейные вектор-функции, описывающие поведение ДЗ; - нелинейные вектор-функции, связываю­щие выходы звена с переменными состояния и входными воздействиями.

Для упрощения записи и облегчения чтения система (2.1) может запи­сываться в виде:

(2.2)

где x, u, y - векторные переменные соответствующих размерностей.

При линейности объекта исследования форма записи ММ (2.2) при­нимает вид матрично-векторного выражения:

(2.3)

Если, при этом, исследуемое ДЗ имеет один вход u и один выход y, то система (2.3) может быть разрешена относительно этих переменных и пред­ставлена одним ДУ n-го порядка

(2.4)

Считая начальные условия нулевыми и преобразуя уравнение (2.4) по Лапласу, можно получить операторное уравнение

(2.5)

и ПФ исследуемого звена или системы:

.

(2.6)

Таким образом, передаточные функции (ПФ) линейных динамических звеньев задаются дробно рациональными функциями от абстрактной ком­плексной переменной - оператора Лапласа "р".

Переходя в (2.6) к преобразованию Фурье подстановкой , получим выражение, называемое частотной характеристикой (или частот­ной ПФ) ДЗ:

.

(2.7)

Кроме аналитической существует ряд специфических графических форм представления частотных характеристик, которые описываются в [2].

2.1.2. Формы представления и записи ПФ ДЗ. В зависимости от значе­ний коэффициентов выражения (2.6), существует несколько различ­ных вариантов представления и записи ПФ ДЗ.

Если все коэффициенты не равны нулю, ПФ принято представ­лять в нормализованном виде

,

(2.8)

где

Если нулевыми являются коэффициентов при младших степенях "р" в числителе и коэффициентов - в знаменателе, то ПФ будет представлена в следующем виде:

,

(2.9)

где ⁸При такой форме записи k - имеет смысл размерного коэффициента передачи; - определяет порядок астатизма или дифференцирования.

С другой стороны, при известных значениях корней, если все они - действительны, любой полином можно представить произведением двучле­нов

,

(2.10)

где - корни полинома А(р). Аналогично можно представить и В(р).

В случае, когда часть корней равна нулю, выражение (2.10) преобра­зуется к следующему виду:

,

(2.11)

где v - количество нулевых корней.

Если же полином имеет комплексно-сопряженные корни , то через вещественные коэффициенты может быть пред­ставлено лишь произведение двучленов вида

,

т.е. трехчлен второго порядка с действительными числами.

Таким образом, ПФ сложного ДЗ можно обобщить записью

,

(2.12)

где - элементарные (неразлагаемые на более простые в дейст­вительных значениях ) полиномы либо вида , где , либо вида , где , , ; величины - постоянные времени, характеризующие инерционность со­ставляющих (условно) сложное ДЗ элементарных звеньев; дают оценку их колебательности; представляет собой размерный коэффициент переда­чи звена; определяет порядок дифференцирования ( ) или астатизма ( ).

Форму (2.12) назовем канонической.Она очень удобна при использо­вании алгебраических методов исследования звеньев и систем по их ПФ.

2.1.3. Каноническая форма ПФ и типовые звенья. Выкладки п.2.1.2 показывают, что, в общем случае, новый полином, входящий в дробно ра­циональную функцию, может быть представлен следующим произведением:

(2.13)

где n -общее количество сомножителей, определяется порядком полинома;

n1 - количество действительных корней; n2 - количество пар комплексно-со­пряженных корней.

Анализ выражения (2.13) показывает, что любую ПФ можно разло­жить на произведение условных элементарных ПФ, каждая из которых мо­жет иметь вид из некоторого стандартного набора ПФ, имеющих мини­мальный порядок:

Передаточные функции данного вида можно привести, с помощью не­сложных алгебраических преобразований к типовым элементарным звень­ям, рассмотренным в лабораторной работе №1.

Записанные семь ПФ образуют минимальный набор неупрощаемых (в смысле порядка и структуры) дробно-рациональных функций, произведе­нием которых может быть получена дробно-рациональная функция любого порядка, то есть ПФ динамического звена или системы любой сложности. Этот результат объясняет происхождение понятия типового элемента, рас­смотренного в предыдущей лабораторной работе.

2.1.4. Связь дифференциальной, операторно-алгебраической и мат­рично-векторной форм описания ОУ. Переход от наиболее общей матрич­но-векторной формы ММ ДЗ к дифференциальной или операторной сводит­ся, как указывалось выше, к сворачиванию системы ДУ 1-го порядка в ДУ n-го порядка.

Иногда ММ ДЗ оказывается заданной ПФ или вход-выходными ДУ. Тогда для разворачивания соответствующего выражения в матрично-век­торную форму применяются специальные алгоритмы. Наиболее общий из них приводится ниже. Он ориентирован на использование приведенной формы записи ПФ. Для этого (применительно к (2.6)) необходимо разделить числитель и знаменатель ПФ на коэффициент :

,

(2.14)

где В дальнейшем будем опускать символ " * " в приве­денной форме ПФ (2.14) для упрощения записи.

Зададимся уравнением наблюдения этого звена

(2.15)

где - неизвестный коэффициент, - некоторая абстрактная переменная состояния звена, а также следующим алгоритмом построения системы ДУ в абстрактных переменных состояния :

(2.16)

С помощью несложных преобразований можно получить систему ре­куррентных алгебраических выражений для нахождения коэффициентов ,

полученную как необходимое и достаточное условие справедливости (2.15) и (2.16).

(2.17)

После применения данного алгоритма получаем матрично-векторное уравнение ДЗ в переменных состояния вида (2.3), где матрицы заданы сле­дующими выражениями:

;