Производная и дифференциал

Определение. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки.Приращением этой функции в точке называется функция аргументаПроизводной функции в точкеназывается. Производная функции в точке обозначаетсяили. Операция нахождения производной называетсядифференцированием.

Таблица производных простейших элементарных функций

1. 8.

2. 9.

3. 10.

4. 11.

5. 12.

6. 13.

7.

Физический смысл производной

Производная - скорость изменения зависимой переменнойпо отношению к изменению независимой переменнойв точке. В частности, если- время,- координата точки, движущейся по прямой, то- мгновенная скорость точки в момент.

Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции .

y

N

l

M

x

MN - секущая к графику функции. При , уголстремится к некоторому пределу, а секущая, поворачиваясь вокруг точкиM, становится касательной.

Уравнение касательной к графику функции:

.

Уравнение нормали, проведённой в той же точке:

.

Правила дифференцирования

Если и- дифференцируемые функции, то справедливы равенства

;

Производная сложной функции

Если функция имеет в точкепроизводную, а функцияимеет в точкепроизводную, то сложная функцияимеет производную в точке, причём

. (1)

Физическая интерпретация формулы (1): производная - скорость измененияпо отношению к, производная- скорость измененияпо отношению к. Очевидно, что скоростьравна произведению скоростейи. (Еслидвижется быстреевраз,- быстреевраз, тодвижется быстреевраз).

Производная функции, заданной параметрически

Пусть функции (2)

определены на некотором промежутке изменения переменной , которую назовёмпараметром. Пусть функция является строго монотонной на этом промежутке. Тогда существует обратная функция, подставляя которую в уравнениеполучим. Таким образом, переменнаяявляется сложной функцией переменной. Задание функциис помощью уравнений (2) называетсяпараметрическим. Если функции имеют производные, причём, то.

Дифференциалом функции в точкеназывается функция аргумента. Дифференциалом независимой переменнойназывается приращение этой переменной:. Таким образом, дифференциал функциив точкеимеет вид

, (3)

откуда .

Геометрический и физический смысл дифференциала

y

N

P

dy

M

0 x

Рассмотрим график функции . МР- касательная к графику функции в точке М. Дифференциалравен приращению ординаты касательной.

Если - время,- координата точки на прямой в момент, то дифференциалравен тому изменению координаты, которое получила бы точка за время, если бы скорость точки на отрезкебыла постоянной и равной. Изменение скорости на этом отрезке приводит к тому, что. Однако на малых промежутках времениизменение скорости незначительно и.

Инвариантность формы первого дифференциала

Пусть аргумент функцииявляется функцией от, тогда дифференциал функциипо-прежнему имеет вид (3), но теперьявляется не произвольным приращением аргумента, а дифференциалом функции, т.е.. Это свойство – сохранение формы и в том случае, когданазывается инвариантностью формы первого дифференциала.

Применение дифференциала в приближённых вычислениях

Так как при малых, т.е., то.

Эта формула позволяет находить приближённые значения при малых, если известны. При этом погрешность при такой замене приявляется бесконечно малой, более высокого порядка, чем.

Производные высших порядков

Если производная функцииопределена в некоторой окрестности точкии имеет в этой точке производную, то эта производная отназывается второй производной и обозначается. Третья производная является производной оти т.д. Таким образом, производные высших порядков определяются индуктивно по формуле

.

Основные формулы вычисления n-х производных

1.

2. Формула Лейбница

, где

3.

4.

5. Если , то, или

Общая схема исследования функции

и построения её графика

I. Элементарное исследование.

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на чётность/нечётность, периодичность.

3. Вычислить предельные значения функции в граничных точках области определения.

4. Выяснить существование асимптот.

5. Определить, если это не вызовет особых затруднений, точки пересечения графика функции с координатными осями.

6. Сделать эскиз графика функции, используя полученные результаты.

II. Исследование графика функции по первой производной.

1. Найти решения уравнений и выяснить, в каких точках производная не существует.

2. Точки, «подозрительные» на экстремум, исследовать с помощью достаточного условия, определить вид экстремума.

3. Найти интервалы монотонности.

III. Исследование графика функции по второй производной.

1. Найти решения уравнения и выяснить, в каких точках производная не существует.

2. Точки, «подозрительные» на перегиб, исследовать с помощью достаточного условия.

3. Вычислить значения функции в точках перегиба.

4. Найти интервалы выпуклости и вогнутости.

IV. Построить график функции.

Если в некоторой окрестности точки выполняется неравенствоили, то точканазывается точкой экстремума функции(соответственно точкой максимума или минимума).

Необходимое условие экстремума: если - точка экстремума, то.

Достаточное условие экстремума: точка является точкой экстремума, если её производнаяменяет знак при переходе через точку, с + на – при максимуме, с – на + при минимуме.

Точка называется точкой перегиба кривой, если при переходе через точкуменяется направление выпуклости.

Необходимое условие точки перегиба: если - точка перегиба, то.

Достаточное условие точки перегиба: является точкой перегиба кривой, если при переходе через точкувторая производная меняет знак.

Прямая называется наклонной асимптотой кривой, если расстояние от точек кривой до асимптоты стремится к нулю при.

При этом

.

При имеем горизонтальную асимптоту.

Если или, то прямаяназывается вертикальной асимптотой.

Примеры

1. Пользуясь формулами дифференцирования, найти производные следующих функций:

1) 2)

3) 4)

Решение:

1) есть сложная функция.

, где

Производная сложной функции имеет вид

или ,

следовательно,

2) - сложная функция.

, где , а,

;

3) применяя логарифмическое дифференцирование, последовательно находим

=

4) есть неявная функция, т.е. задана уравнением, не разрешенным относительно у. Для нахождения производной нужно продифференцировать пох обе части равенства, помня, что у есть функция от х, и затем разрешить полученное равенство относительно искомой производной. Как правило, она будет зависеть от х и у:

2. Найти производную первого и второго порядка идля параметрически заданной функции.

Функция у от независимой переменной х задана через посредство вспомогательной переменной (параметра t). Производная от у по х определяется формулой

.

Находим производные от у и х по параметру t:

Находим производную второго порядка от y по х:

, или .

Находим

;

.

3. Составить уравнение касательной и нормали к кривой у = х² - 4х в точке, где х = 1.

Решение. Уравнение касательной к кривой в точке М(х₀, у₀)

х₀ = 1,

Для определения углового коэффициента касательной находим производную

Подставляя значения х₀, у₀, у'(х₀) в уравнение, получим

у+3 = -2(х-1) или 2х+у+1 = 0

Уравнение нормали -

или .

4. Найти дифференциалы функций:

1) 2)

вычислить .

Решение. Находим производную данной функции и, умножив ее на дифференциал независимой переменной, получим искомый дифференциал данной функции:

1)

2) .

Полагая х = 0 и dx = 0,1, получим

5. Вычислить приближенное значение: