Тема 3. Введение в математический анализ. Предел последовательности

Определение: Число называется пределом последовательности, если, такое, чтоверно неравенство.

Обозначение .

С геометрической точки зрения это означает, что в любой - окрестности точкинаходятся все члены последовательности, начиная с номера.

Последовательность называется бесконечно малой, если.

Последовательность называется бесконечно большой, если, такой, чтоверно неравенство.

В этом случае пишут .

Предел функции

Числоназывается пределом функциипри, если, такое, чтопри.

Обозначение .

Число b называется пределом функции прислева, если каково бы ни было положительное число, найдётся такое числоN (меньшее ), что для всех, лежащих междуN и , выполняется неравенство.

.

Число b называется пределом функции присправа, если каково бы не было положительное число, найдётся такое числоM (большее ), что для всех, лежащих междуиM выполняется неравенство.

Функция называется бесконечно малой (бесконечно большой) при, если().

Две функции иназываются эквивалентными, если.

Обозначение .

Предел отношения функций не изменится, если каждую из них заменить эквивалентной ей функцией, т.е. если , то

.

Предел функции в точке области её определения равен частному значению функции в этой точке: .

Доказать, что

Зададим произвольное и покажем, что существуеттакое, что из неравенстваследует неравенство.

Действительно,

.

Значит, если положить , то из неравенстваследует неравенство. Таким образом, согласно определению,.

Практически предел функции находят не по определению, а на основании теорем о пределах.

Теорема 1. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций:

.

Теорема 2. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:

.

Теорема 3. Постоянный множитель можно выносит за знак предела

.

Теорема 4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля:

, если .

Теорема 5. Если для функций выполняются неравенства

и , то.

Теорема 6 (первый замечательный предел).

.

Теорема 7 (второй замечательный предел).

или .

Некоторые эталонные пределы

1. 4.

2. 5.

3. 6.

7. 9.

8. 10.

Нарушение ограничений, накладываемых на функцию при вычислении пределов, приводит к неопределённостям вида .

Элементарными приёмами раскрытия неопределённостей являются:

1) сокращение на множитель, создающий неопределённость;

2) деление числителя и знаменателя на старшую степень аргумента (для отношения многочленов при );

3) применение эквивалентных;

4) использование замечательных пределов.

Примеры. Найти пределы:

1. .

Разделим числитель и знаменатель дроби на в старшей степени, т.е. на_:

.

2. .

3. .

Таким образом,

если степень числителя меньше степени знаменателя, то предел равен 0;

если степень числителя больше степени знаменателя, то предел равен ;

если степень числителя равна степени знаменателя, то предел равен отношению коэффициентов при старших степенях.

4. .

5. .

Последовательность ограниченная, а последовательностьбесконечно малая, т.к. степень числителя меньше степени знаменателя. Значит,по теореме о произведении бесконечно малой на ограниченную.

6.

.

7. .

Ι способ. Здесь имеем неопределённость . Устраним неопределённость тождественным преобразованием – домножим числитель и знаменатель на сопряжённые выражения.

.

II способ. Положим , тогда. Если, то.

.

8.

.

9. .

Разложим многочлены в числителе и знаменателе на множители

.

10. .

Иногда полезно воспользоваться формулами тригонометрии:

11.

12. .

Заметим, что аналогично можно доказать:

;

.

13. .

Для раскрытия неопределённости используем метод замены бесконечно малых эквивалентными:

.

14. .

I способ. Имеющуюся неопределённость устраним тождественным преобразованием с последующим использованием замечательных пределов и теоремы о пределе произведения:

.

II способ. Так как при ,

то

.

15. .

I способ. Имеющуюся неопределённость устраним тождественными преобразованиями с последующим использованием второго замечательного предела:

.

II способ. Используя тождество и непрерывность показательной функции, сведём неопределённостьк неопределённости:

;

.

Таким образом, исходный предел равен .