7. Плоскость в пространстве.

Плоскость в пространстве может быть задана одним из следующих уравнений:

1). - общее уравнение плоскости;

2). - уравнение плоскости, проходящей через точкуперпендикулярно нормальному вектору;

3). - уравнение плоскости в отрезках,- отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат;

4). - уравнение плоскости, проходящей через точки;

5). - уравнение плоскости, проходящей через точкупараллельно двум неколлинеарным векторам;

6). - нормальное уравнение плоскости, где- направляющие косинусы нормального вектора, направленного из начала координат к плоскости,- расстояние от начала координат до плоскости.

Общее уравнение приводится к нормальному виду умножением на нормирующий множитель

.

Если плоскость задана нормальным уравнением и точка- некоторая точка пространства, то выражениеназывается отклонением точкиот плоскости.

Расстояние от точки до плоскостиопределяется равенством

.

Две плоскости ипараллельны, если, т.е.иколлинеарны, перпендикулярны, если, т.е.и.

Угол между плоскостями есть угол между нормалями:

.

8. Прямая в пространстве.

Прямая в пространстве может быть задана:

1). Общими уравнениями

,

что равносильно её заданию как линии пересечения двух плоскостей;

2). Каноническим уравнением

,

прямая проходит через точку параллельно направляющему вектору;

3). Параметрическими уравнениями

.

Заметим, что направляющий вектор прямой можно найти как векторное произведение нормальных векторови, т.е.

.

Угол между прямыми есть угол между направляющими векторами

.

Угол между прямой и плоскостьюопределяется по формуле:

.

Условие параллельности прямой и плоскости:

.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости: .

Условие принадлежности двух прямых одной плоскости. Пусть прямые заданы каноническими уравнениями:

и .

Две прямые лежат в одной плоскости, если компланарны векторы , т.е. их смешанное произведение равно 0, т.е.

.

Если , то прямые являются скрещивающимися.

Примеры:

1. Составьте уравнение плоскости, зная что точка служит основанием перпендикуляра, проведённого из начала координат к этой плоскости.

Решение: По условию задачи вектор является нормальным вектором плоскости и точкапринадлежит плоскости.

Воспользуемся уравнением:

2. Найти уравнение плоскости, проходящей через две точки: ии перпендикулярной плоскости.

Решение: Вектор нормали к плоскости параллелен искомой плоскости.

Выберем на плоскости текущую точку . Векторы- компланарны. Тогда

3. Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось и образующей с плоскостьюугол.

Решение: Плоскость, проходящая через ось задаётся уравнением, гдеА и В одновременно в ноль не обращаются. Пусть , тогда. Обозначим, тогда уравнение плоскости примет вид.

Нормальный вектор данной плоскости , искомой плоскости.

По формуле косинуса угла между двумя плоскостями имеем:

.

Откуда получаем две плоскости:

4. В пучке, определяемом плоскостями и, найти две перпендикулярные плоскости, одна из которых проходит через точку.

Решение: Уравнение пучка плоскостей имеет вид:

или

.

Для того, чтобы выделить из пучка плоскость, проходящую через точку М, подставим координаты этой точки в уравнение пучка

откуда имеем .

Тогда уравнение плоскости, содержащей точку М, найдём, подставив соотношение в уравнение пучка

Так как (иначе, а это противоречит определению пучка), то имеем уравнение:.

Вторая плоскость, принадлежащая пучку, должна быть ей перпендикулярна. Запишем условие ортогональности нормальных векторов:

.

Значит, уравнение второй плоскости имеет вид:

или (в силу того, что )

5. Даны координаты вершин пирамиды

Найти угол между ребром и гранью.

Решение: Найдём вектор нормали к грани , как векторное произведениеи.

.

Найдём координаты вектора .

Найдём угол между вектором нормали и:

Искомый угол между вектором и плоскостью равен .

6. Даны плоскость , прямаяи точка.

а). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М и параллельной плоскости .

В качестве вектора нормали к искомой плоскости можно взять - нормаль. Поэтому уравнение плоскости будет иметь вид:.

б). Составить уравнение прямой, проходящей через точку М и параллельной . В качестве направляющего вектора искомой прямой можно взять- направляющий вектор. Тогда уравнение прямой:

в). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М и перпендикулярной .

В качестве вектора нормали к исходной плоскости можно взять - направляющий вектори уравнение плоскости будет

г). Составить уравнение прямой, проходящей через точку М и перпендикулярной .

Направляющим вектором искомой прямой можно взять - нормаль. Отсюда получим уравнение прямой

д). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М и прямую .

Запишем уравнение в параметрической форме:Придавдва различных значения, например,найдём две точки прямой.

Точки принадлежат искомой плоскости. Составим уравнение плоскости, проходящей через три точки:

.

е). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М и перпендикулярной плоскостям и.

В качестве нормального вектора искомой плоскости можно взять векторное произведение и- нормальных векторови.

.

Зная точку М, через которую проходит плоскость, и вектор нормали , составим уравнение искомой плоскости:

.

ж). Найти точку пересечения прямой и плоскости.

Воспользуемся параметрическими уравнениями прямой .

Подставим эти уравнения в уравнение плоскости .

.

Подставим найденное значение t в параметрические уравнения прямой

Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости

з). Найти расстояние от точки М до плоскости .

Нормируем уравнение плоскости

7. Найти каноническое уравнение прямой, если она задана в виде:

Решение: Чтобы составить каноническое уравнение нужно знать точку, через которую проходит эта прямая и направляющий вектор.

Для нахождения произвольной точки прямой примем её координату (можно взять любое другое значение) и подставим в систему

Итак, точка .

Прямая задана как пересечение плоскостей, векторы нормалей иперпендикулярны прямой. Поэтому в качестве направляющего вектораможно взять векторное произведение

.

Тогда каноническое уравнение прямой:

.

8. Найти расстояние от точки до прямой:.

Составим уравнение плоскости ,

проходящей через точку перпенди-

кулярно .

Найдём точку пересечения прямойи плоскости.

Перейдём к параметрическим уравнениям прямой :

Подставим их в уравнение плоскости:

Таким образом, точка .

Искомое расстояние