Непрерывность функции

Определение. Функция называется непрерывной в точке, если она определена в точкеи в некоторой окрестности точкии если.

Геометрически непрерывность функции в данной точке означает, что разность ординат графика функции в точкахибудет мала, еслидостаточно мало.

Определение. Если функция непрерывна в каждой точке интервала, то она непрерывна на этом интервале.

Если функция определена при и при этом, то говорят, что функциянепрерывна в точкесправа.

Если функция определена при и при этом, то говорят, что функциянепрерывна в точкеслева.

Если функция непрерывна на интервале , и непрерывна в точкахсоответственно справа и слева, то функция непрерывна на отрезке.

Если в точке для функциине выполняется какое-либо условие непрерывности, т.е. функция не определена в точкеили не существует, или, то функцияразрывна при. Точканазывается точкой разрыва.

Теорема. Всякая элементарная функция непрерывна на своей области определения.

Классификация точек разрыва

Точка функцииназывается точкой разрываI рода, если существуют конечные односторонние пределы и.

Точка разрыва I рода называется устранимой, если .

Если односторонние пределы конечны, но не совпадают, то - неустранимая точка разрыва.

Точка функцииназывается точкой разрываII рода, если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или не существует.

Примеры.

1. .y

; 1

. x

- точка разрыва

I рода устранимая.

y

2. . 1

0 x

;

- точка разрыва I рода неустранимая.

3.y

.

; 0

-точка разрыва II рода.

4. Исследовать на непрерывность функцию

y=.

Естественно, что на интервалах (-∞;-2), (-2;0) и (0;+∞) функция непрерывна. Проверке подлежат только точки х = -2 и х = 0.

Для того чтобы убедиться, что функция непрерывна в точке, требуется проверить, равны ли между собой односторонние пределы и равны ли они значению функции в этой точке.

Рассмотрим точку х = -2.

.

Вычислим односторонние пределы:

.

Так как односторонние пределы не совпадают, х = -2 - точка разрыва функции I рода неустранимая.

Рассмотрим точку х = 0.

x = 0 - точка непрерывности функции, выполнены все условия непрерывности.

5. Исследовать поведение функции вблизи точки разрыва. Построить схематический чертеж.

.

Решение. Область определения функции

Точка разрыва х = -10.

Найдем односторонние пределы:

Знак предела зависит от знаков числителя и знаменателя дроби. В обоих случаях числитель (2х + 5)-15, но знаменатель в пределе слева остается отрицательным, приближаясь к нулю, а в пределе справа, приближаясь к нулю, знаменатель остается положительным. Схематичный чертеж представлен на рисунке.