3. Обратная матрица

Матрица называетсяобратной к матрице A, если .

Матрица имеет обратную только в том случае, если она невырожденная.

Обратная матрица находится по правилу

где - алгебраические дополнения элементов. Можно применить элементарные преобразования для нахождения обратной матрицы. Выпишем матрицуА и справа припишем единичную матрицу того же порядка и над строками их будем одновременно производить элементарные преобразования до тех пор, пока матрица А не превратиться в единичную. Тогда единичная матрица превратится в обратную.

Можно единичную матрицу располагать над матрицей А и производить элементарные преобразования над столбцами, тогда исходная единичная матрица превратится в обратную.

4. Ранг матрицы

Выберем в матрице k – строк и k – столбцов . Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов составим определительk – го порядка, который назовём минором k – го порядка матрицы А. Рангом матрицы А называется число r, удовлетворяющее следующим условиям: 1) существует по крайней мере один минор порядка r, отличный от нуля; 2) все миноры порядка (r+1) равны нулю.

При этом пишут rank A=r. Если ранг матрицы А равен r, то любой отличный от нуля минор порядка r называется базисным.

Итак, для того чтобы вычислить ранг матрицы, необходимо вычислить все её миноры и среди них найти минор наибольшего порядка .

Очевидно, что ранг невырожденной матрицы равен порядку матрицы.

Не изменяют ранг матрицы следующие элементарные преобразования:

1. перестановка строк или столбцов;

2. умножение строк (столбцов) на число ;

3. прибавление к любой строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на число ;

4. зачёркивание нулевой строки (столбца);

5. транспонирование.

Трапецеидальной матрицей называется матрица, имеющая вид

где

Другими словами, матрица является трапецеидальной, еслиприи.

Ранг такой матрицы равен m.

Таким образом, для нахождения ранга матрицы с помощью элементарных преобразований нужно привести матрицу к трапецеидальному виду.

5. Системы линейных уравнений

Системой линейных уравнений (СЛУ) называется система уравнений вида:

Система называется однородной, если

Матрица называется матрицей коэффициентов.

Матрица называют расширенной матрицей системы.

Столбец называют столбцом неизвестных.

Столбец называют столбцом свободных членов.

С учётом этих обозначений можно записать систему в матричной форме

.

Рассмотрим отдельно случай квадратной системы, когда , и общий случай, когда.

1. Квадратная система

Пусть дана СЛУ, в которой и.

Существуют три основных метода решения СЛУ:

а) метод Крамера

б) метод обратной матрицы

в) метод Гаусса

а) Обозначим

(определитель получается иззаменойi-го столбца на столбец свободных членов)

Тогда

б) Рассмотрим СЛУ в матричной форме

Домножим слева на

Но произведение

Таким образом

в) При решении СЛУ методом Гаусса, расширенную матрицу системы приводят к треугольному виду с помощью элементарных преобразований

По данной матрице составляется система

Из последнего равенства найдём и подставим его в предыдущее

Из этого равенства найдём и подставим в предыдущее и т.д.

2. Общий случай

Теорема Кронекера-Капелли

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда

.

В случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, систему удобно решать методом Гаусса, который состоит в приведении расширенной матрицы к трапецеидальному виду путём применения элементарных преобразований. Если при этом на некотором этапе получается строка, в которой все элементы, кроме столбца свободных членов, равны нулю, то система несовместна (это случай, когда ). Если, то система имеет бесконечно много решений, и каждое решение зависит отне зависящих друг от друга параметров, т.е. степень свободы системы. В качестве параметров удобно брать «лишние неизвестные», которые объявляются свободными, остальные переменные – базисные выражаются через свободные.

Однородная система линейных уравнений

Расширенная матрица отличается от матрицы коэффициентов наличием нулевого столбца, т.е. . Значит, по теореме Кронекера-Капелли система всегда совместна. Одно решение очевидно -. Это решение называетсятривиальным. Если , то решение единственное – тривиальное, если, то решений бесконечно много.

Обозначим базисные неизвестные , тогда

В матричной форме

Можно записать так:

, где

Решение называетсяфундаментальной системой решений (ФСР) однородной системы. Общее решение системы является линейной комбинацией фундаментальной системы решений.