C3

В первом случае при x 1 решений нет.

2. 1 x 3. Тогда x 3 0, x 1 0 и (x 3)| x 3| | x 1| 0

(x 3)(3 x) (1 x) 0

x2 5x 8 0. Нет решений.

3. x 3. Тогда x 3 0, x 1 0 и (x 3)| x 3| | x 1| 0

(x 3)2 (1 x) 0

x2 7x 10 0 (x 2)(x 5) 0.

С учетом условия x 3 получаем x 5.

Итак, первое неравенство системы имеет множество решений [5; ).

Решим второе неравенство системы: (x2 7x 6) 11 x 0 .

(x2 7x 6) 11 x 0

11 x 0,x2 7x 6 0

x 11,

11 x 0,x2 7x 6 0

x 11,

мы (2), получим, что решениями данной в условии системы неравенств являются все значения x [5;6] {11}.

Ответ. [5;6] {11}.

Пример 143. (Диагностическая ра-

бота 07.05.13. ЕГЭ 2013). Решить сис-

тему неравенств:

уравнения x2 (1 10)x 10 0. Дис-

чаем x1 1 и x2 10 . Тогда решением первого неравенства являются все значе-

ния x [ 1; 10].

Решим второе неравенство.

Решим первую систему совокупности:

Решим вторую систему совокупности:

x 0

Объединяя множества решений систем, получаем множество решений сово-

купности [ 1;0) {1} [3; ).

Так как 10 9 3, то пересекая множества решений [ 1; 10] системы

(1) и [ 1;0) {1} [3; )системы (2) с

учетом выполненной оценки, получим, 71

что решениями данной в условии системы неравенств являются все значения

x [ 1;0) {1} [3; 10].

Ответ. [ 1;0) {1} [3; 10].

Применение свойств неравенств

Обычно при решении систем неравенств с одной переменной каждое неравенство решают независимо друг от друга. В некоторых случаях арифметические действия с данными неравенствами являются ключевым моментом в решении системы неравенств.

Пример 144. (МИОО). Решить сис-

тему неравенств

Решение. Перепишем систему неравенств в следующем виде

При x 6 второе неравенство исходной системы не выполняется:

36 64 36 156,

72 64 156.

Ответ: нет решений.

В некоторых случаях с помощью известных неравенств удается свести одно из неравенств системы к решению уравнения.

Пример 146. (Диагностическая ра-

бота 22.09.12. ЕГЭ-2013). Решить сис-

тему неравенств:

Решение. Решим первое неравенство

При сложении неравенств системы од-

Проверяем, что при x 2 каждое неравенство исходной системы выполняется:

4 36 4 44,

8 36 44.

Ответ: 2.

Пример145. (МИОО). Решить сис-

тему неравенств

Решение. Умножим обе части второго неравенства на –1 и сложим два неравенства полученной системы

Отсюда имеем неравенство

x 3.

Для решения системы достаточно проверить, является ли число x 3 решением второго неравенства. Подставляя в него вместо x значение 3, получаем верное числовое неравенство:

Решение. Выделяя полные квадраты в выражениях под знаками логарифмов, приведем второе неравенство системы к виду

log1 x2 (| x| 6)2 1 log1 x2 (| x| 6)2 1 .

Так как при всех допустимых значениях x справедливы неравенства

(| x| 6)2 1 1,

исходное неравенство будет справедливо только в случае, когда его левая и правая

x 6 исходное неравенство неверно. При x 6 получаем

256 3 106 4 46106 2,56 3 4 0,46 0,

то есть при x 6 исходное неравенство верно.

Ответ: 6.

Пример 148. (МИОО). Решить сис-

тему неравенств

Решение. Запишем первое неравенство системы в следующем виде

которое определено на множестве

(0;0,2) (0,2;1) (1; ).

ложительны и меньше единицы, а на интервале (1; ) – больше единицы, то

есть log5x x2 0. По неравенству между

средним арифметическим и средним геометрическим имеем

Значит, с учетом условия получаем уравнение log5x x2 1, которое в области до-

пустимых значений переменной первого неравенства системы имеет корень x 5.

Неравенство с дополнительным условием

Рассмотрим неравенство с дополнительным условием, которое косвенно задает систему неравенств.

Пример 149. Все решения неравенст-

промежутку [ 3;3].

Решение. Для решения данного неравенства воспользуемся методом интервалов.

1.Пусть f (x) 2x2 11x 15. 2x 6

2.D(f ) ( ;log2 6) (log2 6; ).

3.Найдем нули функции f (x).

4.Сравним число log2 6 с числами 2,5

и3, и затем определим (см. рис. 31) про-

межутки знакопостоянства функции f (x):

log2 6 log2 8 3

и так как справедлива цепочка сравнений

то log2 6 2,5 .

Следовательно, решения данного неравенства – множество чисел ( ;2,5) (log2 6;3), из которых определяем числа, принадлежащие промежутку

[ 3;3]: [ 3;2,5) (log2 6;3).

Ответ: [ 3;2,5) (log2 6;3).

Пример 150. Укажите все решения

исходное неравенство приводится к виду

Отсюда получаем решение для второго

случая: 1 x 1log2 25 . 3 3

Таким образом, имеем решения ис-

x 1,5 0, которое выполняется при

x0,5

x(0,5;1,5]. Итак, область определения

функции D(y) 0 (0,5;1,5].

Рассмотрим систему неравенств, в которой из множества ее решений необходимо отобрать решения, удовлетворяющие дополнительному условию.

Пример 151. Найти сумму целых решений системы неравенств

Решение. 1. Множество решений первого неравенства системы было получено при рассмотрении примера 39:

( 7; 6) [ 3;0) (0;1) (1; 4].

2. Второе неравенство системы определено при условиях

Преобразуем это неравенство

log 2 5 0.

x9

Последнее неравенство выполняется при x2 1, то есть на всей области определения второго неравенства системы.

3. Получаем решения исходной систе-

мы неравенств ( 7; 6) [ 3; 1) (1; 4],

содержащие целые решения –3, –2, 2, 3, 4. Сумма целых решений системы равна

4.

Ответ. 4.

1. a 8 и b 9 ; 2. a 6 и b 7 ; 7 7 11 11

3. a 6 и b 7 ; 4. a 13 и b 13 ;

119129

9.a 0,513 и b 0,713 ;

10.a 0,510 и b 0,520 ;

11.a 1415 и b 425 ;

12.a (22)100 и b 849 ;

3

15.a 350 и b 630 ; 16. a 352 и b 439 .

17. a 25 и b 19 ;

22.a 6 5 и b 8 7 ;

23.a 7 6 и b 12 10 ;

24.a 3 17 и b 5 15 .

25. a log0,5 5 и b log0,5 6;

911

26.a log2 13 и b log2 15 ;

27.a log8 5 и b log6 5;

28. а) a log0,5 5 и b log0,6 6;