C3

выражения имеют смысл при выполнении условий:

Из системы получаем значения

x ( 7; 6) ( 6; 0) (0;1) (1; ).

Так как при допустимых значениях переменной x по свойствам логарифма справедливы равенства:

то исходное неравенство приводится к виду

2logx 7 | x | logx 7 (x 12)

logx 7 x2 logx 7 (x 12).

Последнее неравенство равносильно совокупности двух систем на множестве

( 7; 6) ( 6; 0) (0;1) (1; ) :

(x 4)(x 3) 0

С учетом области определения данного неравенства

( 7; 6) ( 6; 0) (0;1) (1; )

получаем ответ.

Ответ. ( 7; 6) [ 3;0) (0;1) (1; 4].

Неравенства, содержащие выражения с модулями

Приведем некоторые стандартные схемы для решения неравенств с модулями, которые опираются на определение модуля, его геометрический смысл и свойства.

Пример 40. Решить неравенство

x7 4x5 x2 2x 3

x7 4x5 x2 2x 3.

Решение. Используя схему (20) получаем, что данное неравенство равносильно системе неравенств

или после приведения подобных членов

0 x 1.

Ответ: 0 x 1.

Пример 41. Решить неравенство

Решение. Данное неравенство равносильно следующему

log3 (2x 1) 1 log9 (2x 1).

Используя схему (23), получаем, что это неравенство, а значит и исходное, равносильно совокупности неравенств

Отсюда получаем ответ.

Ответ: 1 x 4 , x 39 1. 2 9 2

Пример 42. Решите неравенство

|2x x 2| 1 2x x 1.

Решение. Используя схему (22), получаем, что данное неравенство равносильно совокупности неравенств

Используя схемы (20) и (22), получаем, что эта совокупность равносильна следующей.

Ответ: ( ; 0) (0;1) (1; ).

Значит все значения x (0;1] – решения системы (I).

Найдем решение системы (II). Для неравенства (3), используя решение (1), имеем:

Для неравенства (4), используя решение (2) и учитывая ограничения

Значит все значения x [2; 3) – решения системы (II).

Объединяя решения систем (I) и (II), получаем ответ.

Ответ: (0;1] [2;3].

3.2. Метод замены

Если неравенство F(x) 0 приводится к виду f g(x) 0, то можно ввести но-

вую переменную g(x) a , решить неравенство f (a) 0 относительно переменной а и затем решить полученные неравенства с первоначальной переменной х.

Замена рациональных выражений

Пример 44. Решить неравенство

Используя метод интервалов в последнем неравенстве, находим его решения

полученные решения с найденными выше, записываем ответ.

Ответ: x 5; 1 6 x 1 21 ; 2

0 x 1; 1 6 x 1 21 . 2

Иногда при решении неравенств полезно вводить две новых переменных.

Пример 45. (Тренировочная работа МИОО, ЕГЭ 2011). Решить неравенство

Решение. Входящие в неравенство выражения имеют смысл при x 2 и x 3.

При всех остальных значениях x неравенство равносильно следующему

2(x 3)2 (x 1)2 2(x 2)2 (x 1)2

2x2 x 5 (x2 4x 3) (x2 3x 2) .

Пусть x2 4x 3 u и x2 3x 2 v. Тогда последнее неравенство примет вид

гда получаем рациональное неравенство

Решая последнее неравенство методом интервалов (см. рис. 11), получаем:

Ответ: [0;1] (4;16].

Пример 47. (МИОО, 2009). Решить неравенство

t 0, тогда получаем систему неравенств

Замена выражений с модулями

Пример 48. Решить неравенство

x2 4| x| 3 0.

Решение. Обозначим | x | a, тогда

исходного неравенства x 3, 1 x 1, x 3.

Ответ: x 3, 1 x 1, x 3.

Пример 49. (МГУ, 1997). Решить не-

равенство

16| x 1| 1 3. 3| x 1| 1

Решение. После введения новой переменной | x 1| a получим рациональное

неравенство 16a 1 3, которое приво- 3a 1

дится к виду 7a 4 0. Применяя к по- 3a 1

следнему неравенству метод интервалов,

имеем 1 a 4 . Отсюда получаем

Первое неравенство системы выполняется при всех действительных значениях х. Второе неравенство системы равносильно двойному неравенству

4 x 1 4 ; 11 x 3 . 7 7 7 7

Ответ: 11 x 3 . 7 7

Замена показательных выражений

Пример 50. Решить неравенство

2 3x 1 6 3x 1 3x 9

Решение. Введем обозначение

3x 1 a, тогда данное неравенство будет иметь вид

2 9a 6a 3a 9; 9a 9; a 1.

Выполняя обратную замену, получим:

3x 1 1; 3x 1 30 (основание 3 1); x 1 0; x 1.

Ответ: ( ;1].

Пример 51. Решить неравенство

52x2 6 5(x 2)(x 1) 24 52(x 2) 0.

52x2 6 5x2 x 2 24 52x 4 0.

Учитывая, что 52x 4 0 при любом значении x, разделим обе части неравенства на 52x 4 :

52x2 2x 10 5x2 x 6 24 0.

Пусть 5x2 x 5 t, где t 0. Тогда получим квадратное неравенство

5(t 5)(t 4,8) 0 .

Учитывая, что t 0, получаем 0 t 5. Переходя к переменной x , получим

неравенство 0 5x2 x 5 5. Неравенство

0 5x2 x 5 справедливо при всех значениях x, а неравенство

лучим 2 x 3.

Ответ: [ 2;3].

Пример 52. Решить неравенство

3 22x 1 5 6x 2 32x 1 .

Решение. Запишем неравенство в виде

6 22x 5 2x 3x 6 32x 0.

Полученное неравенство имеет вид

t a2 f (x) p af (x) bg(x) q b2g(x) 0,

где t, p, q – фиксированные действительные числа. Общий метод решения неравенств такого вида состоит в делении

2 x

Положим t , где t 0. В итоге по-

3

лучим квадратичное неравенство

Отсюда с учетом условия t 0 получаем

t 2 . 3

Выполняя обратную замену, получим

Решение. В соответствии с определением логарифма, входящие в неравенство выражения имеют смысл при выполнении условий:

Сделаем замену 7 x2 t. Так как неравенство x2 0 выполняется при всех значениях x, то по свойству степени с основанием больше единицы получаем 0 7 x2 70 1. Отсюда 0 t 1. С учетом последнего неравенства, запишем полученную выше систему

0 t 1

Исходное неравенство с переменной t будет иметь вид

log5 (49t 1)2 , где 0 t 7 16.

Используя свойство логарифма (при допустимых значениях переменной сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения), получим

(t 5)2 (49t 1)2 ,

так как (t 5)2 0 и (49t 1)2 0 при

0 t 7 16. Решим последнее неравенство:

(t 5) (49t 1) (t 5) (49t 1) 0

Замена логарифмических выражений

Пример 54. Решить неравенство

или 1 a 3. Перейдем к решению простейших неравенств lg x 2 или1 lg x 3. Так как логарифм определен для положительных чисел, то имеем

0 x 0,01 или 0,1 x 1000.

Ответ. (0;0,01) (0,1;1000].

Пример 55. Решить неравенство

5log52 x xlog5 x 10.

|a | 1; 1 a 1.

Выполняя обратную замену, получим:

1 log5 x 1;

Пример 56. (МФТИ, 2009). Решить неравенство

|log2(4x 4) logx 1 2| 5.

Решение. Область определения данного неравенства определяется условиями

Так как при допустимых значениях x справедливо равенство

то, сделав замену log2(x 1) t, получим неравенство

Полагая t 1 u , получим неравенст- t

во | u 2 | | u 2 | 5.

Используем геометрический способ решения последнего неравенства (см. раздел «Геометрические методы решения»). Расстояние между точками –2 и 2 меньше 5, поэтому для каждой из точек отрезка [ 2;2] сумма расстояний до точек –2 и 2 меньше 5. Рассмотрим точки справа и слева от отрезка [ 2;2]. Для точки, лежащей правее точки 2, сумма расстояний от точек –2 и 2 складывается из длины отрезка [ 2;2] и удвоенного расстояния от этой точки до точки 2. Искомые точки находятся правее точки 2 на расстоянии меньше (5 4) :2 0,5. Аналогично искомые точки находятся слева от точки –2 на расстоянии меньше 0,5. Следовательно,

| u 2 | | u 2 | 5 2,5 u 2,5

|u | 2,5.

Тогда

t|t |

2|t |2 5|t | 2 0 0,5 |t | 2.

Отсюда 0,5 |log2(x 1)| 2.

Последнее неравенство равносильно совокупности двух неравенств