Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тверской Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

C3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.05.2015

Размер:

1.88 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Решение неравенств с одной переменной

7. Системы неравенств

Для решения системы неравенств с одной переменной к каждому неравенству применяют те же методы, которые были рассмотрены выше.

Системы рациональных неравенств

Пример 126. (Диагностическая ра-

бота 24.01.13. ЕГЭ-2013). Решить сис-

тему неравенств:

		2			0,5x			5	2	2,	(1)

	0,5x				0,5x

			5 1					5 3
		2		x 4		2	25
									.		(2)


			2				4
x 4

Решение. Решим первое неравенство

2	0,5x	5	2	2.
				2.
0,5x 5 1	0,5x	5 3

Пусть 0,5x5 1 t. Тогда неравенство примет вид:

2 t 1 2 2 t 1 2 0 t t 2 t t 2

2(t 2) t(t 1) 2t(t 2) 0 t(t 2)

t2 5t 4 0 (t 4)(t 1) 0

t(t 2)

0 t 1,2 t 4.

Выполнив обратную замену, получим:

		2	x	4		,
	5 1 1,		x
		5	5

0 0,5x
0 0,5x		6
2 0,5x	5 1 4
2 0,5x	5 1 4
			x 2		5.

		5
		5

Решим второе неравенство исходной системы.

2				x 4 2						25

					2					4
x 4					2					4
	5		2					x 4					5
			x 4
2			x 4						2			2
		2					x 4					5		,


						2						2
x 4						2					5	2
		2					x 4				5	.
						2					2	.
	x 4					2					2

Решим первое неравенство полученной системы:

		2		x 4			5
		x 4
		x 4	2		2
	(x 4)		2 5(x 4) 4
								0
								0
			2(x 4)
x2		3x				x(x 3)
			0						0
2(x 4)			0						0
2(x 4)						2(x 4)

0 x 3,x 4.

Решим второе неравенство полученной системы:

	2					x 4			5
			x 4
			x 4		2		2
		(x 4)		2 5(x 4) 4
										0
				2(x 4)						0
				2(x 4)
x2	13x 40						(x 5)(x 8)
				0							0
	2(x 4)			0							0
	2(x 4)							2(x 4)

x 4,

5 x 8.

Пересекая	множества	решений
[0;3] (4; )	и ( ;4) [5;8], получа-

ем множество решений второго неравенства исходной системы [0;3] [5;8].

	Так					как		0		2		4		6					36
																		5
										5		5		5
										5		5		5

		45		3, а 4 2													5, то
		45									5		20		25
	5										5		20		25
	5
пересекая								множества								решений
	2				4		6
	2		;		4		6		;2	5			системы					(1) и


	5				5		5
	5				5		5

[0;3] [5;8] системы (2) с учетом выполненных оценок, получим, что решениями данной в условии системы неравенств являются все значения

	2		4	6
x		;			;3 .

	5		5	5
	5		5	5

	2		4	6
Ответ.		;			;3 .

	5		5	5
	5		5	5

9.09.2013. www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Решение неравенств с одной переменной

Системы рациональных и показательных неравенств

Пример 127. (Диагностическая ра-

бота 22.11.12. ЕГЭ 2013). Решить сис-

тему неравенств:

	x		x		11,	(1)
3		10 3

2x2 5x				x.		(2)

		x 3

Решение. Решим первое неравенство

3x 10 3 x 11.

Пусть 3x t , где t 0. Тогда неравенство примет вид

t 10 11 0 t2 11t 10 0

(t 1)(t 10) 0. t

Сучетом условия t 0 получаем зна-

чения t [1;10].

Выполнив обратную замену, получим:

3x 1,

3x 10 0 x log310.

Решим второе неравенство системы.


2x2 5x			x		2x2 5x		x 0
x 3					x 3

	x2	2x		0		x(x 2)		0
	x 3					x 3

x 0,

2 x 3.

Заметим, что		2 log3 9 log310
log3	27 3. Пересекая множества реше-
ний	[0;log310]	системы	(1)	и

( ;0] [2;3) системы (2) с учетом выполненных оценок, получим, что решениями данной в условии системы неравенств являются все значения x {0} [2;log310].

Ответ. {0} [2;log310].

Пример 128. (Диагностическая ра-

бота 18.12.12. ЕГЭ 2013). Решить сис-

тему неравенств:

	2						5x 1 2
													2,										(1)
	x 1	1						x 1					2,										(1)
5		1			5						3
																	2						2
					2									25x			2	40x				7

																								4 (2)

		2
	25x 40x 7																		2
	25x 40x 7																		2
	Решение. Решим первое неравенство
											2					5x 1			2	2.
									5x 1			1				5x 1			3	2.
									5x 1			1				5x 1			3
	Пусть							5x 1 1 t .										Тогда				неравенство
примет вид
			2			t 1				2					2				t 1		2 0
										2											2 0
				t		t 2										t			t 2
					2(t 2) t(t 1) 2t(t 2)																			0
																								0
													t(t 2)
				t	2 5t 4													(t 4)(t 1)
													0												0
					t(t 2)								0						t(t 2)						0
					t(t 2)														t(t 2)

0 t 1,2 t 4.

Выполнив обратную замену, получим:

				1			x	2
0 5x 1 1 1,					5					,
0 5x 1 1 1,				5	5					,
				5					5
2 5x 1 1 4				3	5		x	1
				5	5			1
				5
						2
1 x log5								,
1 x log5						5		,
		3				5

			x 0.
log	5
log	5	5
		5

Решим второе неравенство системы.

								2			2
			2			25x		2	40x 7			4


25x		2	40x 7						2
25x			40x 7						2
									2				2
									2
					2		25x 40x 7
					2		25x 40x 7						0.
	25x			2									0.
	25x				40x 7					2

Замечаем, что полученное неравенство справедливо при всех значениях x кроме тех, при которых 25x2 40x 7 0, т.е.

x	7	и x	1	.

5		5				3		1
Сравним числа log							и		. Имеем
					5 5		5

9.09.2013. www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Решение неравенств с одной переменной

log		3		1	log		3	log		1
	5 5					5	5		5
			5							5	5

				3		1		35					54 243 625.
								35					54 243 625.
			5			5 5					3					1
	Отсюда						log				3					1	.		Заметим,		что
	Отсюда						log		5	5							.		Заметим,		что
	7								5	5					5
	7	1.
		1.
5
	Пересекая										множества									решений
					2							3						системы (1) и
1;log5						log5								;0
1;log5						log5						5		;0
					5							5
			7					7					1						1		сис-
;										;										;
;			5					5		;									5	;
			5					5					5						5

темы (2) с учетом выполненных оценок, получим, что решениями данной в условии системы неравенств являются все значения

			2				3				1			1
x	1;log5				log5				;							; 0		.
x	1;log5				log5		5		;		5			5		; 0		.
			5				5				5			5
													Ответ:
				2				3				1			1
		1;log5				log	5			;							; 0 .
		1;log5		5		log	5	5		;		5			5		; 0 .
				5				5				5			5

Системы показательных неравенств

Некоторые показательные неравенства удается решить, используя свойства возрастания и убывания показательной функции. Иногда предлагают показательные неравенства, которые введением новой переменной удается свести к алгебраическому неравенству. В большинстве случаев предложенные показательные неравенства определены при всех действительных значениях переменной.

Пример 129. Решить систему неравенств

	3 4x		32 2 4x
8		0,125		,

9x2 x 12 3x2	5 32x 2 0.

Решение. 1. Решим первое неравенство системы:

	3 4x				32				2 4x
8		0,125
8		0,125
							2
	3		3 4x		3			25			2 4x
	(2 )			2
	(2 )			2						0,5
										0,5
						2
	26 12x 29 18x
6 12x 9 18x										x			1	.
6 12x 9 18x										x				.
												2

2. Решим второе неравенство системы. При делении обеих его частей на 32x 0,

получим 32x2 4x 12 3x	2 2x 45 0	или
a2 12a 45 0, где a	3x2 2x .
Находим решения квадратного		нера-

венства 15 a 3. Учитывая, что a 0, получаем 0 a 3.

Теперь решаем двойное неравенство

03x2 2x 3 3x2 2x 3 x2 2x 1

1 2 x 1 2.

3.Теперь запишем решение системы,

учитывая, что 1 2 1 1 2 :

	1			2
	1
x			,						1
	2					x
					1 2					.

									2

		2 x 1		2
1		2 x 1		2
				Ответ: 1				x			1	.
							2				1
							2
										2

Системы рациональных и логарифмических неравенств

Пример 130. Решить систему неравенств

				x	2	x	1
log 2			1					1,

				2		4	2
		x
			4
	2	3x 2 0.
x

Решение. Рассмотрим первое неравенство. Возможны два случая.

1. Если 0 x2 1 1 3 x 3 , 4 2 2

то в этом случае исходное неравенство равносильно системе неравенств:

9.09.2013. www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Решение неравенств с одной переменной

	x	2		x		1	0,
	x			x		1					2	x 2 0,
	2										2
	2		4		2					2x

x		2		x 1				2	1		2	x 1 0.
x				x 1			x	2	1	2x		x 1 0.


2			4		2				4

Решением этой системы неравенств является множество ( ; 0,5] [1; ).

С учетом полученного ранее условия

				3			1
находим все значения x
					;				.
				2	2
	1							, то в
2. Если x2		1, т.е.	\| x \|			3
					2
4

этом случае исходное неравенство равносильно неравенству:

	x2		x		1	x2	1	.
	2
		4		2		4
Отсюда	находим					все			значения

x [ 0,5;1]. С учетом полученного ранее

условия получаем значения x ;1 .

Объединим полученные решения:

3		1	3
	;			;1 .

2	2		2

Рассмотрим второе неравенство. Решением неравенства является множество:

	3	17	3	17
;					; .
;					; .
	2			2
	2			2

Чтобы найти решения исходной системы неравенств, заметим, что:

3 17 3 16 7 1;


2			2				2
	3		3						1		.
	3	17	3		16				1
2			2
2			2				2
				и		3				.
Сравним числа			3			3		17
Сравним числа

3 3 17 3 3 17 2 2

(прибавим к обеим числам 3 17 )

17 3 3 17 12 63

5 63.

Так как 3 1, то

6 3 5 и тогда

3 3 17 . 2 2

Следовательно, решением данной в условии системы является множество:

3 3		17
	;		.
	;		.
2		2
2		2

3 3 17

Ответ:

;

Пример 131. (ЕГЭ 2013). Решить

систему неравенств:

x 6

log4 x

(1)

(x 4)

40x2 2x 10

(2)

x 5

Решение. Решим первое неравенство

системы:

x 6

log

4 x (x 4)6

log

x 6

log

(4 x)6

4 x (x 4)6

4 x

log

4 x

(x 6)(4 x)6

(x 4)6

log4 x (x 6) 0

4 x 1

x 3

x 6 1

x 5

3 x 4

0 4 x 1

0 x 6 1

6 x 5

5 x 3.

Решим второе неравенство системы:

x3 9x2

40x2 2x 10

2 0

x 5

x4 4x3

5x2

x2(x2

4x 5)

x 5

x2(x 5)(x 1)

x 5,

x 0, .

x 5

1 x 5.

Пересекая множества решений [ 5;3)

системы (1) и ( ; 5] {0} [1;5) сис-

темы (2), получим, что решениями данной в условии системы неравенств являются все значения x { 5} {0} [1;3).

9.09.2013. www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Решение неравенств с одной переменной

Ответ. { 5} {0} [1;3).

Системы показательных и логарифмических неравенств

При решении систем показательных и логарифмических неравенств следует учитывать комментарии, которые были сделаны выше.

Пример 132. (МИОО). Решить сис-

8x 8 4x 1 2x 1,

тему неравенств

logx 1 7 2.

Решение. Решим первое неравенство системы

8x 4x 1 8 2x 1 0

4x (2x 4) 2(2x 4) 0

(4x 2)(2x 4) 0

(4x 40,5 )(2x 22 ) 0

x 0,5

(x 0,5)(x 2) 0 x 2.

Второе неравенство системы равносильно совокупности двух систем неравенств.

x 2

x 1 1

7 x 1 7

(x 1)2

0 x 1 1

1 x 2

x 1

(x 1)2

x 1

2 x 1

	2 t4 t 87						2						2 t4 t 87									2 0
	t4 3						2								t4				3			2 0
	t4 3														t4				3
		t 81	0												t 81									0
		t4 3
									(t2							3)(t2						3)
									(t2							3)(t2						3)
			t 81														0 t 4
			t 81														0 t 4						3,
									0
			t2
								3
								3										t 81.

														x			4								1
														x			4								1
Отсюда получаем											3								3;		t					,
											3			x					3;		t				4	,
														x											4
															81						t		4.
											3				81						t		4.
	Рассмотрим второе неравенство. Пусть
log2 (x 4) a. Тогда имеем
		a2 4a 3 0 1 a 3.
	Отсюда					получаем											1 log2 (x 4) 3
или 2 x 4 8 2 x 4 .
	В итоге получаем, что решение исход-
ной системы есть множество:
												1
								2;						{4}.
								2;						{4}.
												4
											Ответ:												1		{4}.
																				2;
																				2;
																							4
	Пример 134. Решить систему нера-
				x		2 5				x		3,								(1)
		25				2 5						3,								(1)
венств					2			x log2						x 2.						(2)
		log			2			x log2						x 2.						(2)

					3							3

Решение. 1. Неравенство (1) данной системы запишем в виде

(5x )2 2 5x 3 0.

Пусть 5x t , где t 0. Тогда нера-

так как 1 7 1 и 2 1 7 (докажите самостоятельно).

Решением исходной системы является множество (2;1 7) .

Ответ: (2;1 7) .

Пример 133. Решить систему неравенств

x		x
2 81	3		87	2,	(1)


81x 3

log22(x 4) 4log2(x 4) 3 0. (2)

Решение. Рассмотрим первое неравенство. Пусть 3x t , где t 0. Тогда имеем

венство	примет	вид: t2 2t 3 0	или
(t 3)(t	1) 0.	Отсюда с учетом	нера-

венства t 0 получаем t 3. Выполняя обратную замену, имеем

5x 3 5x 5log 53 x log5 3.

2. Второе неравенство системы запишем в виде log22 x log2 x 2 0.

3 3

Пусть	log2 x a. Тогда			неравенство
		3
примет	вид:		a2 a 2 0		или
(a 1)(a 2) 0.			Отсюда	получаем

2 a 1.

9.09.2013. www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Решение неравенств с одной переменной

Выполняя обратную			замену,	имеем
2 log2		x 1. Отсюда	с учетом	того,
	3

что основание логарифмической функции

меньше 1, получаем 2 x 9 . 3 4

3. Так как 0 log5 1 log5 3 log5 5 1,

то для получения ответа необходимо

сравнить числа log5 3 и										2		.
сравнить числа log5 3 и												.
									3
	Так		как			2			2								,	а
						2		log5	5		3	log5			3	25
				3				log5	5		3	log5			3	25
				3
log5 3 log5				3			, то				из		неравенства
log5 3 log5				3	27		, то				из		неравенства
3		3		следует log5								3		log5			3
3	27	3	25	следует log5								3	27	log5			3	25

и2 log5 3.

Следовательно, решениями данной системы неравенств являются все значе-

					9
ния	x	log	5	3;		.
ния	x	log	5	3;	4	.
					4

Ответ: log5 3; 9 .

Пример 135. Решить систему нера-

log7 x (x 2) log7 x (3 x),

венств

32 9x 60 3x 7.

Решение. 1. Для решения неравенства log7 x(x 2) log7 x(3 x) системы рас-

смотрим два случая.

Пусть 7 x 1, т.е. x 6. Тогда рассматриваемое неравенство будет равносильно следующему двойному неравен-


ству	0 x 2 3 x.			Отсюда получаем
2 x		1	с учетом x 6.
2 x			с учетом x 6.
	2
Пусть 0 7 x 1,				т.е. 6 x 7 . То-
гда	рассматриваемое			неравенство будет

равносильно следующему двойному неравенству x 2 3 x 0. Отсюда полу-

чаем 1 x 3, что не удовлетворяет не- 2

равенству 6 x 7 . Следовательно, в этом случае решений нет.

Получили, что данное неравенство

имеет решение 2 x 1 . 2

2. Неравенство 32 9x 60 3x 7 системы запишем в виде

32 (3x )2 60 3x 7 0.

		Пусть						3x			t ,				где t					0. Тогда																нера-
венство						примет										вид:							32t2 60t 7 0
						1								7
или t									t						0. Отсюда с учетом
или t									t						0. Отсюда с учетом
						8								4
неравенства t 0															получаем												1	t								7	.
неравенства t 0															получаем													t									.
																								8											4
		Выполняя										обратную													замену,										имеем
	1	3x			7			или log									1	x log												7			.
8		3x			4			или log								3 8		x log											3	4			.
8					4											3 8					1								3	4				7
	3. Сравним числа log3																				1				и log3									7		с чис-
							1													8										4
лами 2,							1			.
лами 2,										.
					2															1											1
Имеем 0 log													3	1 log					3	1			log						3		1	2, а
Имеем 0 log														1 log						8			log							9		2, а
																				8										9
			7																							1		.
log3				log3								49			log3																Следова-
												49										3
											16											3
4											16													2

тельно, решение системы неравенств есть

			1		1
множество	log	3		;		.
множество	log	3	8	;	2	.
			8		2

9.09.2013. www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Решение неравенств с одной переменной

Ответ: log3

;

8 2

Пример 136. Решить систему нера-

log

2x 1

венств

3 12

4 9

Решение. 1. Для решения неравенства

log

2x 1

1 системы рассмотрим два

2x 1

случая.

Пусть

2x 1 1,

т.е.

x 1.

Тогда

2x 1 0 и

log

x4 2

2x 1

2 (2x 1)(2x 1).

Из неравенства

x4 4x2 3 0, полу-

чаем

учетом

условия

x 1

имеем x

0,5 x 1.

Пусть

0 2x 1 1, т.е.

Тогда 2x 1 0 и

log

x4 2

1 0

2x 1

2x 1 2x 1

2x 1

x4 4x2 3 0 1 x2 3.

Сучетом условия 0,5 x 1 получа-

ем, что во втором случае решений нет. Следовательно, решением первого не-

равенства данной в условии системы яв-

ляется множество [3; ).

2. Неравенство 16x 3 12x 4 9x 0 системы запишем в виде

16x		12x						4		2x		4	x
	3				4 0					3			4 0.
9x	3		9x		4 0					3			4 0.
9x			9x				3					3
					4 x
	Пусть					t , где t				0. Тогда нера-
	Пусть					t , где t				0. Тогда нера-
				3
венство примет							вид:		t2 3t 4 0 или
(t 4)(t 1) 0.							Отсюда с учетом нера-
венства t				0		получаем 0 t					4.
	Выполняя					обратную				замену,			имеем
	4	x
0				4. Отсюда x log4 4.
0				4. Отсюда x log4 4.
	3
	3										3

3. Сравним числа log4		4 и 3. Так как
	3

log4 4 log4

то log4

Следовательно, решение системы нера-

венств есть множество

3; log4

4 .

Ответ:

3; log4 4 .

Пример 137. (ЕГЭ 2013). Решить

систему неравенств:

12x 36 0,

(1)

logx 1 x

35 2x 4 6 0.

(2)

4x 2

Решение. Решим первое неравенство,

используя метод рационализации:

logx 1 x2 12x 36 0

logx 1 x 6 2

1 0,

(x 1 1) x

x 1 0,

x 1 1,

x 6 0

(x 2)(x 5)(x 7) 0,

1 x 2,

x 1,

5 x 6,

x 2,

6 x 7.

x 6

Решим

второе

неравенство

4x 2 35 2x 4

6 0.

Пусть

2x 2

t ,

где

t 0.

Тогда

неравенство

примет

вид

t 6 0 4t2

35t 24 0. Решая

4t2 35t 24 0,

уравнение

находим

D 352 16 24 841 292 .

Получаем

корни

уравнения t

35 29

Отсюда,

1,2

t 8

и t

Значит, решением нера-

венства 4t2 35t 24 0 являются все

числа t

такие, что

t 8.

Выполняя обратную замену, получаем

9.09.2013. www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Решение неравенств с одной переменной

3		x 2			log2	3		x 2		3		a 5		2a.

	2		8 2			4	2		2				2
4											1
			log2	3	x 2 3								a

											Решим последнее неравенство
				4

2 log2 4 x 5 log2 3 x 5.

Оценим значения 1 log2 2 log2 3

log2 4 2. Пересекая множества реше-

ний (1;2) [5;6) (6;7] системы (1) и

[log2 3;5] системы (2) с учетом выпол-

ненных оценок, получим, что решениями данной в условии системы неравенств являются все значения x [log2 3;2) {5}.

Ответ: [log2 3;2) {5}.

Системы логарифмических неравенств

Некоторые логарифмические неравенства удается решить непосредственно, используя свойства возрастания и убывания логарифмической функции. Иногда используют замену, с помощью которой удается свести данное неравенство к алгебраическому неравенству. При решении логарифмического неравенства необходимо учитывать те значения переменной, при которых определены выражения, содержащие знак логарифма в исходном неравенстве. Кроме того, следует использовать те преобразования неравенства, которые не нарушают равносильности неравенств.

Пример 138. Решить систему неравенств

log2	x 5			2log		x,
					2
		2
1 2logx
							(x 9)11
	9(x	2	12x 27) 12 log9
11log								.

							x 3

Решение. 1. Первое неравенство системы определено при выполнении условий

x 0,		x 0,

x 1,		x 1,
	2 0
1 2logx	2 0	x 4.

После замены log2 x a первое нера-

венство данной системы приводится к виду

a(a 5)		2a 0,	a(a 1)		0,

	a 2			a 2


a 0			a 0

a 1,

0 a 2.

Отсюда с учетом области допустимых значений переменной первого неравенства системы имеем

log2 x 1,		0 x 0,5,
	x 2.
0 log2	x 2.	1 x 4.

2. Значения x, при которых определены обе части второго неравенства системы, задаются условиями

x2 12x 27 0,			(x 3)(x 9) 0,

(x 9)11			(x 9)11
		0			0
				x 3
	x 3

x 3,

x 9.

Область определения данного нера-

венства	–	есть	множество
( ; 3) (9; ).		Для	значений x из

этого множества исходное неравенство приводится к виду:

log9 |(x 3)11 | log9 |(x 9)11 |

12 log9 |(x 9)11 | log9 | x 3|

log9 | (x 3)11 | log9 | x 3| 12

log9 (x 3)12 12

(x 3)12 912 | x 3| 9

6 x 12.

Учитывая, что значения x ( ; 3)(9; ), получим решения второго неравенства системы: [ 6; 3) (9;12].

3. Находим общую часть полученных решений: (0; 0,5] (1;3) .

Ответ: (0; 0,5] (1;3) .

9.09.2013. www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Решение неравенств с одной переменной

Пример 139. Решить систему неравенств

			6		log	5 x log5 x	2	lg x	3	,
1 lg x					log	5 x log5 x		lg x		,

log				x (x2		10x 22) 0.
	log	2
	log	2
				2

Решение. 1. Первое неравенство системы определено при x 0. После преобразований и использования метода рационализации получим

1 6lg x log5 x 2log5 x 3lg x 0

(3lg x 1)(2log5 x 1) 0

(lgx lg 310)(log5 x log5 5) 0

	3	10)(x	5) 0,
(x

x 0.

0 x 3 10,

x 5.

Впроцессе решения квадратного неравенства методом интервалов проведено сравнение чисел

100 125 6102 653 310 5.

2. Для второго неравенства системы найдем область определения, заданную системой неравенств

x2 10x 22 0,

			x
log			x	0,
		2
		2
			2
			x
			x
log		2		1,
log		2		1,
			2
x	0.


2
x (5			3) x (5			3) 0,


x 2,

x 4.

	2 x 5
	2 x 5				3,

	x 5 3.

Второе неравенство исходной системы заменим равносильной ему системой, используя метод рационализации

log2

1 x

10x 22 1 0,

2 x 5

x 5

2 (x 3)(x 7) 0,

2 x 5

x 5

3 x 4,

x 7,

3 x 5 3,

2 x 5 3,

x 7.

x 5

3. Так как 5 3, то решением исходной системы неравенств является объединение двух промежутков:

(3;5 3) (7; ).

Ответ: (3;5 3) (7; ).

Системы неравенств с модулями

Пример 140. (ЕГЭ-2013). Решить систему неравенств:

	4x2 \|x\|	3	\|x\|	1,	(1)
2		3		1,	(1)
					(2)
\|2x 1\| 18x2 5x.					(2)

Решение. Решим первое неравенство системы: 24x2 |x| 3 |x| 1 24x2 |x| 3|x| . Так как обе части неравенства положительны, то логарифмируем их от них по основанию 2.

24x2 |x| 3|x| log2 24x2 |x| log2 3|x|

4x2 | x| | x|log2 3

4x2 | x|(1 log2 3) 0

4x2 | x| log2 2 0 3


				2
\| x\|	4\| x\| log2							0
\| x\|	4\| x\| log2			3				0
				3
0 \| x\|		1	log				2
0 \| x\|			log		2	3
	4				2	3

9.09.2013. www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Решение неравенств с одной переменной

\| x\| 0,				Системы комбинированных
				неравенств
				неравенств
			3
\| x\| log		4	3	Пример 141. (МИОО). Решить сис-
\| x\| log	2	4
	2		2
			2	тему неравенств
				тему неравенств

log		3	x log2		3
		3			3
		4		4
	2	4		4	.		x 2 log5 (x 3) 0,
	2	2			.		x 2 log5 (x 3) 0,
		2			2		x 1		x
Можем записать решение первого не-							x 1	28 3	x	3 0.
Можем записать решение первого не-						9		28 3		3 0.

равенства в виде																						log				2					x log												4		3				.		Решение. Решение системы начнем со
																									2	4															2										второго неравенства.
																										4
																										3																			2
	Решим второе неравенство системы:																																																		Пусть			3x t ,				тогда получим квадрат-
									\|2x 1\| 18x2 5x																																										ное неравенство								9t2 28t 3 0, имею-
	(18x2 5x) 2x 1 18x2																																					5x													щее	решение				t				1			или t		3.	Отсюда
																																									1										щее	решение				t			9				или t		3.	Отсюда
																																									1																		9
												2																						x									,										x		1						x
												2																						x									,										x		1						x
							18x								7x 1 0,																										2										имеем 3				9	или 3							3 и решение вто-
												2																										1																	9
							18x								3x 1 0																							1

																																		x						.											рого				неравенства											системы:
																																						9													( ; 2] [1; ).
	Сравним значения																									log					4			2			и log								4					3	Для решения первого неравенства сис-
	Сравним значения																									log					4		3				и log								4					2	Для решения первого неравенства сис-
																														2			3											2						2	темы рассмотрим функцию
														1									1																				2									f (x)										log5 (x 3),
с числами														1			и						1	.		Так как											0 4						2					1,									x 2
с числами														2			и			9				.		Так как											0 4						3					1,									x 2
														2						9																							3								которая является возрастающей на про-

															2
то							log			2		4			2					0.										Кроме																того					межутке			[ 2; ), как сумма двух воз-
												4		3																																					межутке			[ 2; ), как сумма двух воз-
														3																																					растающих функций.
											1										3						1														1										растающих функций.
log				4	2						1		log								3						1		log						2						1	.									Так как				f ( 2) 0,									то	f (x) 0 для
log		2		4									log						2 2										log				2		2							.									всех	значений							x [ 2; ).							Следова-
		2		3						4									2 2							4							2								4										всех	значений							x [ 2; ).							Следова-
																																																			тельно, решением первого неравенства
Значит								1								1		log2 4										2			0.																				тельно, решением первого неравенства
								1								1												2																							является промежуток [ 2; ).
																4																																			является промежуток [ 2; ).
							2									4										3																									Общим				решением									двух	неравенств
																																	3					1										3			Общим				решением									двух	неравенств
																															4		3					1										3			системы					является									множество
	Заметим,															что										log2					4		2					4log2 2													системы					является									множество
	Заметим,															что										log2							2					4log2 2													{ 2} [1; ).
	1													1		. Значит log																					3			1							1												Ответ: { 2} [1; ).
	1		log			2	2							1																		2	4				3			1							1												Ответ: { 2} [1; ).
	4		log				2							8																			4			2				8					9						Пример 142. (Диагностическая ра-
	4													8																						2				8					9
	Пересекая																			множества																			решений
	Пересекая																			множества																			решений												бота 09.04.13. ЕГЭ-2013). Решить сис-
																																																			бота 09.04.13. ЕГЭ-2013). Решить сис-

	2				3	системы (1) и
log2 4		; log2		4
	3
				2
	1		1			системы (2) с учетом
;				;

	2		9

выполненных оценок, получим, что решениями данной в условии системы неравенств являются все значения

1			3
x		;log2 4		.

	9		2

1			3
Ответ.		;log2 4		.

	9		2

тему неравенств:
(x 3)\| x 3\| \| x 1\| 0,			(1)


	7x 6)	11 x 0.	(2)
(x2	7x 6)	11 x 0.	(2)

Решение. Решим первое неравенство (x 3)| x 3| | x 1| 0, раскрывая модули на промежутках.

Для этого рассмотрим три случая. 1. x 1. Тогда x 3 0, x 1 0 и

(x 3)| x 3| | x 1| 0

(x 3)(3 x) (1 x) 0

x2 57x 10 0.

9.09.2013. www.alexlarin.net

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.04.2019181.46 Кб13bilety_po_filosofii (1).docx
#
27.09.2019151.08 Кб29bilety_po_MK.docx
#
11.09.201951.38 Кб5Bilet_19 Билет 19. ОСОБЕННОСТИ ОБУЧЕНИЯ ИНОСТРАННОМУ ЯЗЫКУ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ..docx
#
28.10.2018126.98 Кб4Buh_otchetnost Понятие бухгалтерской отчетности.doc
#
19.05.20152.58 Mб41C2.pdf
#
19.05.20151.88 Mб53C3.pdf
#
19.05.20152.06 Mб44c4.pdf
#
19.05.20151.68 Mб25C5.pdf
#
19.05.2015962.51 Кб48C6.pdf
#
15.08.2019129.54 Кб5can.doc
#
19.05.2015254.46 Кб14Chapter 1.doc