C3

Из свойств функции y logx a следу-

ют такие правила.

●Если a 1 и M N 1, то logM a logN a.

●Если a 1 и 0 N M 1, то

logM a logN a.

●Если 0 a 1 и N M 1, то logM a logN a.

●Если 0 a 1 и 0 M N 1, то logM a logN a.

Пример 16. Сравнить числа:

а) log2 5 и log2 ; б) log0,5 20 и log0,5 7; в) log2 3 и log4 5.

Решение. а) Так как 5 и основание 2 1, то по свойству логарифмов имеем log2 5 log2 .

б) Основание логарифмов 0 0,5 1 и

20 7. Поэтому log0,5 20 log0,5 7.

в) Так как log4 5 log2 5 и 3 5 , то по свойству возрастающей функции

log3 7.

Решение. Подберем «хорошее» число такое, которое больше одного логарифма

(удвоим) данные числа.

Имеем 2log2 3 log2 9 и 3 log2 9 4.

Аналогично, 2log5 8 log5 64 и 2 log5 64 3. Отсюда следует, что

почка неравенств log4 9 log5 9 log5 8,

то log2 3 log5 8.

Ответ: log2 3 log5 8.

Пример 19. Сравнить числа:

а) log0,5 5 и log2 5; б) log0,5 7 и log0,8 7;

в) log3 0,6 и log5 0,6.

ет отрицательные значения и является возрастающей, то на этом же промежутке

log0,5 7 log0,8 7.

Либо сразу определяем по правилу:

б) log0,5 7 log0,8 7; в) log3 0,6 log5 0,6.

Пример 20. Сравнить числа: log1112

и log1213.

Решение. Числа log1112 и log12 13

близки друг к другу и подобрать «хорошее» число, разделяющее их, трудно.

Так как данные числа больше единицы, то «выделим» из каждого числа единицу следующим образом:

и log1213 log1112.

Замечание. «Выделение» единицы из данных чисел можно заменить вычитанием из каждого числа единицы:

12 log11 12 1 log11 12 log11 11 log11 11 ,

13 log12 13 1 log12 13 log12 12 log12 12 .

Ответ: log1213 log1112.

Пример 21. Сравнить числа: log2 3 и log3 4.

Решение. (1-й способ). Так как число log2 3 положительное, то проведем равносильные преобразования над обеими частями сравнения

2

log2 3 log3 4 log2 3 log2 3

(log2 3)2 2 log2 3 2.

Из следующей цепочки сравнений

log2 3 log2 9 log2 81,5 2,25 2

получаем, что log2 3 log3 4.

Решение (2-й способ). Используем неравенство Коши:

1.7. Сравнение выражений разного вида

При сравнении выражений разного вида используют выше приведенные методы.

Пример 22. Сравнить числа: 15 и

2log12 145.

Пример 23. Сравнить числа: log2 11 и

2 3 .

Решение. Так как 3 2,25 1,5, то

2 3 3,5 log2 (82) log2 (8 1,4)

log2(11,2) log2 11.

Ответ: 2 3 log2 11.

Пример 24. Сравнить числа: log2 11 и

2 2.

Решение. Рассмотрим цепочку сравнений:

2. Область определения выражения (функции)

В данном пункте ограничимся нахождением области определения логарифмических выражений.

Отметим, что решение логарифмических неравенств включает в себя нахождение области определения данного неравенства или по-другому области допустимых значений (ОДЗ) неизвестной неравенства, поэтому напомним, что:

а) выражение loga f (x), где a – по-

стоянное положительное число, не равное 1 (a 0, a 1), определено при всех x, принадлежащих множеству решений неравенства f (x) 0;

б) выражение logg(x) f (x) определено

при всех x, принадлежащих множеству решений системы неравенств

g(x) 0,

g(x) 1,f (x) 0.

Рассмотрим несколько задач.

Пример 25. Найти область определения выражения

log3 2x2 10x 5 log3 2 3x x2 .

Решение. Данная задача сводится к решению следующей системы неравенств

Решение первого неравенства этой системы есть множество

Решение второго неравенства есть мно-

Сравним числа 3 17 и 5 15 . 2 2

3 17 5 15

22

3 17 5 15 8 17 15

(8 17)2 15

81 1617 15 66 1617

33 817 1089 1088.

Пример 26. Найти область определения функции

Решение. Область определения данной функции задается системой неравенств

13

5 x 1,5,

1,5 x 2.

Объединение промежутков ( 5;1,5) и (1,5;2) составляют область определения данного выражения.

Ответ: ( 5;1,5) (1,5;2).

3.Алгебраические методы решения неравенств

Если исходить из определения неравенства, в котором в обеих частях записаны выражения с переменной, то при решении неравенств используют преобразования (возведение в четную или нечетную степень, логарифмирование, потенцирование), позволяющие привести неравенство к более простому виду. В процессе преобразований множество решений исходного неравенства либо не меняется, либо расширяется (можно получить посторонние решения), либо сужается (можно потерять решения). Поэтому важно знать, какие преобразования

неравенства являются равносильными и при каких условиях.

3.1. Сведение неравенства к равносильной системе или совокупности систем

Как правило, преобразования используют для того, чтобы в неравенстве освободиться от знаков корней, от знаков модуля, от степеней, от знаков логарифма.

Поэтому ниже приведены схемы решения некоторых стандартных неравенств определенного вида. При этом отметим, что на практике некоторые цепочки преобразований делают короче, пропуская некоторые очевидные преобразования. Например, вместо длинной цепочки преобразований

2n f (x) 2ng(x), n ,

используют краткую схему решения

f (x) g(x),

2n f (x) 2n g(x), n ,

g(x) 0.

В общем случае, если решение неравенства не укладывается в стандартную схему, ход решения разбивают на несколько логически возможных случаев.

Пример 28. (МИОО, 2009). Решите неравенство

то область допустимых значений переменной x определяется условиями:

Исходное неравенство при полученных ограничениях для переменной x равносильно неравенству

учетом полученных ранее ограничений,

xx

(x 1)(x 3) 0. x

Для решения последнего неравенства используем метод интервалов (см. рис. 2).

Рис. 2

С учетом полученных ранее ограничений записываем ответ.

Ответ: (0;1] {2} [3; 4) (4;5].

Пример 29. (МИЭТ, 2000). Решить неравенство (x 2)2 2(x 1)2x 3.

Решение. Выполняя равносильные преобразования данного неравенства, получим:

x2 2x 1 2(x 1)2x 3 2x 3 0

Замечание. В первых шести схемах используется утверждение: если обе части неравенства неотрицательны, то после возведения их в четную степень получаем равносильное неравенство.

Пример 30. Решить неравенство x 18 2 x.

Решение. Если 2 x 0 или 2 x 0,

то исходное неравенство не выполняется,

так как x 18 0.

Пусть 2 x 0, тогда при возведении обеих частей данного неравенства в квадрат получим на ее области определе-