Глава 5

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ

НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

ЗАДАНИЕ 1

Изобразить область, заданную неравенствами:

Вариант	Область	Вариант	Область
1		2
3		4
5		6
7		8
9		10

ЗАДАНИЕ 2

Найдите область определения функции

Вариант	Функция	Вариант	Функция
1		2
3		4
5		6
7		8
9		10

ЗАДАНИЕ 3

Найдите пределы и.

1. , ;

2. , ;

3. , ;

4. , ;

5. , ;

6. , ;

7. , ;

8. , ;

9. , ;

10. , .

ЗАДАНИЕ 4

Найдите для функциии значение частной производной в указанной точке (M):

1. 2)

3) 4)

5)6)

7)8)

9)10).

ЗАДАНИЕ 5

Найдите частные производные функции . В ответе приведите значения частных производных ,,для данной функциив точкес точностью до двух знаков после запятой:

1. ; 2.;

3. ; 4.;

5. ; 6.;

7.; 8.;

9. ; 10..

ЗАДАНИЕ 6

Найдите все частные производные второго порядка функции . Найдите значения указанной частной производной в указанной точке:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10).

ЗАДАНИЕ 7

Найти все частные производные второго порядка следующих функций.

Доказать, что :

1) ;	2) ;
3) ;	4);
5) ;	6) ;
7) ;	8) ;
9) ;	10) .

ЗАДАНИЕ 8

Найти все частные производные второго порядка следующих функций. Доказать, что :

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) ;
7) ;	8) ;
9) ;	10) .

ЗАДАНИЕ 9

Докажите, что функция удовлетворяет условию

1)

2)

3)4)

5) 6)

7) 8)

9) 10).

ЗАДАНИЕ 10

Дана функция Проверить, удовлетворяет ли она данному уравнению.

№		Уравнение
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

ЗАДАНИЕ 11

Дана функция . Показать, что .

1) ; ;

2) ; ;

3) ; ;

4) ; ;

5) ;

6) ; ;

7) ; ;

8) ; ;

9) ; ;

10); .

ЗАДАНИЕ 12

Найдите du и для функции :

1); 2);

3); 4);

5); 6);

7); 8);

9); 10).

ЗАДАНИЕ 13

Составьте уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением f(x; y; z)=0 в указанной точке :

1);

2);

3);

4);

5);

6);

7);

8);

9);

10).

ЗАДАНИЕ 14

Дана функция и точка M₀(x₀;y₀). С помощью дифференциала вычислить приближенное значение функции в данной точке. Оценить абсолютную погрешность вычислений:

1) ;M₀(1,08;1,94);

2) ; M₀(3,04;3,95);

3) ; M₀(2,98;2)05);

4) ; M₀(1,06;2,92);

5) ; M₀(2,94;1,07);

6) ; M₀(1,96;1,04);

7) ; M₀(0,96;1,95);

8) ; M₀(3,96;1,03);

9) ; M₀(0,97;2,03);

10) ; M₀(­2,98;3,91).

ЗАДАНИЕ 15

Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найдитедля заданных функций .

1) ;

2) ;

1. ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

ЗАДАНИЕ 16

Вычислить производные сложных функций:

1) где

2) где

3) , где,

4) , где;

5) где

6) где;

7) где;

8) где,

9) где,;

10) где;

ЗАДАНИЕ 17

Найдитедля функции, заданной неявно:

1) ; 2);

3) ; 4);

5) ; 6);

7) ; 8);

9) ; 10).

ЗАДАНИЕ 18

Найдите для функции, заданной неявно указанным уравнением:

1) ; 2);

3) ; 4);

5) ; 6);

7) ; 8);

9) ; 10).

ЗАДАНИЕ 19

Продифференцировать: а) сложную функцию; б) функцию заданную неявно:

1. а) ,где ;

б) .

2. а) ,где ;

б) .

3. а) ,где ;

б) .

4. а) ,где ;

б) .

5. а) ,где ;

б) .

6. а) ,где ;

б) .

7. а) ,где ;

б) .

8. а) ,где ;

б) .

9. а) ,где ;

б) .

10. а) ,где ;

б) .

ЗАДАНИЕ 20*

Найдите якобиан заданной системы функций:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10).

ЗАДАНИЕ 21*

Функции независимых переменныхx и y заданы неявно системой уравнений. Найдите ,:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10).

ЗАДАНИЕ 22*

В декартовой прямоугольной системе координат Оxy область (D) задана системой неравенств. Найдите область (G) в системе координат O'uv, в которую перейдет (D) в результате преобразования координат

№ п/п	Неравенства, задающие область (D)	Уравнения преобразования координат
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

ЗАДАНИЕ 23

В декартовой прямоугольной системе координат Оxy область (D) задана системой неравенств. Найдите область (G) в системе координат O'uv , в которую перейдет (D) в результате преобразования координат

№ п/п	Неравенства, задающие область (D)	Уравнения преобразования координат
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

ЗАДАНИЕ 24

Найдите ив точке:

1); 2);

3) ;4) ;

5) ;6) ;

7) ; 8);

9) ; 10).

ЗАДАНИЕ 25

Дана функция , точкаA(x₀,y₀) и вектор . Найдите

1) grad z в точке A; 2) производную в точке A по направлению вектора :

1) ; ; ;

2) ; ; ;

3) ; ; ;

4) ; ; ;

5) ; ; ;

6) ; ; ;

7) ; ; ;

8) ; ; ;

9) ; ; ;

10) ; ; .

ЗАДАНИЕ 26

Дана функция . Найти в точкепроизводную по направлению, градиент функции и его модуль:

1) ,,;

2) ,,;

3) ,,;

4) ,,;

5) ,,;

6) ,,;

7) ,,;

8) ,,;

9) ,,;

10) ,,.

ЗАДАНИЕ 27

Даны функция трех переменных u = f (x, y, z), точка M₀ (x₀; y₀; z₀) и вектор

(а₁, а₂, а₃) . Найдите 1) grad u в точке М₀; 2) производную в точке М₀ по направлению вектора :

1) M₀ (1; -2; 1) ; (-1; 2; 2) ;

2) u = ln|3x² – 2y + z| ; M₀ (1; 1; 0) ; (0; 4; 3) ;

3) M₀ (1; 1; 2) ; (-3; 0; 4) ;

4) M₀ (1; 2; 2) ; (3; 0; -4) ;

5) M₀ (2; 2; 1) ; (1; -2; 2) ;

6) u = ln|10 – x² – y² – z²| ; M₀ (2; 2; 1) ; (-4; 0; 3);

7) M₀ (3; 4; 0) ; (2; -1; 2) ;

8) u = x²y² + x²z² + y²z² ; M₀ (-1; 2; 1) ; (0; 6; 8);

9) M₀ (3; 4; 0) ; (2; 2; -1) ;

10) u = ln|12 – x² – y² + z| ; M₀ (1; 1; -5) ; (3; 0; -4) .