8. Приближённое вычисление значений функций

Идея таких вычислений простая. Пусть известно значение функции в точке , и функция разлагается в окрестности точкив ряд Тейлора. Тогда значение функции в точке, которое надо найти, равно, и принимается. Естественно, мы должны гарантировать, что погрешность такого приближения не превышает заданной величины. Погрешность равна остатку ряда послеn-го члена (или остаточному члену формулы Тейлора), поэтому необходимо строить оценку сверху для (или). При оценкепринципиально отличны два случая. Если остаток - знакочередующийся ряд, топросто оценивается по своему первому члену. Если остаток не является знакочередующимся рядом, то необходимо оценивать всю его сумму. Обычно в этом случае остаток мажорируют сходящейся геометрической прогрессией.

9.Интегрирование функций

Типовой примеры

1. .

►Как мы знаем, интеграл аналитически не берётся. Это специальная функция, называемая интегральным синусом и обозначаемая. Получим разложение этой функции в степенной ряд.,, почленно интегрируем:

.

Ряд сходится к при. Теперь легко вычислить значение этой функции в любой точке. Пусть, например, надо найтис погрешностью.. Ряд знакочередующийся, первый член, меньший, третий, поэтому.◄

2. Найти .

►Этот интеграл берётся аналитически. Надо разложить знаменатель на множители

, разложить подынтегральную функцию на пять простых дробей, найти восемь неопределённых коэффициентов и т.д., и после этого вычислять значение первообразной в начальной и конечной точках. Поступим по другому. Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена и почленно проинтегрируем: ,. Остаток ряда послеn-го члена . Если, достаточно взятьn=2, и . ◄

10. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов

Пусть дана задача Коши: ,

Решение этой задачи в виде ряда Тейлора ищется так. . Первыеn коэффициентов ряда известны из начальных условий, остальные находятся последовательным дифференцированием уравнения.

Типовые примеры

1) .

►Из уравнения находим . Дифференцируем уравнение:. Далее дифференцируем уравнение и находим значение производной в точке:,. Так мы можем вычислить производные любого порядка. Решение задачи Коши:.◄

2) Найти разложение в степенной ряд по степеням решения дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения):при,.

►Решение будем искать в виде ряда Маклорена:

, .

, . Тогда

или ◄

3) Найти решение уравнения при,.

►Решение будем искать в виде ряда, разложенного по степеням :

Коэффициенты инаходим из начальных условий:,. Дважды дифференцируем ряд:Подставляя в дифференциальное уравнение вместоиих разложения, получаем тождество

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , находим:

, ,…,. Поэтому,,,,,,и вообще,. Значит,

◄

4) .

►Находим: Закономерность понятна. Производные порядка 3n-1 и 3n равны нулю, производная порядка 3n+1 равна , поэтому С помощью признака Даламбера легко убедится, что этот ряд сходится при , следовательно, даёт решение задачи Коши на всей числовой оси. ◄