![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •§1. Числовые ряды. Свойства сходящихся рядов
- •§2. Ряды с неотрицательными членами
- •§3. Знакопеременные ряды.
- •3. Свойства сходящихся рядов
- •§5. Функциональные ряды
- •2. Равномерная сходимость функционального ряда
- •3. Свойства равномерно сходящихся рядов
- •1. Теорема о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций
- •2. Теорема о почленном интегрировании равномерно сходящегося ряда
- •3. Теорема о почленном дифференцировании равномерно сходящегося ряда
- •4. Степенные ряды
- •5. Ряд Тейлора
- •6. Разложение в ряд Маклорена элементарных функций
- •7. Решение задач на разложение функций в ряд
- •8. Приближённое вычисление значений функций
- •9.Интегрирование функций
- •10. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов
- •11. Ряды Фурье
- •Вопросы промежуточного контроля
3. Свойства равномерно сходящихся рядов
1. Теорема о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций
Если члены
функционального ряда
- непрерывные функции, и этот ряд
равномерно сходится на отрезке
,
то сумма этого ряда непрерывна на
.
2. Теорема о почленном интегрировании равномерно сходящегося ряда
Пусть члены
функционального ряда непрерывны на
отрезке
,
и ряд равномерно сходится к своей сумме
на этом отрезке:
.
Тогда
,
т.е. интеграл от суммы ряда равен сумме
ряда, составленного из интегралов от
членов равномерно сходящегося ряда.
3. Теорема о почленном дифференцировании равномерно сходящегося ряда
Пусть члены
сходящегося ряда
- дифференцируемые на отрезке
функции, и ряд, составленный из производных
,
равномерно сходится на
.
Тогда ряд
можно почленно дифференцировать, и
,
т.е. производная суммы ряда равна сумме
ряда из производных.
Отметим тонкость, заключённую в этой теореме: для того, чтобы ряд можно было почленно дифференцировать, требуется равномерная сходимость не самого этого ряда, а ряда, составленного из производных его членов.
Эти свойства
равномерно сходящихся рядов мы будем
использовать при изучении степенных
рядов. Однако уже сейчас мы можем сделать
из этих теорем тонкие и важные выводы.
Ряд
- геометрическая прогрессия со знаменателем
,
поэтому его сумма равна
:
.
Мы доказали, что этот ряд равномерно
сходится на любом отрезке
,
целиком лежащем в области сходимости
(-1,1), поэтому его можно почленно
проинтегрировать в пределах от 0 до
:
.
Вычисляя интегралы, получаем
.
Это не только неожиданное и красивое
представление числа
в виде ряда
,
но и удобный способ его вычисления с
любой точностью с простой оценкой
остатка по первому отброшенному члену,
так как получен ряд Лейбницевского
типа.
4. Степенные ряды
Степенным рядом
называется функциональный ряд вида
,
где
– постоянные (коэффициенты ряда),
- фиксированное число (центр сходимости).
Степенной ряд имеет по меньшей мере
одну точку сходимости - точку
.
Все содержательные сведения о степенном ряде содержатся в теореме Абеля.
ТЕОРЕМА Абеля.
Если степенной
ряд сходится в точке
,
то
1) он абсолютно
сходится в любой точке х,
удовлетворяющей неравенству
(т.е. находящейся ближе к точке
,
чем
);
2) он сходится
равномерно на любом отрезке
,
целиком лежащем на интервале
(т.е. на интервале с центром в
радиуса
);
3) если этот ряд
расходится в точке
,
то он расходится в любой точкех,
удовлетворяющей неравенству
(т.е. находящейся дальше от точки
,
чем
).
Радиус сходимости, интервал сходимости и область сходимости степенного ряда
Из теоремы Абеля
следует, что существует такое число R
(возможно,
)
такое, что при
степенной ряд сходится, при
ряд расходится.
Определение
Число R
такое, что при
степенной ряд сходится, при
ряд расходится, называетсярадиусом
сходимости.
Интервал
называетсяинтервалом
сходимости
степенного ряда.
Сходимость ряда
в концевых точках интервала сходимости
должна исследоваться отдельно. В
зависимости от поведения ряда на концах
интервала сходимости область
сходимости
степенного ряда может быть одной из
следующих:
,
,
,
.
Итак, для определения
области сходимости степенного ряда
надо найти его интервал сходимости R,
затем исследовать поведения ряда в
концевых точках интервала сходимости
.
Типовые примеры
1)
.
►Для определения
радиуса сходимости этого ряда целесообразно
применить признак сходимости Дирихле.
Однако этот признак, как и многие другие,
может применяться только к положительному
ряду, поэтому выпишем ряд, состоящий из
абсолютных величин членов исследуемого
ряда:
.
Применяем признак Дирихле:
.
Следовательно,
.
Мы нашли радиус сходимостиR
=3 и интервал
сходимости
.
Исследуем поведение ряда на концах
интервала:
,
ряд сходится.
,
ряд сходится абсолютно. Область сходимости
- интервал [-7,7]. ◄
2)
.
►Ряд из модулей:
,
признак Коши
.
- расходится,
- расходится, область сходимости -
интервал
.◄
3).
►Ряд из модулей:
,
признак Даламбера
.
- сходится условно,
- расходится, область сходимости -
полуинтервал
.◄
4)
.
►Решение такое
же, как в предыдущем примере, однако ряд
будет знакочередующимся в точке х
=5; ответ: область сходимости - полуинтервал
.◄
5)
.
►Ряд из модулей:
,
признак Даламбера
область сходимости - единственная точках=0,
.◄
6)
.
►Ряд из модулей:
,
признак Даламбера
в любой точкех,
область сходимости - вся числовая ось
.◄
Получим формулы,
выражающие радиус
сходимости степенного ряда
через его коэффициенты. Ряд из модулей:
;
применение к этому ряду признака Коши
даёт
.
Применение признака
Даламбера даёт
Итак,
.
Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости.
Почленное интегрирование степенного ряда
Пусть сумма
степенного ряда на области сходимости
равна функции
,
т.е.
.
Тогда для
.
Почленное дифференцирование степенного ряда
Степенной ряд
можно почленно дифференцировать в любой
точке интервала сходимости, и
.
Бесконечная дифференцируемость суммы степенного ряда
Сумма
степенного ряда в любой точке интервала
сходимости имеет производные любого
порядка; эти производные могут быть
получены последовательным почленным
дифференцированием исходного ряда.