§2. Ряды с неотрицательными членами

1. Рассмотрим ряд с действительными членамиили. Такие ряды называютсязнакопостоянными. Если , то. Поэтому достаточно рассмотреть ряды с неотрицательными членами.

ТЕОРЕМА 1. Необходимым и достаточным условием сходимости ряда с неотрицательными членами является ограниченность последовательности его частичных сумм.

Типовой пример

При доказательстве расходимости гармонического ряда мы, по существу, доказали, что последовательность его частичных сумм неограничена. В качестве другого примера прямого применения этого признака рассмотрим ряд Дирихле (или обобщённый гармонический ряд)

.

►Если s<1, то и так как частичные суммынеограничены, то суммыи подавно неограничены, т.е. приs<1 данный ряд расходится. Пусть теперь s>1. Как и для гармонического ряда сгруппируем члены в частичной сумме по степеням числа 2: …+.

Структура каждой скобки: , поэтому(мы воспользовались формулой для частичной суммы геометрической прогрессии). Последовательность ограничена; ряд сходится. Итак, ряд Дирихле сходится при s>1, расходится при s1. Дальше мы дадим более простое доказательство этого факта, основанное на интегральном признаке Коши. ◄

ТЕОРЕМА 2 (признак сравнения). Пусть даны два ряда с неотрицательными членами. Обозначим их и. Если существует номерN такой, что , то из сходимости рядаB следует сходимость ряда A, а из расходимости ряда A – расходимость ряда B.

ТЕОРЕМА 3 (предельный признак сравнения). Если ии, то оба рядаA и B сходятся или расходятся одновременно.

Типовые примеры

1) Исследовать на сходимость ряд .

►Так как , а рядрасходится, то согласно теореме 2 данный ряд расходится. ◄

2).

►Теперь этот пример решается просто. Будем считать исходный ряд рядом (А), возьмём ; , (В) расходится (А) расходится. ◄

Мы можем значительно расширить круг задач, которые способны решить, за счёт таблицы эквивалентных бесконечно малых:

3) .

►Так как ^ при , ^ , поэтому , , (В) сходится (А) сходится. ◄

4) .

►Аргумент логарифма , так как ^ при , ^, поэтому , , (В) сходится (А) сходится и т.д. ◄

5).

►Так как данный n-й член ряда имеет вид ln(1+), где - бесконечно малая величина приn, и известно, что ln(1, то этот ряд сравниваем с рядом, представляющим собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателемq=1/7<1, которая сходится, следовательно, и исходный ряд сходится. ◄

6) .

►Так как n-й член данного ряда: ~ , т.е. при n ведет себя как гармонический, то ряд также расходится. ◄

7) .

►Сравним данный ряд с известным сходящимся гармоническим рядом :, следовательно, оба ряда ведут себя одинаково, т.е. сходятся. ◄

Сравнение положительного ряда с рядом Дирихле позволяет сформулировать такое правило: если при функция- бесконечно малая порядка малости выше первого по сравнению с, то рядсходится; еслине является бесконечно малой или имеет порядок малости единица или ниже, то ряд расходится.

Типовые примеры

1) .

►При эквивалентна функции, поэтому ряд сходится. ◄

2) .

►При эквивалентна функции, поэтому ряд расходится. ◄

3) .

►При эквивалентна функции, поэтому ряд расходится. ◄

ТЕОРЕМА 4 (радикальный признак Коши). Пусть для ряда существует предел

. (1)

Тогда при ряд сходится, а при– расходится.

Типовые примеры

Определить сходимость ряда.

1) .

►. Ряд сходится. ◄

2) ►,поэтому ряд расходится. ◄

ТЕОРЕМА 5 (признак Даламбера). Пусть для ряда существует предел

. (2)

Тогда при ряд сходится, а при- расходится.

Примеры

Определить сходимость ряда.

1) .

►◄

2) .

►, поэтому ряд сходится. ◄

3) .

►, поэтому ряд сходится. ◄

4) .

►, поэтому ряд расходится. ◄

5) .

►Прежде чем вычислять q, разберёмся, на сколько сомножителей в выражении больше, чем в (3n)!: ; , поэтому ; , поэтому ряд сходится. ◄

6) .

►Найдем , следовательно, ряд сходится. ◄

ТЕОРЕМА 6 (интегральный признак Коши). Пусть ряд имеет вид

, (3)

где функция неотрицательная и монотонно убывающая на полуинтервале. Тогда, если несобственный интеграл

(4)

сходится, то ряд (3) сходится; если интеграл (4) расходится, то и ряд (3) расходится.

Следствие

Пусть интеграл (4) сходится, тогда суммируя неравенства (6) от и переходя к пределу, получим

. (5)

Из (5) следует, что заменяя сумму ряда его частичной суммой , мы делаем ошибку, не превосходящую величины.

Типовые примеры

1) .

►Ряд сходится при>1 и расходится 1 т.к. соответствующий несобственный интеграл сходится при>1 и расходится 1. Ряд –ряд Дирихле. ◄

2)

►, тогда и. Исследуем несобственный интеграл на сходимость

,

т.е. этот несобственный интеграл сходится, следовательно, и исходный ряд также сходится. ◄

Все рассмотренные признаки, по существу, базируются на признаке сравнения: если ряд сходится, то все ряды, члены которых не больше членов этого эталонного ряда, сходятся, и наоборот, если эталонный ряд расходится, то расходятся все ряды, члены которого не меньше членов этого ряда.