2.2.3. Модель максимизации с заданной возможностью (необходимостью) ожидаемого дохода при фиксированном уровне возможного риска.
, (2.3.1)
(2.3.2)
где
,
есть четкое бинарное отношение:
,k
есть дополнительная уровневая переменная.
Рассмотрим модель
(2.3.1)-(2.3.2) в случае
,
.
Получаем.
, (2.3.3)
(2.3.4)
В
данной модели
-уровень
возможности.
Теорема 2.3.1.
Пусть
характеризуются квазивогнутыми,
полунепрерывными сверху распределениями
с ограниченными носителями. Тогда задача
(2.3.3)-(2.3.4) имеет эквивалентный
детерминированный аналог:
, (2.3.5)
(2.3.6)
Доказательство.
Преобразуем первое ограничение системы (2.3.4). Имеем
,
на основании формулы представления [94] имеем
На основании
обобщенной теоремы Вейерштрасса
,
на которых достигается супремумы (sup).
Нетрудно видеть, что получаемое неравенство
эквивалентно следующей системе неравенств:
Данные неравенства
описывают
-уровневые
множества соответствующих нечетких
величин. Эквивалентным образом эта
система может быть записана в виде
где
,
,
есть правые и левые границы
-уровневого
множества соответствующих нечетких
величин.
Следствием последней системы неравенств является следующее неравенство:
Оно может быть записано в виде двух неравенств:
В результате эквивалентная модель критерия принимает вид:
,
Нетрудно видеть,
что при
полученная модель критерия допускает
эквивалентное представление:
.
Таким образом, задача (2.3.3)-(2.3.4) имеет следующий эквивалентный детерминированный аналог:
,
Теорема доказана.
Преобразуя выражение
для дисперсии согласно известной формуле
(теорема 1.4.1), а также принимая
,
получаем:
Если предположить, что параметры возможностного распределения являются независимыми случайными величинами, то
.
В результате наша задача сводится к следующей задаче математического программирования.
, (2.3.7)
(2.3.8)
Уточним модель (2.3.7)-(2.3.8) для некоторых классов распределений.
Пусть
,
тогда модель (2.3.7)-(2.3.8) будет преобразована
следующим образом:
, (2.3.9)
(2.3.10)
Рассмотрим модель
(2.3.1)-(2.3.2) в случае
.
Имеем.
, (2.3.11)
(2.3.12)
В
данной модели
есть уровень необходимости.
Теорема 2.3.1.
Пусть
характеризуются квазивогнутыми,
полунепрерывными сверху распределениями
с ограниченными носителями. Тогда задача
(2.3.11)-(2.3.12) имеет эквивалентный
детерминированный аналог:
, (2.3.13)
(2.3.14)
Доказательство.
Построим эквивалентный детерминированный аналог.
Действительно
.
Следовательно
.
Если
является монотонной по нечетким
параметрам и
,
тогда мы получаем следующее эквивалентное
неравенство
.
Таким образом, имеем в конечном итоге следующую эквивалентную модель
где
есть левая граница
-уровневого
множества нечеткой случайной величины,
представляющей доходность инвестиционного
портфеля.
Эквивалентная
модель этого критерия может быть
представлена в форме, не требующей
использования уровневой переменной
:
.
Окончательно имеем следующий эквивалентный детерминированный аналог
Теорема доказана.
Преобразуя выражение
для дисперсии согласно известной формуле
(теорема 1.4.1), а также принимая
,
получаем:
Если предположить, что параметры возможностного распределения являются независимыми случайными величинами, то
.
В результате наша задача сводится к следующей задаче математического программирования.
, (2.3.15)
(2.3.16)
Уточним модель (2.3.15)-(2.3.16) для некоторых классов распределений.
Пусть
,
тогда модель (2.3.15)-(2.3.16) будет преобразована
следующим образом:
, (2.3.17)
(2.3.18)