Тема 3. Аналитическая геометрия

План:

1.Полярная система координат. Прямая на плоскости и в пространстве: основные уравнения и задачи. Плоскость. Основные уравнения.

Уравнение вида , где, называетсяобщим уравнением прямой . Вектор ортогонален прямой и называется нормальным вектором этой прямой. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором. В случае, когда прямая задана общим уравнением, то направляющий вектор будет иметь вид .

Если в общем уравнении прямой все его коэффициенты иотличны от нуля, то его можно привести к виду, которое называетсяуравнением прямой в отрезках.

Пусть на плоскости выбрана система координат, и в этой системе известны координаты некоторой точки прямойи направляющего вектораэтой прямой.

Используя условие коллинеарности векторов, получим

.

Это уравнение обычно называют каноническим уравнением прямой.

Если заданы две точки прямой, то уравнение этой прямой будет иметь вид

.

Если за параметр принять величину, стоящую в левой и в правой частях канонического уравнения, то получимпараметрические уравнения прямой

.

. Это уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

.

Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве, а -параметром прямой.

Любой ненулевой вектор, коллинеарный прямой, называется направляющим вектором прямой. В нашем случае, - есть направляющий вектор прямой.

Исключая параметр из параметрического уравнения прямой, получимканоническое уравнение прямой:

.

прямая задается двумя точками и ,

получим

.

Это уравнение называется уравнением прямой, проходящей через две точки.

Прямая в пространстве может быть задана как пересечение двух плоскостей: и, то есть в виде

.

В этом случае направляющим вектором будет вектор:

.

2.Взаимное расположение прямых, плоскостей, прямой и плоскости в пространстве. Кривые второго порядка.

Рассмотрим взаимное расположение двух прямых. Пусть заданы две прямые своими каноническими уравнениями:

и .

Рассмотрим векторы ,и.

Утверждение.

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек и(фокусов эллипса) есть величина постоянная, большая расстояния между фокусами.

Расстояние между фокусами называется фокальным расстоянием. Если - точка данного эллипса, тоиназываютсяфокальными радиусами точки . Тогда,, а фокальные радиусы произвольной точкиэллипса будут иметь вид

.

, где .

Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса.

Число называетсяэксцентриситетом эллипса.

Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек и, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Для вывода канонического уранения гиперболы систему координат выберем так же, как и для эллипса. Тогда будем иметь,. Согласно определению гиперболы:. Отсюда, переходя к координатам, после несложных преобразований, получимканоническое уравнение гиперболы:

, где .

Число называетсяэксцентриситетом гиперболы.

Прямые называютсяасимптотами гиперболы.

Параболой называется множество точек плоскости, расстояние от каждой из которых до данной точки , называемой фокусом, равно расстоянию до данной прямой, не проходящей через точку. Прямаяназываетсядиректрисой параболы.

Расстояние от фокусадо директрисыобозначается буквойи называетсяпараметром параболы.

Систему координат выберем следующим образом. Ось абсцисс проведем через фокусперпендикулярно к директрисе в направлении отк, а ось ординат- перпендикулярно к осичерез середину отрезка, соединяющего фокус с директрисой. При выбранной системе координат уравнение директрисы будет иметь вид, а фокус.

Пусть - произвольная точка параболы. Тогда по определению. Переходя к координатам, будем иметь

.

Возводя уравнение в квадрат, получаем каноническое уравнение параболы

.

Литература:[2], [5], [6].