Тема 1. Линейная алгебра

План:

1.Определители: вычисления, свойства. Теорема Лапласа. Матрицы, действия над ними.

Матрицей размера называется прямоугольная таблица элементов, содержащаястрок истолбцов. Элементы, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Если, то матрица называется квадратной, а числоназывается порядком квадратной матрицы.

Обозначение.

или

- множество матриц размера .

Определение. Определителем матрицы называется алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов матрицы , взятых из каждой строки и из каждого столбца по одному, причем знак каждого произведения определяется четностью подстановки, составленной из 1-ых и 2-ых индексов сомножителей, а именно, если подстановка четная, то знак «+», если нечетная, то знак «-», т.е. определителем матрица называется число

где

- номера строк,

- номера столбцов,

Теорема Лапласа. Пусть в определителе порядка произвольно выбраны строк (илистолбцов). Тогда сумма произведений всех миноров- го порядка, содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополнения равна определителю.

Вычисление определителя способом Саррюса или способом «параллельных полосок». Суть состоит в том, что справа от определителя приписывают первый и второй столбец и аккуратно карандашом проводят линии:

Множители, находящиеся на «красных» диагоналях входят в формулу со знаком «плюс». Множители, находящиеся на «синих» диагоналях входят в формулу со знаком минус.

2. Обратная матрица. Ранг матрицы. Методы нахождение ранга матриц.

Определение. Квадратная матрица называется вырожденной (или особенной), если её определитель равен нулю, и невырожденной (или неособенной) - в противоположном случае.

Определение. Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если .

Теорема. Квадратная матрица -го порядка имеет обратную матрицу , причем единственную, тогда и только тогда, когда матрица невырожденная. В этом случае обратная матрица вычисляется по следующей формуле:

, где - алгебраическое дополнение элементаматрицы .

Определение. Система называется ступенчатой, если каждое уравнение имеет хотя бы 1 отличный от 0 коэффициент или свободный член и, начиная со 2-го уравнения , 1-ое отличное от 0 слагаемое расположено правее 1-го отличного от 0 слагаемого предыдущего уравнения

Теорема. Всякая система линейных уравнений при помощи элементарных преобразований приводится к равносильной ступенчатой системе.

Определение. Матрица называется ступенчатой, если любая её строка имеет хотя бы один неравный нулю элемент и если первый неравный нулю элемент её каждой строки, начиная со второй, расположены правее первого неравного нулю элемента предыдущей строки. В частности, квадратная ступенчатая матрица называется треугольной.

Определение. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования строк (столбцов):

1. перестановка двух каких-нибудь строк (столбцов);

2. умножение элементов какой-нибудь строки (столбца) матрицы на число ;

3. прибавление к элементам какой-нибудь строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца) той же матрицы, умноженных на некоторое число.

Теорема. Всякую ненулевую матрицу можно привести к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований и выбрасывания нулевых строк (столбцов).

Максимальное число ненулевых строк называется рангом матрицы.