14-es_1 / Высшая математика (РТФ) / умк_Мальцев_Осн дискретной матем

фильтрующее свойство единичного импульса и показывает, что этот им- пульс играет в дискретном анализе роль, аналогичную дельта-функции в непрерывном анализе.

Теперь рассмотрим тот же сигнал s ( x) (в общем случае комплекс-

ный) в произвольном ортогональном и полном базисе.

Разложение сигнала в соответствии с (2.9) представляется рядом

Фигурирующее здесь скалярное произведение можно вычислить, воспользовавшись тем, что оно не меняется при изменении системы коор- динат. Поэтому, рассматривая это скалярное произведение в базисе {u (k, x)} , где координатами функций s ( x) и f (k, x) являются их отсчеты

при x = 0,1,…, N −1, и применяя векторную формулу (2.11), получаем

образование), а (4.3) – формула разложения (прямое преобразование). Базисную систему функций можно представить в виде матрицы:

Тогда преобразования Фурье можно записать и в матричной форме:

Сравнив это выражение с первым из выражений (4.4), получим

1 × Fxk × FTxk =1.

E f

Последнее выражение совпадает с определением унитарной матри- цы. Таким образом, представление дискретного сигнала в виде линейной комбинации (4.2) или в матричной форме в виде (4.4) возможно всегда, ес- ли базисная система функций { f (k, x)} является полной и линейно-

независимой, а выражение для спектра (4.3) и (4.4) возможно только в том случае, когда система { f (k, x)} еще и ортогональна (матрица Fxk – уни-

тарна). Заметим, что если базисная матрица является симметрической, т. е. Fkx = Fxk , то прямое и обратное преобразования Фурье вычисляются ум- ножением на сопряженные матрицы:

Перейдем к энергетическим соотношениям при дискретном преобра- зовании Фурье. Векторной формуле (2.16) обобщенная теорема Пифагора соответствует следующее выражение:

Скалярное произведение в левой части равенства вычислим по фор- муле (2.16) в базисе функций {u(k, x)} , для которых Eu = 1. Тогда получим

Выражение является равенством Парсеваля для дискретных сигна- лов. Оно показывает, что энергия сигнала определяется самим сигналом и не зависит от выбора базиса, в котором он описывается. Энергию спек- тральных составляющих

e(k ) = E f S (k ) 2

будем называть энергетическим спектром сигнала (в теории континуаль- ных сигналов энергетический спектр имеет другой смысл, а именно спек- тральной плотности энергии – энергии, приходящейся на полосу в 1Гц).

Пусть при n ≤ N − 1

n

s1 ( x) = ∑ S (k ) × f (k, x) ,

k =0

причем S (k ) вычисляется по формуле (4.3). Метрика евклидова простран- ства такова, что приближение s ( x) » s1 ( x) имеет минимальную средне-

квадратическую ошибку по сравнению с любым другим выбором коэффи- циентов S(k)):

При n = N − 1 эта ошибка становится равной нулю.

Хотя переменная x может иметь любой физический смысл (время, пространственная координата и т. д.), будем в дальнейшем условно назы- вать область изменения этой переменной временной областью в отличие от области изменения переменной k , которую будем называть спектральной областью.

4.2. Преобразование Фурье в базисе ВКФ

Любая из рассмотренных ранее систем ВКФ представляет собой ор- тогональный и полный базис, причем энергия базисной функции есть E f = N . Формулы преобразования Фурье, и основные свойства этого пре-

образования в любом симметрическом базисе ВКФ будут одни и те же. Поэтому ниже для определенности рассмотрение ведется в базисе ВКФ– Пэли, а в тех случаях, когда свойства в разных базисах различны, делаются

63

необходимые оговорки. Пара дискретных преобразований Фурье в базисе ВКФ– Пэли имеет вид

функции. Они могут быть представлены в виде суммы действительной и мнимой частей или в показательной форме:

s(x) = Re[s(x)] + j Im[s(x)] = s(x) × e jψ( x) ;

S ( p) = Re[S ( p)] - j Im[S ( p)] = S ( p) × e− jϕ( p).

Здесь s(x) и S ( p) – огибающие, а ψ(x) и j( p) – фазы сигнала и его спектра. Огибающую S ( p) , кроме того, называют амплитудным спек- тром, а фазу j( p) – фазовым спектром. Очевидно, что

S ( p) = {Re[S ( p)]}2 + {Im[S ( p)]}2 ;

Дискретные преобразования Фурье можно записать в матричной

Энергетические соотношения в спектре сигнала в базисе ВКФ опре- деляются равенством Парсеваля , которое в данном случае принимает вид

являются соответственно спектром мощности и энергетическим спектром дискретного сигнала в базисе ВКФ. Базисная функция в общем случае – комплексная, т. е.

Pal( p, x) = Re[Pal( p, x)] + j Im[Pal( p, x)].

64

со спектром в базисе ВКФ S ( p) = S1 ( p) + jS2 ( p) , где S1 ( p) и S2 ( p) , есть комплексные спектры действительных сигналов s1 (x) и s2 (x) соответст-

венно. Эти слагаемые комплексного сигнала s(x) благодаря множителю j линейно независимы. В свою очередь, каждый из них можно представить как сумму m -четной и m -нечетной частей, которые также линейно- независимы и, кроме того, ортогональны:

s1 (x) = s1ч (x) + s1н (x), s2 (x) = s2ч (x) + s2н (x).

В результате получим, что комплексный сигнал s(x) является ли- нейной комбинацией четырех компонентов:

s(x) = [s1ч (x) + s1н (x)] + j [s2ч (x) + s2н (x)].

Его спектр также может быть выражен в виде аналогичной линейной комбинации

S ( p) = a( p) − jb( p) = [S1ч ( p) + S2н ( p)] − j [S1н ( p) − S2ч ( p)] ,

где компоненты S1ч ( p) и S1н ( p) определяются только действительным сигналом s1 (x) , а компоненты S2н ( p) и S2ч ( p) – только действительным сигналом s2 (x) . Отсюда следует, что спектр комплексного сигнала можно всегда разделить и выделить из него спектры сигналов s1 (x) и s2 (x) .

4.3.Свертка и корреляция

Всоответствии с введенным понятием m -сдвига, определим m - свертку как

67

Поскольку m -сдвиг не выводит сигнал за пределы интервала N , то и m -свертка дает новый сигнал, располагающийся на том же интервале N . В частном случае, при m = N (базис ДЭФ), m -сдвиг представляет собой круговую перестановку отсчетов, а m -свертка – круговую или периодиче- скую свертку. В другом частном случае, при m = 2 (базис функций Уол- ша), m -свертка представляет собой диадную свертку.

Выражение в прямых скобках есть в соответствии с (4.8) комплекс-

но-сопряженный спектр S1 ( p) , поэтому

или сокращенно

s1 (x) m* s2 (x) « NS1 ( p)S2 ( p) .

Таким образом, спектр комплексно-сопряженной свертки двух сиг- налов есть произведение спектров этих сигналов (с коэффициентом N ).

68

Теорема о спектре произведения двух сигналов. Этот спектр оп-

ределяется выражением

Следовательно, при перемножении сигналов происходит свертыва- ние спектра одного из них с комплексно-сопряженным спектром другого.

Взаимокорреляционная функция двух сигналов B12 (τ) и автокорре- ляционная функция сигнала B(τ) , если их связывать с энергией сигналов, определяются следующим образом:

Заметим, что в отличие от свертки (4.18) здесь суммирование ведется по переменной x , поэтому значения автокорреляционной функции зависят только от c-сдвига комплексно-сопряженной копии относительно самого сигнала.

На рис. 4.1 приведена в качестве примера автокорреляционная функ- ция дискретного прямоугольного импульса, вычисленная для различных m . Видно, что в различных базисах ВКФ автокорреляционная функция одного и того же сигнала имеет различный вид. Это открывает возможно- сти выбора оптимального базиса для решения задач такого типа, как обна- ружение и различение сигналов в шумах.

Можно убедиться в том, что m -автокорреляционная функция обла- дает свойствами, аналогичными свойствам обычной автокорреляционной функции, в частности:

-при τ = 0 она имеет действительное значение, равное энергии сигнала B(0) = E ;

-ее действительная часть является m -четной функцией, а мнимая – m -нечетной функцией:

69

а)

(базис ДЭФ)

б)

m = 4

в)

(базис Уолша)

г)

Рис. 4.1. m -автокорреляционная функция прямоугольного импульса

70