14-es_1 / Высшая математика (РТФ) / умк_Мальцев_Осн дискретной матем
.pdf
|
qs −1 |
( x − ai ). |
|
xqs |
− x = ∏ |
(3.34) |
|
|
i =0 |
|
|
Таким образом, элементами поля GF (qs ) являются корни уравнения
xqs − x = 0 или, другими словами, уравнение (3.20) имеет в поле GF(qs) ровно qs различных корней.
Представление полинома xqs − x в виде произведения неприво-
димых полиномов. Напомним, что полином fk(x) степени k ³1 неприво- дим над полем GF(p), если не существует таких двух полиномов A(x) и B(x) с коэффициентами из GF(p), каждый степени меньше k , что
fk ( x) = A( x) B ( x) .
Из определения следует, что полином fk(x), неприводимый над полем GF(p), не может иметь в этом поле корней. Однако в расширенном поле
GF(q), q = qn полином fk(x) уже имеет корни. Точнее, полином fk(x) степени k , неприводимый над полем GF(p), имеет в поле
GF (q) , q = qn ,
где n кратно k , ровно k корней.
Пусть некоторый элемент поля GF (q) − a , имеющий период ε , яв-
ляется корнем полинома fk(x) и |
|
|
|
|
|
|
qk ≡ 1(mod ε) , k ³1. |
(3.35) |
|||||
Тогда единственными корнями полинома |
fk ( x) являются элементы |
|||||
поля GF (q) |
|
|
|
|
|
|
a , a ,..., a qk −1 |
, |
|
(3.36) |
|||
0 |
1 |
|
|
|
|
|
т. е. |
i =0 |
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|||
|
k −1 |
|
− a pi . |
|
||
fk ( x) = ∏ x |
(3.37) |
|||||
Полином (3.37) называется минимальным полиномом элемента а, так как любой полином A( x) , для которого A(a) = 0 , удовлетворяет также ус-
ловиям A(a pi ) = 0 и, следовательно, делится на fk ( x) .
Степень k полинома fk ( x) называется степенью элемента a . Так
как элементы a p ,..., a pk −1 имеют тот же минимальный полином, что и эле- мент a , то они называются p -сопряженными с a .
51
Аналогично в расширенном поле GF (qs ) полином fk ( x) степени k ,
s кратно k , неприводимый над полем GF (q) , имеет в поле GF (qs ) |
ровно |
|
k корней. |
|
|
Если некоторый элемент поля GF (qs ) − a , имеющий период ε , яв- |
||
ляется корнем полинома fk ( x) |
и |
|
qsk |
≡ 1(mod ε) , k ³1, |
(3.38) |
то единственными корнями полинома fk (x) являются элементы поля
GF (qs ) :
a, aq ,..., a qk −1 , |
(3.39) |
||
т. е. |
( |
) |
|
i =0 |
|
||
k −1 |
|
|
|
fk ( x) = ∏ x − aqi . |
(3.40) |
||
Полином (3.40) называется минимальным полиномом элемента а поля
GF (qs ) , а степень k полинома fk ( x) называется степенью элемента a .
Так как элементы aq ,..., a имеют тот же минимальный полином, что и элемент a , то они называются q – сопряженными с a .
Заметим, что все q -сопряженные ( p -сопряженные) элементы имеют один и тот же период ε . Последнее непосредственно вытекает из теоремы о периоде, если учесть, что числа qi , ( pi ) в поле характеристики p всегда
взаимно простые с делителями числа ps − 1, q -1
Пример. Найдем все минимальные полиномы ненулевых элементов
полей GF (22 ), GF (32 ) и GF (22 )1 .
Для нахождения минимальных полиномов элементов поля GF (22 )
воспользуемся формулами (3.35) и (3.37), тогда получим табл. 3.6.
52
Таблица 3.6
Минимальные полиномы элементов поля
a GF (22 ) |
ε |
k |
|
|
|
|
|
|
|
fk ( x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
− 1) = x + 1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
∏( x |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
i =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
3 |
2 |
|
a + 1 ∏(x − a2i ) = ( x − a)(x − a2 ) ≡ x2 + x + 1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
x − |
( |
a + 1 |
2i |
= x − |
( |
a + 1 x − |
( |
a + 1 2 |
|
≡ x2 |
+ x + 1 |
|
|
3 |
∏ |
|
) |
|
|
) |
|
) |
|
|
|
||||
|
|
i =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь перейдем к решению задачи представления полинома xqs − x в виде произведения неприводимых полиномов. Действительно, из прове-
денного анализа следует, что элементы поля GF (qs ) являются, с одной стороны, корнями полинома xqs − x , а с другой стороны, – корнями мини-
мальных полиномов (3.37) или (3.40). Отсюда следует что xqs − x делится на все минимальные полиномы элементов поля GF (q) . Более того, произ-
ведение всех различных минимальных полиномов элементов поля GF (qs )
равно xqs − x . Тем самым решена задача представления полинома xqs − x в виде произведения неприводимых полиномов.
Из предыдущего примера следует, что может существовать несколь- ко различных неприводимых полиномов, корни которых имеют в заданном
поле GF (qs ) одинаковый период. Так, например, имеется два неприводи- мых полинома степени k = 2 , корни которых имеют в поле GF (qs ) период ε , равный 8, четыре неприводимых полинома степени k = 2 , корни кото-
рых в поле GF (22 )2 |
|
имеют период ε = 15 и т. д. |
|
||
|
|
|
|
|
|
В общем случае число неприводимых полиномов степени k |
( k де- |
||||
лит n при s = 1 или k |
делит s при s > 1), корни которых имеют в поле |
||||
GF (qs ) одинаковый период, равно |
|
||||
|
|
ϕ(ε) k , ε |
|
(qs − 1). |
(3.41) |
|
|
|
|||
53
Первообразные полиномы. Полином f (x) степени s , неприводи- мый над полем GF (q) , называется первообразным, если его корень θ в поле GF (qs ) имеет период εmax = qs − 1, то есть если корень полинома яв- ляется первообразным элементом поля GF (qs ) . Число первообразных по- линомов степени s равно
ϕ(qs − 1) s . |
(3.42) |
В частном случае, если s = 1 и q = pn , первообразным называется та- кой неприводимый над полем GF ( pn ) полином степени n , корень которо- го в поле GF ( pn ) имеет период ε = pn − 1. Число первообразных полино-
мов степени п равно |
|
|
ϕ(q − 1) n, |
q = pn . |
(3.43) |
Пример. Подсчитаем по формулам (3.42) и (3.43) число первообраз- |
||
ных полиномов для qs < 104 . |
|
|
Для заданных p и n число |
первообразных |
неприводимых над |
GF ( p) полиномов степени n указано в табл. 3.7. Для заданных q и s чис- ло первообразных неприводимых над полем GF (q) полиномов степени s указано в табл. 3.8.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3.7 |
|
Число первообразных неприводимых полиномов степени n над GF ( p) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
5 |
7 |
|
|
11 |
|||
2 |
1 |
2 |
4 |
8 |
|
|
16 |
|||
3 |
2 |
4 |
20 |
36 |
|
|
176 |
|||
4 |
2 |
8 |
48 |
160 |
|
|
|
|
||
5 |
6 |
22 |
280 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3.8 |
|
Число первообразных неприводимых полиномов степени s над GF (q) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
23 |
24 |
25 |
|
26 |
|
|
2 |
|
4 |
|
18 |
16 |
64 |
|
96 |
|
|
3 |
|
12 |
|
144 |
96 |
576 |
|
|
|
|
4 |
|
32 |
|
432 |
640 |
|
|
|
|
|
5 |
|
120 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
288 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54 |
|
|
|
|
|
|
Взаимные полиномы. Если θ – первообразный элемент поля GF (qs ) , то, согласно (3.40), первообразный полином степени s :
i =0 |
( |
|
) |
|
|
|
|
|
s −1 |
|
- qqi . |
|
|
|
|
||
f ( x) = ∏ x |
|
|
|
(3.44) |
||||
Далее, если θ – первообразный элемент, то θ−1 |
тоже первообразный |
|||||||
|
|
|
|
i =0 |
( |
|
) |
|
|
|
|
|
s −1 |
|
|
|
|
элемент того же поля, поэтому полином |
f1 ( x) = ∏ x - q−qi |
|
– также пер- |
|||||
вообразный полином. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Первообразные полиномы f ( x) |
и |
f1 ( x) называются взаимными. |
||||||
Очевидно, что каждому первообразному полиному соответствует взаим- ный, поэтому число невзаимных первообразных полиномов степени s равно
j(qs -1) 2s . |
|
(3.45) |
|||
Сопряженные полиномы. Пусть θ |
– первообразный элемент поля |
||||
GF (qs ) , q = pn , s >1. Полиномы |
|
|
|
|
|
s −1 |
- (qqi |
) |
pk |
|
|
f k ( x) = ∏ x |
|
, k =1, 2,¼, n - 1, |
(3.46) |
||
i =0 |
|
|
|
|
|
у которых корни являются сопряженными с корнями полинома (3.44), тоже будут первообразными. Полиномы (3.46) называются р-сопряженными по-
линомами.
Из определения следует, что для поля GF (qs ) , q = pn , s >1, число р- сопряженных полиномов равно n . Таким образом, в поле GF (qs ) , q = pn , s >1, число невзаимных и несопряженных первообразных полино- мов степени s равно
j(qs -1)
2ns . (3.47)
Автоморфизм. Взаимно однозначное отображение элементов поля на элементы того же поля, при котором удовлетворяются все законы поля, называется автоморфизмом поля.
Отображение a ® aq для всякого a ÎGF (qs ) есть автоморфизм поля GF (qs ) . Действительно, такое отображение однозначно обратимо, так как
55
для каждого элемента a в поле GF (qs ) содержится элемент aq , и обратно, для каждого элемента содержится элемент a (3.39). При этом
(a ± b)q ≡ aq ± bq (modd f (x), p) ,
и, следовательно, различные элементы имеют и различные q-е степени.
Далее, если a → aq и b → bq , то |
|
(a ± b) → (a ± b)q = aq ± bq , |
(3.48) |
(ab) → (ab)q = aqbq . |
(3.49) |
Так как отображение a → aqi переводит элементы поля GF (qs ) в q - |
|
сопряженные элементы, а отображение a → a pi |
переводит элементы поля |
GF (qs ) в р-сопряженные элементы, то автоморфизм – это такое взаимно- однозначное соответствие, при котором элементы поля переводятся в со- пряженные элементы или, другими словами, такое взаимно однозначное соответствие, при котором корни данного неприводимого полинома пере- водятся в другие корни того же полинома.
Пример. Установим взаимно однозначное соответствие между эле- ментами полей GF (32 ) , построенными по различным корням первообраз- ного полинома f (x) = x2 + x + 2 .
Так как полином x2 + x + 2 является первообразным, то его корни имеют период q − 1 = 32 − 1 = 8 и, следовательно, являются первообразны- ми элементами поля GF (32 ) . Обозначим через θ1 корень полинома f (x) , то есть f (θ1 ) = 0 . Тогда, согласно (3.39), вторым (сопряженным) корнем является θ13 . Тогда
GF1 (32 ) = {0,θ10 ,θ11,…,θ17 } ≡
≡ {0,1, x,2x + 1,2x + 2,2,2x, x + 2, x + 1}(modd x2 + x + 2,3); GF2 (32 ) = {0,(θ13 )0 ,(θ13 )1 ,…,(θ13 )7 }≡
≡ {0,1,2x + 2, x + 2, x, 2, x + 1, 2x + 1, 2x}(modd x2 + x + 2,3); GF1 (32 ) для θ1, GF2 (32 ) для θ13.
56
Таким образом, между элементами полей GF1 (32 ) и GF2 (32 ) имеется следующее взаимно однозначное соответствие, определяемое автоморфиз- мом поля:
0 → 0,1 → 1, x → 2x + 2,2x + 1 → x + 2, 2x + 2 → x, 2 → 2,2x → x + 1, x + 1 → 2x.
Изоморфизм. Взаимно однозначное отображение элементов полей заданного порядка, построенных по различным неприводимым полиномам, при котором удовлетворяются все законы поля, называются изоморфизмом.
Поле, изоморфное полю GF (q |
s |
|
|
|
|
|
|
|
s |
) и |
||||||
|
) , будем обозначать через GF (q |
|
||||||||||||||
писать GF (q |
s |
|
s |
) . Элементы поля GF (q |
s |
) |
будем по-прежнему обо- |
|||||||||
|
) ≈ GF (q |
|
|
|||||||||||||
значать через |
|
|
|
|
|
|
|
s |
) – |
ɶ ɶ ɶ |
|
|
|
|||
a,b,c,…, a элементы поля GF (q |
|
через a,b,c,…. |
|
|
|
|||||||||||
Если преобразование |
x → z |
переводит |
|
неприводимый над |
полем |
|||||||||||
GF (q) полином степени s – |
f (x) |
в неприводимый над полем GF (q) по- |
||||||||||||||
лином степени s – f (x) , т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
f (z) ≡ 0(modd f (x), p) , |
|
|
|
|
|
(3.50) |
||||||
то отображение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
a(modd f (x), p) ≈ aɶ(modd f (x), p), |
(3.51) |
|||||||||||||
где
a = as −1xs −1 + as − 2 xs − 2 + …+ a1x + a0 , aɶ = as −1zs −1 + as − 2 zs − 2 + …+ a1z + a0 , ai GF (q)
есть изоморфизм поля GF (qs ) .
Действительно, такое отображение однозначно обратимо, так как для
s |
) |
|
|
|
ɶ |
|
s |
) и обратно. |
каждого элемента a GF (q |
существует элемент a GF (q |
|||||||
|
s |
ɶ ɶ |
|
s |
ɶ |
|
ɶ |
то |
Далее, если a,b GF (q |
) , a,b GF (q |
) и a ≈ a , b ≈ b , |
||||||
|
|
ɶ |
ɶ |
|
ɶɶ |
|
|
(3.52) |
a + b ≈ a + b, ab ≈ ab. |
|
|
||||||
Пример. Установим взаимно однозначное соответствие между эле- ментами полей GF (32 ) , построенными по различным первообразным по-
линомам f (x) = x2 + x + 2 и f (x) = x2 + 2x + 2 .
57
|
Легко установить, что преобразование x = 2z (z = 2x) |
переводит по- |
|||||||||||||
лином f (x) |
в полином f (x) . Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
f (z) = z2 + z + 2 = 4x2 + 2x + 2 (modd x2 + 2x + 2) . |
|
|
|||||||||||
|
Далее обозначим через |
x1 корень полинома |
f (x) , тогда элементы |
||||||||||||
поля GF (32 ) суть 0 и степени x : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
GF (32 ) = {0, x10 , x11,…, x17 } ≡ |
|
|
|
|
(3.53) |
|||||||
|
{ |
1 1 |
1 |
|
|
1 1 |
1 |
}( |
|
1 |
+ x |
+ 2,3 |
) |
||
|
≡ 0,1, x ,2x |
+ 1,2x |
|
+ 2, 2,2x , x + 2, x + |
1 |
modd x 2 |
|
. |
|||||||
|
Корень полинома |
|
f (x) |
обозначим через |
x , |
тогда элементы поля |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
GF (3 ) суть 0 и степени x2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
0 |
1 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
GF (3 ) = {0, x2 |
, x2 ,…, x2 } ≡ |
|
|
|
|
|
||||||
|
≡ {0,1, x2 , x2 + 1,2x2 + 1, 2, 2x2 , 2x2 + 2, x2 + 2}(modd x2 |
2 + 2x2 + 2,3). |
|||||||||||||
|
Согласно (3.51), находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 ≈ 1, 2 ≈ 2, x1 ≈ 2x2 , 2x1 ≈ x2 , x1 + 1 ≈ 2x2 + 1, |
|
|
|
||||||||||
|
|
2x1 + 1 ≈ x2 + 1, 2x1 + 2 ≈ x2 + 2, x1 + 2 ≈ 2x2 + 2. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
3.3. Разностные множества |
|
|
|
|
|
|||||||
|
Множество |
D( N , K ,λ) , |
состоящее из K вычетов {a1, a2 ,…, ak } по |
||||||||||||
модулю N, называется разностным множеством (РМ), сбалансированным на один уровень, если для каждого d ¹ 0mod N существует точно l упо-
рядоченных пар ai , a j D таких, что ai − a j |
≡ d mod N . |
|
Пример. Множество D(7,3,1) = {1, 2, 4} |
является РМ, сбалансирован- |
|
ным на один уровень l =1, так как для каждого d ¹ 0 |
существует точно |
|
одна пара ai − a j ≡ d mod N : |
|
|
1 = a2 − a1 = 2 − 1; 2 = a3 − a2 = 4 − 2; 3 = a3 − a1 = 4 − 1; |
||
|
|
mod 7. |
4 = a1 − a3 = 1 − 4; 5 = a2 − a3 = 2 − 4; 6 = a1 − a2 = 1 − 2; |
||
Разностные множества D( N , K ,1) с параметром |
l =1 называются |
|
совершенными разностными множествами.
Известны разностные множества со следующими параметрами (ниже приняты следующие обозначения: P, P1, P2 – простые числа, t, u и m – на- туральные числа):
58
1.) Зингера:
|
|
|
qn -1 |
qn −1 -1 |
qn − 2 -1 |
m |
|
|
|||
|
N = |
|
|
; K = |
|
; l = |
|
;q = P |
|
; |
(3.54) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
q -1 |
q -1 |
q -1 |
|
|
|
|||
2.) |
квадратичных вычетов: |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
N = Pm = 4t -1; K = 2t -1; l = t -1; |
|
|
(3.55) |
||||||
3.) |
Холла: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N = P = 4u2 + 27 = 4t -1; K = 2t -1; l = t -1; |
(3.56) |
|||||||||
4.) |
Якоби: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N = P × P = 4t -1; K = |
N − 1 |
= 2t -1; l = |
N − 3 |
= t -1; P = P + 2; (3.57) |
||||||
|
|
|||||||||
|
1 |
2 |
2 |
|
4 |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5.) |
биквадратичных вычетов: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
N = P = 4(2u + 1)2 + 1; K = (2u + 1)2 ; l = u(u + 1); |
(3.58) |
||||||
6.) |
биквадратичных вычетов и нуля: |
|
|
|
|
|
||||
|
N = P = 4(2u + 1)2 + 9; K = (2u + 1)2 + 3; l = u(u + 1) + 1; |
|
(3.59) |
|||||||
7.) |
восьмеричных вычетов: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
N = P = 8u2 + 1 = 64t2 + 9; K = u2 ; l = t2 ; |
|
|
(3.60) |
||||
8.) |
восьмеричных вычетов и нуля: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
N = P = 8(2u + 1)2 + 49 =128t 2 + 9; K = (2u2 + 1)2 ; l = 4t2 . |
(3.61) |
|||||||
Заметим, что это не полный перечень разностных множеств. Разностные множества применятся в том числе и для формирования
дискретно-кодовых последовательностей, определяющие закон изменения манипулируемого параметра (амплитуда, фаза, частота) в дискретно- кодовых сигналах (ДКС). При этом для разностного множества со значе- нием параметра λ = 1 можно сопоставить закон формирования отдельных символов. В зависимости от значения разностное множество формирует дискретно-кодовую последовательность.
59
4. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ В БАЗИСЕ ВКФ
4.1. Дискретные преобразования Фурье
Дискретные функции, заданные на интервале N , могут рассматри- ваться как векторы в N -мерном линейном евклидовом пространстве. Про- стейшая система базисных векторов в таком пространстве может быть за- дана единичной матрицей:
|
|
|
x → |
|
0 |
1 2 |
… N − 1 |
|
|||
|
|
|
k ↓ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
{ ( |
|
)} |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
… 0 |
|
|
|
k, x |
→ 1 |
|
0 |
1 |
0 |
… 0 |
|
= 1 |
|||
u |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
0 |
1 |
… 0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
… |
… … … … |
|
|||||
|
|
|
N −1 |
|
|
0 |
0 |
… 1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||
Здесь каждая строка выражает единичный импульс, смещенный на k позиций:
( ) = 0, k ¹ x
u k, x ,
1, k = x
и любые две строки ортогональны:
N −1 |
|
∑u (k, x ) × u (l, x ) = 0, k ¹ l . |
|
x=0 |
1, k = l |
При этом энергия любой базисной функции Eu = 1.
Дискретный сигнал s ( x) можно в соответствии с векторным выра- жением (2.9) рассматривать как результат разложения по системе базисных функций {u (k, x)} :
N −1 |
|
s ( x) = ∑S (k ) ×u (k, x) |
(4.1) |
k =0
или в матричной форме
s x = 1sk ,
где s x , sk – матрицы-столбцы сигнала и его спектра.
Выражение (4.1) означает, что отсчеты сигнала s (0), s (1),…, s ( N −1) являются его координатами в базисной системе {u (k, x)} . Оно выражает
60