умк_Вакульчик_Опред интеграл

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

зервуаре, вытечет из него за время T =

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

3.63 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 257 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Очевидно, что и работа, совершаемая силой Р(х), будет некоторой функцией А(х). Допуская, что при подъеме шара еще на малую высоту dx сила Р(х) остается неизменной, найдем приближенную величину прираще- ния работы:

DA » P ( x)dx = ( Pш - Pв )dx = p3 (4R 3 (d -1) - x 3 + 3Rx 2 )dx = dA

Интегрируя dA в пределах от x = 0 до x = 2R, найдем работу A2 , ко-

торую надо совершить, чтобы шар, поднятый со дна бассейна до поверх- ности, полностью извлечь из воды:

(4R 3 (d -1) - x 3 + 3Rx 2 )dx =

3 (d -1)x -

+ Rx 3

2R =

∫

=4 pR 4 (2d -1) .

Вся искомая работа:

A = A1 + A2 = 4 pR 3 (R + (d -1)H ) =

=4 p × 27(0,3 + (2 -1) ×1, 4) ≈ 600,4π (Дж). 3

Пример 7.19.7. (повышенный уровень сложности). Прямоуголь-

ный резервуар с площадью горизонтального сечения S = 6 м2 наполнен водой до высоты Н = 5 м. Определить время, в течение которого вся вода вытечет из резервуара через небольшое отверстие в его дне площадью

S1 = 0,01 м2 , если принять,			что ско-
рость	истечения	воды	равна

0,6 2gh , где h – высота уровня воды
над отверстием, g –		ускорение силы
тяжести.

Решение. Согласно общей схе-
ме I, разобьем искомое время Т на
большое число маленьких промежут-
ков t1 , t2 ,…, t n и пусть за каж-
дый такой промежуток уровень воды
в резервуаре понижается на величину
Dx = H (рис. 7.19.6).	Рис. 7.19.6
n

Допустим, что в течение каждого малого промежутка времени ti

скорость истечения воды через отверстие в дне остается постоянной, рав-

ной ее значению в начале промежутка 0,62g(H − xi ) . Тогда прибавление в объеме воды, вытекающей с такой скоростью через отверстие в дне за промежуток ti , равно объему опорожнившейся за этот же промежуток части резервуара. В результате получим приближенно равенство

0,6S1

2g(H − xi )

≈ S x .

≈

Откуда

0,6S1 2g(H − xi )

Приближенное значение всего искомого времени Т будет равно

T = ∑

ti ≈ ∑

(**)

i=1

i=1 0,6

2g(H − xi )S1

где по условию задачи точки xi заключены на отрезке [0;H].

Убедившись, что с возрастанием n погрешность полученного при- ближенного значения Т стремится к нулю, найдем точное значение Т как предел интегральной суммы (**) при n → +∞ , т. е. как соответствующий определенный интеграл:

−

0 =

T =

∫

( H − x)

2 dx =

( H − x)

0,6S1

0,6S1 2g

Подставляя числовые значения параметров S = 6, H = 5,

S1 = 0,01,

g = 9,81, получим

T ≈ 1019 с ≈ 16,99 мин.

Если бы убыль воды в резервуаре постоянно возмещалась, т. е. если бы уровень воды в нем оставался неизменным, то и скорость истечения во-

ды была бы постоянной, равной 0,62gh . В этом случае, в каждую секун-

ду через отверстие в дне резервуара будет вытекать объем воды 0,62gH .

Поэтому при указанном предположении объем воды, вмещающийся в ре-

Сопоставление этого результата с предыдущим показывает, что время истечения Т без возмещения убыли воды в резервуаре, в два раза больше времени истечения T1 при постоянном возмещении убыли воды: T = 2T1 .

Пример 7.19.8. Цилиндр высотой H = 1,5 м и радиусом R = 0,4 м, наполнен газом под атмосферным давлением (10330 кг/м2), закрыт порш- нем. Определить работу, затрачиваемую на изотермическое сжатие газа при перемещении поршня на расстояние h = 1,2 м внутрь цилиндра.

Решение. При изотермическом изменении состояния газа, когда его температура остается неизменной, зависимость между объемом V и давле- нием р газа выражается формулой pV = c = const (закон Бойля – Мариотта).

Поэтому, если поршень будет
вдвинут на х м		внутрь цилиндра
(рис. 7.19.7), то давление p(x) газа на
единицу площади поршня будет
p(x) =	c	=	c
				,
	V ( x)		S ( H − x)	,
а давление на всю площадь S поршня						Рис. 7.19.7
а давление на всю площадь S поршня
			P(x) = Sp(x) =		c
						.
						.
					H − x

Полагая, что работа, затрачиваемая при вдвижении поршня на х м, есть некоторая функция А(х), и допуская, что при дальнейшем вдвижении поршня на малое расстояние dx испытываемое им давление p(х) остается неизменным, найдем приближенную величину приращения (дифференци- ал) функции А(х):

	c
A ≈ P(x)dx =		dx = dA .

	H − x

Всей искомой работе А соответствует изменение х от 0 до h, поэтому

h = c ln

A = c∫

= −c ln

H − x

H − h

h = 1,2 м, p0 =10330 кг/м2 найдем

При H = 1,5 м, R = 0,4 м,

V0 = πR 2 H = 0, 24π м3; с = p0 ×V0 = 2479, 2p .

А≈ 122951,7 Дж.

7.20.Приближенные вычисления определенного интеграла

(для самостоятельного изучения)

На практике в процессе использования определенного интеграла встречаются ситуации, когда применение формулы Ньютона – Лейбница бывает проблематичным из-за весьма сложного вычисления первообраз- ной для подынтегральной функции (например, для дробно-рациональной

функции и т. п.) либо применение указанной формулы становится невоз- можным (например, подынтегральная функция задана графически или таб- лично). В таких случаях прибегают к приближенным формулам, с помо- щью которых определенный интеграл вычисляется с наперед заданной точностью. Рассмотрим наиболее часто используемые формулы прибли- женного вычисления определенного интеграла (прямоугольников, трапе- ций, Симпсона), вывод которых осуществим с использованием формулы Тейлора и метода неопределенных коэффициентов.

Напомним, что если функция f (x) непрерывна и имеет на отрезке [a; b] непрерывные производные до n-ного порядка включительно, а в каждой внутренней точке отрезка имеет конечную производную (n + 1)-го порядка, то при x [a; b] справедлива следующая формула Тейлора:

f ( x) = f (a) + f ′(a)( x − a) + f ′′(a) ( x − a)2

+ ...

(7.20.1)

... + f (n) (a) ( x − a)n

+ f (n+1) (ξ)

( x − a)n+1

(n + 1)!

где

ξ = a + θ(x – a) и 0 < θ < 1.

Если положить в этой формуле а = 0, то получим формулу Маклорена:

xn+1

f ( x) = f (0)

+ f ′(0) x + f ′′(0)

+ f ′′′(0)

+ ... + f (n) (0)

+ f (n+1) (ξ)

(n + 1)!

где

ξ = θx,

0 < θ < 1.

Последний член в формуле Тейлора называется остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа и обозначается Rn ( x) :

Rn ( x) = f (n+1) ((a + θ)( x − a)) ( x − a)n+1 , n + 1 !

соответственно остаточный член в формуле Маклорена имеет вид

R ( x) =	f (n+1) (θ x)
		xn+1.

n	(n + 1)!

Формулу (7.20.1) можно записать в виде

f ( x) = f (a) + f ′(a)( x − a) + ... + f (n) (a ) ( x − a)n + o(( x − a )n ), n!

где o(( x − a)n ) − бесконечно малая порядка выше n-ного по сравнению с

(x – a ).

Эта форма остаточного члена была указана Пеано. В частности, при а = 0 имеем

f ( x) = f (0) + f ¢(0)( x) + f ¢¢(0)	x2	... + f (n) (0)	x	n + o (xn ).

2!			n!

Получим формулы приближенного вычисления определенных инте- гралов (прямоугольников, трапеций, Симпсона), используя формулу Тей- лора и метод неопределенных коэффициентов.

1. Формула прямоугольников. Рассмотрим задачу: пусть требуется

вычислить	b∫ f ( x)dx , где ¦(x) непрерывна на [a, b] и имеет непрерывную
	a

производную на промежутке (a, b) (считаем, что первообразная не выража- ется через элементарные функции или этот интеграл удобнее вычислить приближенно).

Разобьем отрезок интегрирования на n равных частей:

	x0 = a < x1 < x2 <… < xn = b,
где xi = x0	+ ih, i = 0, 1, …, n, h =	b − a	.

		n

Тогда, b∫ f ( x)dx =

Рассмотрим интеграл ∫

x1		x2	xn
∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ... +			∫ f ( x)dx .
x0		x1	xn−1
f ( x)dx .		Подберем коэффициент A так, чтобы
x	f ( x)dx = Af ( x0 ) × h + r1 .
∫1	f ( x)dx = Af ( x0 ) × h + r1 .		(7.20.2)
x0

Первое слагаемое в (7.20.2) дает приближенное значение определенного интеграла, а второе - погрешность. Для определения коэффициента А, посту- паем следующим образом: f ( x) представляем формулой Тейлора с остаточ-

ным членом в форме Лагранжа, ограничившись первым порядком малости.

		f ( x) = f ( x				)	+ f ′( x + q × h) ×( x - x											), 0 < q <1.
				0						0		1					0					1
Воспользовавшись обобщенной теоремой о среднем, будем иметь
		x1		f ( x			) + f ¢( x					+ q			× h) ×( x - x					) dx =
		∫		f ( x		0	) + f ¢( x				0	+ q		1	× h) ×( x - x				0	) dx =
		∫				0					0			1					0
		x0								( x - x					)2								f '(x		) × h 2
					x		f '(x		)				0			x1		( x			) × h +			1


= f (x	0	)(x - x	0	)	1 +			1									= f			0						,
= f (x		)(x - x		)	1 +												= f									,
					x0							2				x0								2
					x0							2				x0								2

где x0 < ξ1 < x1 , x1 − x0 = h .

∫ f '( x0 + q1h) ×( x - x0 )dx = f '(x1)

∫ ( x - x0 )dx

x0 < ξ1 < x1 .

Подставляя в (7.20.2), получим равенство

f (x

) × h +

f '(x1 )× h

2 = A × f (x

) × h + r ,

отсюда,

A =1,

f '(x1 )× h 2.

Аналогично имеем для произвольного интервала

= f

( xi−1 ) × h + r1i ,

∫ f (x)dx

xi−1

r i

f '(xi )

× h 2 ,

i =

, x

< ξ

< x .

где

1, n

i−1

Отсюда,

∫ f (x)dx = h[ f (xo ) + f (x1) + f (x2 ) + ... + f (xn-1)] + R1 ,

h 2

(

f '(x1 )

f '(x2 )

+ ...+

('xn )

где

= (a - b)2

т. е.

h 2

n × max

f '( x)

max

f '( x)

(b - a ) max

f ('x)

x [a,b]

Таким образом, мы получили формулу прямоугольников для вычис-

ления определенного интеграла.

Формула трапеций. Вернемся к исходной задаче. Рассмотрим за-

дачу: необходимо вычислить ∫ f (x)dx , где ¦(x) непрерывна на [a, b] и име-

		a
ет непрерывные производные до 3-го порядка на промежутке (a, b).
Разобьем отрезок интегрирования на n равных частей:
	x0 = a < x1 < x2 … < xn = b,
где xi = x0 + ih,	i = 0, 1, …,	n, h =	b - a	.
где xi = x0 + ih,	i = 0, 1, …,	n, h =		.
			n
b	x1		x2		xn
Тогда, ∫ f (x)dx = ∫		f (x)dx + ∫ f (x)dx + ... +			∫ f (x)dx .
a	xo		x1		xn−1
Рассмотрим
	x1
	∫ f (x)dx = h[ Af (x0 ) + Bf (x0 + h)] + r2 .					(7.20.3)
	x0

Функции f (x)

и f ( x0 + h)

представим по формуле Тейлора:

f ( x) = f (x0 ) + f ¢( x0 )( x - x0 ) +

f ′′( x0 + q1 × h)

( x - x0 )

f ( x + h) = f ( x0 ) + f ¢( x0 )h +

f ′′( x

+ q

× h)

h 2 ,

0 < θ1 < 1,

0 < θ 2 < 1.

где

Полученные разложения подставим в (7.11.3) и получим

''( x0 + q1 × h)

∫ [ f ( x0 ) + f '( x0 )( x - x0 ) +

( x - x0 )

]dx =

f ''( x0 + q2h)

= h[ Af ( x

)

+ Bf (x

) + Bf ¢( x

) × h + B

2 ] + r

или

f ''(x1 )

f ( x0 )h + f '( x0 ) ×

h 2

= A × f ( x

) × h + B × f ( x

) × h + Bf '( x

) × h 2

+ B ×

f ''( x0 + q2 × h)

3 + r ,

x0 < ξ1 < x1,

0 < θ 2 < 1.

где

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях h:

h1 :1 = A + B

, A =

h 2 :

= B

Тогда,

f ( x)dx =

( x

) + f

( x

)

+ r ,

f ¢¢(x1 )

f ¢¢( x0 + q2h)

= h3

( f ¢¢(x1 ) - f ¢¢( x0 + q2h) - f ¢¢( x

0 + q2h))

f ¢¢( x0 + q2h)

+ 2

¢¢¢(x2 )(x1 - x0 - q

2h)

Здесь мы воспользовались теоремой Лагранжа:

f ′′(x1 ) - f ′′( x0 + q2h) = f ′′′(x2 )(x1 - x0 - q2h),

x1 < x2 < x0 + q2h ,

т. к.

f ′′′(x

)(x

- x

- q

h) = 0(h) , то

f ¢¢

)

где x0 < с1 < x1.

( x)dx =

( x

) + f ( x

)

+ r i

Аналогично,

∫

−1

xi−1

f ¢¢(c

)

где

Поэтому

f (x)dx =

h[ f (x

) + 2 × ( f (x ) + f (x

) + f (x

) + ... + f (x

)) + f (x

)] + R

∫

n−1

= h

f (x

0 ) + f (xn )

+ f (x ) + f (x

) + f (x

) + ... + f (x

n−1

)

+ R

¢¢(c

) + f

¢¢(c

) + ... +

f ¢¢(c

)

где

или

× n × max

f ¢¢( x)

= (b - a)3

max

f ¢¢( x)

[

]

12n

[

]

x a,b

Формула Симпсона. Вернемся к исходной задаче: необходимо

где ¦(x) непрерывна на [a, b]

вычислить ∫ f (x)dx ,

и имеет непрерывные

производные до 5-го порядка на промежутке (a, b).

Как и в предыдущих примерах, разобьем отрезок интегрирования

на m равных частей, но предположим, что m - четное число –

m = 2n:

xo = a < x1 < x2 < … < x2n = b,

где xi = x0 + ih,

i = 0, 1, …, 2

n, h =

b - a

Тогда, ∫ f (x)dx = ∫

f (x)dx

+ ∫ f (x)dx

+ ... +

∫

f (x)dx .

x2n−2

Заменим дугу линии y = f (x) , соответствующую [x0 , x2 ] , дугой па-

раболы, которая проходит через точки:

( x0 , f (x0 )); ((x0 + h), f ( x0 + h)) ; ((x0 + 2h), f (x0 + 2h)) .

Подберем А, В, С так, чтобы

x0 +2h	f ( x)dx = h Af ( x		) + Bf ( x		+ h) + Cf ( x			+ 2h)	+ r .
∫	f ( x)dx = h Af ( x	0	) + Bf ( x	0	+ h) + Cf ( x		0	+ 2h)	+ r .
∫		0		0			0		4
x0
Представляя	f (x) , f ( x0 + h) ,	f ( x0 + 2h) ,				по формуле Тейлора,

f ' x

0 )

f ''(x0

f ( x) = f ( x0 ) +

(

( x

- x0 ) +

)( x - x0 )2 +

f '''(x

)

f (4) ( x

+ q × h)

( x

- x0 )

( x - x0 )

f ( x0 + h) = f ( x0 )

f '( x

)

''( x

)

f '''(x

)

f (4) ( x

+ q

× h)

h +

h 2

4 ,

(

0 ) 2h +

(

0 ) (2h)2 +

f ( x0 + 2h) = f ( x0 )

f ' x

''x

f '''(x

)

f (4) ( x

+ q

× h)

(

2h)

(2h)

где 0 < θ < 1,

0 < θ1 < 1, получим

x0 +2h

f '(x

)

f ''(x

)

'''(x

)

∫ [ f (x0 ) +

(x - x0 ) +

(x - x0 ) 2 +

- x

0 ) 3 +

f (4)

( x0 + q × h)

( x

- x0 )

]dx

= f ( x

0 )2h + f '( x

0 )

(2h)

f ''(x

'''(x

) (2h

(4)

x( ) (2h

) (2h ) f

)

где x0 < ξ1 < x0 + 2h .

Тогда,

(2h)

f ''(x

'''(x

) (2h

(4)

) (2h

)

) (2h )

)

f (x0 )2h + f '(x0 )

Bf ''(x

)

f '''(x

)

= h[ Af (x0 ) + Bf (x0 ) + Bf '(x0 )h +

2 + B

f (4) (x

+ q h)

f ''(x

)

+ Cf (x0 )

+ Cf '(x0 )2h + C

(2h )

f ''( x0 )

(2h)2 + C

'''( x0 )

(

2h)3 + B

f (4) ( x0 + q2h)

(2h)4 ] + r .

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:

2h :1 =

h : (2h)

(2h)

Откуда,

A =

, B =

C =

и, следовательно,

f ( x)dx =

f ( x) + 4 f ( x)

+ f ( x) + r4 ,

(2h)

(4) (x

)

f (4) (x

+ q h)

f (4) (x

+ q

где

3 ×8

(2h)5

24 f (4) (x

) - 5 f (4) (x

+ q h) - 20 f

(4) (x

+ q

120

(2h)5

(4) (x

+ q h) - f (4) (x

h)) - f (4) (x

24( f (4) (x

) - f

+ q

h)) - 5( f

+ q

4!×120

×(

(2h)5

f (4) (x0 + q2h)

24 f (4) (x1)(x1 - x0 - q2h) - 5 f (5) (x3 )(q1 - q2 )h

4!×120

для

x0 < ξi < x2

i = 1, 2,

Так как

24 f (4) (x1 )(x1 - x0 - q2h) - 5 f (5) (x3 )(q1 - q2 )h = o(h) , то

(2h)5

f (4) ( x

+ q

4!×120

Для произвольного интервала имеем:

f (x)dx =

[ f (xi−2 ) + 4 f (xi−1) + f (xi−2 + 2h)] + r i 4 ,

∫

xi−2

где

r i

(2h)5

f (4) (ci )

xi−2 < ci < xi .

Суммируя, получим

f (x)dx =

[ f (x0 ) + f (x2n ) + 2( f (x2 ) + f (x4 ) + ...

∫

... + f (x2n−2 ) + 4( f (x1) + f (x3 ) + ... + f (x2n−1))] + R4.

Это формула Симпсона с остаточным членом:

× n × max

f (4) ( x)

(b - a)5

max

f (4) ( x)

[

]

2 ×90 × 2

× n

[

]

x a,b

h 4

(b - a)

max

]

f (4) ( x)

180

[

x a,b

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 257 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20152.77 Mб41умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл.pdf
#
18.05.20153.63 Mб50умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб34умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб39умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб41умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб40умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб33умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf