умк_Вакульчик_Опред интеграл

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

(-xe− x - e− x )

= 2p(0 +1) = 2p .

xe− x dx = 2p lim

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

3.63 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 255 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Решение. Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела

... +

= lim

+ ... +

lim

n→∞ n

+ 1 n + 2

n + n

n→∞ n

1 +

1 n

Выражение

S n

∑

представляет собой интегральную сум-

n i=11 +

му для функции f ( x) =

на отрезке [0,1]. Названная функция является

+ x

непрерывной на отрезке

[0,1]. Значит,

согласно достаточному условию

существования определенного интеграла предел ее интегральной суммы существует, не зависит от способа разбиения и выбора точек внутри раз- биения. Тогда

= ln (1 + x) = ln 2 .

lim S n = ∫

n→∞

1 + x

+ ... +

= ln 2 .

Таким образом,

lim

+ 2

→∞ n + 1

lim

1 +

... +

1 +

= lim

∑ 1 +

n→∞ n

n→∞ n i =1

−1).

= ∫

1 + xdx =

1 + 3

+ 3

+ ... + 3

lim

n→∞

∫

lim

+ 3

+ ... + 3

3 xdx =

n→∞ n

lim

+ ... +

Ответ: 2(

2 −1).

+ 3

n + 3(n −1)

n→∞ n

+ ... +

lim n

Ответ:

(n + 2)2

(2n)2

n→∞ (n + 1)2

lim

+ ... +

. Ответ: π .

4n 2 −

2 2

4n 2 − n 2

n→∞ 4n 2 −1

		1					1			1			1
7. lim n 2				+					+ ... +
												.	Ответ:	.
	(n 2	+ 1)	2		(n		+ 2)	2		(n 2 + n)	2
n→∞						2							2

8. lim

n n!

n→∞ n

1 1

9. lim e n

n→∞ n

10. lim sin π

n→∞ n

2 n

+ e n + ... + e n .


n	1
∑			.
∑		iπ	.
i =1 2 + cos		iπ
i =1 2 + cos

Ответ: e −1 .

Ответ: e −1.

Ответ: π . 3

ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ ДУГИ КРИВОЙ

7.14. Длина дуги кривой в ДПСК

Определение 7.14.1. Под длиной дуги AB понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена стремится к нулю.

ТЕОРЕМА 7.14.1. Пусть дуга AB задана в ДПСК:			y = f ( x),
			AB :
Если функция y = f ( x) и ее производная y′ = f ′( x)			a ≤ x ≤ b.
			непрерывны на
отрезке [a,b], то кривая AB имеет длину, равную
b

l = ∫ 1 + ( f ′( x))2 dx .			(7.14.1)
a

Доказательство. Применим схему 1 (метод сумм).

1. Точками x0 = a, x1, x2 ,..., xn = b ( x0 = a < x1 < x2 < ... < xn = b) разо-

бьем отрезок [a,b] на п частей, как показано на рис. 7.14.1. Пусть точкам раз-

биения соответствуют точки M 0 = A, M 1, M 2 ,..., M n = B на кривой АВ. Про-

ведем хорды M 0M 1, M 1M 2 ,..., M n−1M n , длины которых обозначим соответ-

ственно через L1, L2 ,...,	Ln .	Получим ломаную M 0M 1M 2...M n−1M n , дли-
на которой равна
Ln =	L1 +	L2 + ... +	n
			Ln = ∑ Li .

i=1

Mi – 1

y = f(x)

Рис. 7.14.1
2. Длину хорды (или звена ломаной)	Li можно найти по теореме
	yi : DLi =		,
Пифагора из треугольника с катетами xi и	yi : DLi =	(Dxi )2 + (Dyi )2	,

где Dxi = xi - xi −1, Dyi = f ( xi ) - f ( xi−1 ) . По теореме Лагранжа о конечном приращении функции Dyi = f ′(ci ) × Dxi , где ci Î[ xi−1, xi ] . Поэтому

DL	=	(Dx	)2 + f ¢(c		)Dx 2	=
i		i		i	i
M 0M 1M 2...M n−1M n				равна

Ln = ∑DLi

i=1

1 +

f ¢(c

)

2 × Dx

, а длина всей

ломаной

f ¢

(

=∑

× D

(7.14.2)

i )

i=1

3. Длина

кривой

АВ,

по

определению,

равна

l =

Ln =

при Li

→ 0

lim

lim ∑DLi .

Заметим,

что

также

max Li →0

max Li →0 i=1

1 + f ¢( x) 2

→ 0 ( DL

(Dx

+ (Dy

)

Функция

непрерывна

на

отрезке

[a,b] ,

т. к., по

условию, непрерывна

функция

f ′( x) . Следовательно, существует предел интегральной суммы (7.14.2),

когда max Li

→ 0 , а значит, и max

→ 0 :

f ¢

(

f ¢

(

lim

∑

× D

= ∫

dx .

)

max xi →0 i=1

Таким образом, l = ∫ 1 + f ¢( x) 2 × dx , или в сокращенной записи

l = ∫ 1 + ( y¢x )2 × dx .

Замечание 7.14.1. Равенство

dl = 1 + ( y′ x )2 dx называется

формулой

дифференциала

дуги в прямоугольных

координатах, т. к. y′x =

, то

y = f(x)

dl =

(dx)2 + (dy )2

(*)

x + dx

Последняя формула представляет

	Рис. 7.14.2	собой теорему Пифагора для бесконечно
	Рис. 7.14.2	малого треугольника МСТ (рис. 7.14.2).
		малого треугольника МСТ (рис. 7.14.2).

2 x 3

x = a cos 3 t,

Пример 7.14.1. Найти длину астроиды

y = a sin 3 t.

Решение.

1. Изобразим заданную

кривую (рис. 7.14.3).

2. Составим уравнение астроиды в

декартовой

системе координат.

Выразим

из

параметрических

cos3 t =

уравнений

sin 3 t =

Рис. 7.14.3

Тогда

=1, или

x 3 + y 3 = a 3 .

Дифференцируя функцию как

неявно

заданную,

будем иметь

y 3

y 3 × y¢ = 0 . Отсюда y¢ = -

x 3

	Найдем выражение		для подынтегральной						функции		в		формуле

								2
					2			2	2		2	1
					2				2		2	1
l = b								3
				= 1 +	y 3	=	x		+ y 3		a 3		=	a 3	.
	1 + ( y¢ )2
		dx . Имеем	1 + ( y¢)2							=
		dx . Имеем	1 + ( y¢)2		2				2	=	2
∫	x				2				2		2	1
a
a					3				3		3	3
					x				x		x			x

							1					2
		a			a				1	3			a			1 2

							3

	1					a					x			3			3
Тогда	1	l = ∫	1 + ( y¢)2 dx = ∫			a		dx = a 3 ×			x		=	3	a 3 a 3 =		3	a .
Тогда		l = ∫	1 + ( y¢)2 dx = ∫				1	dx = a 3 ×			2		=		a 3 a 3 =			a .
4		0	0										0	2			2
							3
						x				3
										3

Окончательно			l = 4 ×	3	a = 6a .
Окончательно			l = 4 ×		a = 6a .
			2

7.15. Длина дуги кривой, заданной параметрически

Пусть дуга кривой AB задана параметрически

x = x (t )
	£ t £ t2 ,	x (t )ÎC[¢t1,t2 ],	y (t )ÎC[¢t1,t2 ] .
y = y (t ), t1	£ t £ t2 ,	x (t )ÎC[¢t1,t2 ],	y (t )ÎC[¢t1,t2 ] .

Пусть a = x (t1 ), b = x (t2 ) .

Воспользуемся результатами предыдущей задачи. Так как

x = x (t ),

dx = x¢dt,

и a = x (t1 ), b = x (t 2 ) ,

y = y (t );

dy = y¢dt

+ ( y¢)2 dt , или

то будем иметь

l = ∫dl = ∫ (dx)2 + (dy )2 = ∫ (x¢) 2

(x¢) 2

+ ( y¢)2 dt .

l = ∫

(7.15.1)

Пример 7.15.1. Найти длину эвольвенты (развертки) окружности:

x = a (t sin t + cost ),

от точки t = 0 до точки t = 2π .

y = a (sin t - t cos t )

Решение. Воспользуемся формулой (7.15.1), будем иметь

2π

(t cost) 2 + (t sin t )2 dt =

l = ∫

(x¢) 2

+ ( y¢)2 dt = a ∫

2π

= ∫ tdt =

=2p2a.

x = x (t ),

Замечание 7.15.1. Для пространственной дуги кривой y = y (t ) ,

z = z (t ),

где	t1 ≤ t ≤ t	′	],		′		′	,t2	]	формула	вычисле-
где	t1 ≤ t ≤ t	2 , x (t ) C[t1,t2	],	y (t ) C[t1,t2 ],		z (t ) C[t1		,t2	]	формула	вычисле-
ния ее дуги будет аналогична формуле (7.15.1) и имеет вид
			t2
			t2		(x¢) 2 + ( y¢)2 + ( z¢)2 dt .
		l = ∫			(x¢) 2 + ( y¢)2 + ( z¢)2 dt .						(7.15.2)
			t1

7.16. Длина дуги кривой, заданной в полярной системе координат

Пусть дуга кривой задана в полярной системе координат:

AB : r = r(j),a £ j £ b , r(j) ÎC′ .

[α;β]

Воспользуемся для вычисления элемента дуги dl формулами связи:

x = r(j) × cos j,

ДПСК и ПСК y = r(j) ×sin j,

а также формулой (*), получим

dx = x¢dj = r¢cos j + r(-sin j)						dj,


dy = y¢dj = [r¢sin j + rcos j]dj.

Отсюда будем иметь
( x¢)2 + ( y¢)2 = r¢2 cos 2 j - 2r ×r¢sin jcos j + r¢2 sin 2 j +
+r2 cos 2 j + 2r ×r¢sin jcos j + r2 sin 2 j = r2 + (r¢) 2 .
					dj и
Тогда по формуле (*)	dl =		(r)2 + (r¢)2		dj и
	l = β∫			dj .
	l = β∫	(r)2 + (r¢)2		dj .		(7.16.1)
	α

Пример 7.16.1. Вычислить длину дуги кардиоиды r(j) = a (1 + sin j) .

(a cos j)2 + a 2 ×(1 + 2sin j + sin 2 j)dj =

l = 2l1 = 2 ∫

− π

+ cos

dj =

= 2a ∫ 2

+ sin j)dj = 2 2a ∫

sin

−

= 4a ∫

sin

cos

dϕ =

4a ∫

sin

ϕ =

−

8a ∫

sin

= −8a cos

π2

− π

−

= −8a

−

= 8a 2.

7.17. Вычисление объемов тел по известным площадям поперечных сечений. Вычисление объемов тел вращения

1. Пусть в пространстве задано тело. плоскостями, перпендикулярными оси Ox x [a;b] на ней (рис. 7.17.1). Площадь фигуры, образующейся в сечении, за- висит от токи x, определяющей плос- кость сечения. Пусть эта зависимость известна и задана непрерывной на от- резке [a;b] функцией S(x). Тогда объем части тела, заключенного между плос- костями x = a и x = b , перпендикуляр- ными к оси Ох, находится по формуле

V = b∫S ( x) dx .

Пусть построены его сечения и проходящими через точки

S(x)

Рис. 7.17.1

(7.17.1)

2. Объемы тел вращения, образованных вращением вокруг оси Ох (или оси Оy) криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f ( x) ,

осью Ох и двумя вертикалями x = a и x = b , вычисляются соответственно по формулам:

b
Vx = π∫ y 2 dx ,	(7.17.2)
a
b
V y = 2π∫ xy dx .	(7.17.3)

3. Если фигура, ограниченная		кривыми y1 = f1 ( x) ,		y2 = f 2 ( x)
(0 £ f1 ( x) £ f 2 ( x)) и прямыми x = a ,		x = b , вращается вокруг оси Ох, то
объем тела вращения:
b			2 )dx .
Vx = p∫( y2	2 - y1		2 )dx .	(7.17.4)

4.Если тело образовано при вращении вокруг оси Оу криволи-

нейной трапеции, ограниченной x = j( y ) ( j( y ) ³ 0 ) и							прямыми x = 0 ,
y = c , y = d , то объем тела вращения равен:
				d
		V y = p ∫ x 2 dy .					(7.17.5)
				c
5. Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной па-
	x = x (t ),	где t Î[t		;t		] , то объем тела вращения вокруг
раметрически		где t Î[t		;t		] , то объем тела вращения вокруг
	y = y (t ),		1		2

оси Ох находится по формуле
		Vx = pt∫2 ( y (t ))2 × x¢(t )dt .					(7.17.6)
		t1
6. Если криволинейный сектор,						ограниченный кривой r = r(j) и
лучами ϕ = α ,	ϕ = β , вращается вокруг полярной оси, то объем тела вра-
щения равен		β
		β

V= 2 p∫r3 sin j dj. 3 α

Пример 7.17.1. Найти объем тела, образованного вращением во-

круг оси Oy области, ограниченной линиями

y = e− x , x = 0, y = 0( x ³ 0) .

Решение. Используя формулу Vy

= p∫x2dy , находим

u = ln

y, du = 2ln y ×

Vy = p∫(-ln y )

dy =p∫

(ln y )

dy =

dv = dy, v = y

u = ln y, du =

π∫ lim y ln y

0 + ε

− 2∫ln ydy

ε→0

dv = dy, v = y

				1		1
= p	0 - 2				- y		= -2p(0 -1) = 2p.
		lim y ln y
			ε→0	0 + e		0 + e

				ε→0

Заметим, что можно использовать формулу V y = 2p ∫ xydx .

7.18. Вычисление площади боковой поверхности тела вращения

1. Если дуга кривой, заданная неотрицательной функцией y = f ( x), x Î[a;b] , вращается вокруг оси Ох, то площадь боковой поверхности тела вращения вычисляется по формуле


b
s x = 2p∫	y	1 + ( y¢)2 dx ,	(7.18.1)
s x = 2p∫	y	1 + ( y¢)2 dx ,	(7.18.1)
a

где а и b – абсциссы начала и конца дуги.

2. Если дуга кривой, заданная неотрицательной функцией x = j( y ) , y Î[c; d ] , вращается вокруг оси Оу, то площадь боковой поверхности тела

вращения вычисляется по формуле

1 + ( x¢)2 dy ,

s y = 2p∫

(7.18.2)

где c и d – ординаты начала и конца дуги.

3. Если дуга кривой задана параметрическими уравнениями:

x = x (t ),

t Î[t

] , причем y (t ) ³ 0 , то

y = y (t ),

( x¢t )2 + ( y¢t )2 dt .

s x = 2p ∫2

y (t )

(7.18.3)

4. Если дуга задана в полярных координатах r = r(j) , jÎ[a;b] , то

r2 + (r¢)2 dj.

s x = 2p∫r

sin j

(7.18.4)

																											Пример 7.18.1. Найти площадь боко-
																вой поверхности тела, образованного враще-
																нием													кривой															x 2 = y + 2, y = 1 вокруг оси Oy
																(рис. 7.18.1).
																											Решение.																			Воспользовавшись																													формулой
																														d																																																			1
																														d								1 + ( x¢)2 dy , имеем 2x × x '= 1, x '=																																													,
																	S y					= 2p∫											x


																														c																																																			2x
																														c
																																																																																		.
																																																1																	1														4 y + 9
																				1+ ( x '(y ))																		2			=			1+				1						=							1+				1									=					4 y + 9
																																																4x 2																	4( y + 2)												2
																																																4x 2																	4( y + 2)												2			y + 2
	S y = 2p ∫																								dy = p ∫ 4 y + 9dy = p (13 13 -1).
	S y = 2p ∫						y + 2							4 y + 9											dy = p ∫ 4 y + 9dy = p (13 13 -1).
				1																																	1
																																																								6
								2
				−2				2			y + 2																									−2
Пример 7.18.2. Найти площадь поверхности тела, образованного
																																		3			t
																x = R cos																								,
																x = R cos																					4			,
																																					4						0 ≤ t ≤ 2π вокруг оси Ox.
вращением части астроиды																																					t						0 ≤ t ≤ 2π вокруг оси Ox.
																					= R sin													3			t
																y																							,
																y																			4				,
																																			4
																																																	t
																																																	t														(x '(t ))2 + ( y '(t ))2 dt ,
Решение.				Используя															формулу																				S x = 2p ∫2													y (t )											(x '(t ))2 + ( y '(t ))2 dt ,
																																																	t1
будем иметь
	x¢		= 3R cos 2							t		-sin											t					1			,									y¢			= 3R sin 2															t		× cos							t	×		1		,
	x¢		= 3R cos 2									-sin																			,									y¢			= 3R sin 2																	× cos								×				,
		t								4																																t														4									4 4
										4													4 4																																	4									4 4

																				9																		t							2 t								9														4 t									t
	( x '(t ))		2	+ ( y '(t ))						2		=								9						2									4			t							2 t			+					9								2						4 t						2			t		=
																							R							cos												sin															R							sin							cos
																			16				R							cos								4				sin				4					16						R							sin							cos				4
																			16																			4								4					16														4										4
								3																																	3
						=		3												2		t										2		t				=			3									t										t
									R				sin											cos																			R sin										cos									.
								4	R				sin								4			cos										4							4		R sin										cos									.
								4													4													4							4							4								4
															2π												3 t								3											t							t
						S x = 2p ∫ R sin																					3 t						×		3											t							t								=
																																						R sin									cos								dt
																												4							4			R sin								4	cos						4		dt
												0																4							4											4							4
												0
		3				2π						4 t																	t																		sin				5 t								2p							6p

=				pR	2																													= 6pR										2		×							4											=							2
						∫ 4sin												d sin																																			4																R				.
		2				∫ 4sin						4						d sin																														5											0						5				R				.
		2				0						4																	4																			5											0						5
						0						=				6		pR 2 .
Следовательно,								S x								6
Следовательно,								S x
												5

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 255 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20152.77 Mб41умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл.pdf
#
18.05.20153.63 Mб50умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб34умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб39умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб41умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб40умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб33умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf