Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Вакульчик_Опред интеграл

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

3.63 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 253 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Свойство 7.3.5. ∫dx = b - a (следует из геометрического свойства

	a
определенного интеграла).
Свойство 7.3.6.	b∫ f ( x)dx = - a∫ f ( x)dx (следует из определения оп-
	a	b
ределенного интеграла).
Свойство 7.3.7 (аддитивности). Если f ( x) Î I на наибольшем из
отрезков [a;b] , [a;c] , [c,b] ,		то она также интегрируема и на двух других
отрезках, причем имеет место равенство			b∫ f ( x)dx = ∫с		f ( x)dx + b∫ f ( x)dx .
			a	a	с
Доказательство.		1. Пусть c Î[a,b] .		По условию f ( x) Î I [a,b] ,
					n
следовательно, существует конечный предел				lim	∑ f (ak ) × Dxk , кото-
			max xk →0 k =1

рый не зависит от способа разбиения. Разобьем отрезок [a,b] x0 = a < x1 < .... < xk −1 = с ≤ xk < .... < xn = b . Тогда будем

lim ∑ f (ak ) × Dxk =	lim ∑ f (ai ) × Dxi		+ ∑
n	k −1		n
max xk →0 k =1	max xi →0 i=1		i=k
Зная, что предел суммы равен сумме пределов,
b∫ f ( x)dx = ∫с f ( x)dx + b∫ f ( x)dx .
a	a	с

f (ai )Dxi .

получим

так, что иметь

	2. Пусть c Ï[a,b] . По условию				f ( x) Î I [a,c] . В пункте 1 доказано, что
∫c	f ( x)dx = b∫ f ( x)dx + ∫c		f ( x)dx ,		из	этого	следует,	что
a	a	b
b∫ f ( x)dx = ∫c f ( x)dx - b∫ f ( x)dx = ∫c f ( x)dx + b∫ f ( x)dx .
a	a	c		a	c
	Свойство 7.3.8. Если f ( x) ³ 0 для любых x Î[a,b] , то b∫ f ( x)dx ³ 0 .
							a
	Свойство 7.3.9. Если			f1 ( x) ³ f 2 ( x)		для	любых x Î[a,b] ,	то
b	b
∫ f1 ( x)dx ³ ∫ f 2		( x)dx .
a	a

1 1

Пример 7.3.1. Установить, какой из двух интегралов ∫ xdx , ∫ x 3dx

больше?

Решение. Так как

> x 3 при 0 < x < 1, то ∫

xdx > ∫ x 3dx .

Свойство 7.3.1 0 . Если m = min f(x);

M = max f(x)

на отрезке

[a,b] и f ( x) ÎC[a,b] , то

m(b - a) £ b∫ f ( x)dx £ M (b - a) .

Свойство 7.3.11. Если f ( x) Î I [a,b] , то

∫ f ( x)dx

£ ∫

( x)

dx .

Свойство 7.3.12 (теорема о среднем).

Если f ( x)ÎC[a,b] , то су-

ществует сÎ[a,b] такое, что b∫ f ( x)dx = f (c) ×(b - a) .

Доказательство. Так как функция f (x) непрерывна на [a,b], то она достигает своих наименьшего m и наибольшего M значений, т. е. для любого x Î[a,b] выполняется неравенство m ≤ f (x) ≤ M , из которого сле- дует неравенство m(b - a) £ b∫ f (x)dx £ M (b - a) . Очевидно b − a > 0 , раз-

b∫ f ( x)dx

делим неравенство на (b - a) и получим m ≤ a ( ) ≤ M . b − a

b∫ f ( x)dx

В последнем неравенстве число μ = a ( ) находится между наи- b − a

меньшим и наибольшим значениями непрерывной на [a,b] функции f (x) ,

которая принимает все промежуточные значения из отрезка [m; M ] , в том числе и значение μ . Следовательно, существует точка c [a,b] , такая, что

	b
	∫ f (x)dx	b
f (c) = μ . Значит, f (c) =	a	, откуда ∫ f (x)dx = f (c)(b − a).
f (c) = μ . Значит, f (c) =	(b − a)	, откуда ∫ f (x)dx = f (c)(b − a).
		a

Определение 7.3.1. Выражение

b
∫ f (x)dx
f (c) = a(b − a)	(7.3.1)

называется средним значением функции f ( x) на [a,b].

Замечание 7.3.1. Формула (7.3.1) используется на практике для на- хождения средней производительности труда, издержек производства и т.д.

a	a
Свойство 7.3.13. Если f(x) = f(– x), то ∫	f ( x)dx = 2 ∫ f ( x)dx .
−a	0
	a
Свойство 7.3.14. Если f(– x) = – f (x), то	∫ f ( x)dx = 0 .

−a

7.4. Интеграл с переменным верхним пределом

Определение 7.4.1. Пусть f(x)				y
интегрируема		на отрезке	[a,b], значит

функция	f(x) интегрируема на отрезке
[a, x] ,	где	x [a,b] .	Функцию
Φ ( x) = ∫x	f (t )dt, x [a,b] называют инте-

a
a					х
гралом с переменным верхним пределом
	0	a	х	b
	0	a	х	b
(рис. 7.4.1).

ТЕОРЕМА 7.4.1. Производная от интеграла с переменным верхним пределом равна значению подынтеграль- ной функции в верхнем пределе:

Φ ( x) ′ = f ( x) .

Доказательство. Вычислим производную от функции Ф( x) . Бу-

дем иметь:

Φ′( x) = lim			ΔΦ	= lim	Φ ( x + x) − Ф( x)		=

	x+Δx	x→0 x x→0				x
				x
	∫	f (t )dt − ∫ f (t )dt
	a			a		св.6
lim						=
			x
x→0

	a	x+Δx
= lim	∫ f (t )dt + ∫ f (t )dt					x+Δx	f (t )dt =
= lim	x	a		= lim ∫x			f (t )dt =
								св.12
x→0		x			x→0		x
= lim	f (c)( x +	x − x)	= lim		f (c) = f ( x).
= lim	x		= lim		f (c) = f ( x).
x→0	x		x→0

Следствие 7.4.1. Интеграл с переменным верхним пределом явля- ется первообразной для подынтегральной функции, то есть

Φ ( x) = F ( x) + C .

Следствие 7.4.2. a∫ f (t )dt = −Φ ( x) .

Замечание 7.4.1. Интеграл с переменным верхним пределом ис- пользуется при определении многих других функций:

∫

sin t

dt = Si(x) – ( интегральный синус);

∫

cost

dt = Ci(x) – ( интегральный косинус);

ln t

dt = li(t)

∫

– ( интегральный логарифм);

∫sin 2 tdt = S (x)

– ( интегралы Френеля);

∫cos 2 tdt = C(x)

Ф( x)

−t 2 dt – ( функция Лапласа);

∫e

−t

Ei ( x)

= ∫

dt – ( интегральная показательная функция).

−∞

Замечание 7.4.2. Все представленные функции не являются эле- ментарными, но хорошо изучены, имеют широкое применение на практике и для них составлены таблицы.

7.5. Определенный интеграл и его вычисление. Формула Ньютона – Лейбница

ТЕОРЕМА 7.5.1. Если f ( x) C[a,b] и для нее существует перво-

образная F ( x) , то	b∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) .
	a

Доказательство. f ( x) C[a,b] f ( x) I[a,b] . По следствию

7.4.1 имеем Ф( x) = ∫x f (t )dt = F ( x) + C .

Вычислим

Ф(a) = F (a) + C; но Ф(a) = a∫ f (t )dt = 0; F (a) + C = 0; C = −F (a) .

Тогда

Ф(b) = b∫ f (t )dt;Ф(b) = F (b) + C; b∫ f (t )dt = F (b) − F (a) .

a a

Замечание.

Символически формулу Ньютона – Лейбница запи-

сывают в виде

b∫ f ( x)dx = F ( x)

b .

2 dx

Пример 7.5.1. Вычислить, исходя из определения, интеграл ∫

1 x

Решение.

Разобьем отрезок [1; 2] на n частей так, чтобы точки деле-

ния xi (i = 0, 1, 2, 3, …,

n) составляли геометрическую прогрессию:

= 1; x

= q; x

= q 2 ; x

= q 3;...; x

= q n = 2 ,

q = n

откуда

Длинна i-того частичного отрезка равна xi = q i+1 − q i = q i (q −1) , так

что max

xi = q n−1 (q −1) → 0 при n → ∞ , т. е. при q → 1.

В качестве точек ci

выберем правые концы частичных отрезков, т.е.

ci = xi +1 = q i +1 .

Составляем интегральную сумму:

n−1

(q −1) =

∑

xi =

∑

q i

2 n −1 .

i =0 ci

i=0 q i +1

2 n

Тогда предел интегральной суммы:

n−1

-1

lim ∑

= ln 2 ,

т.к. 2

-1 »

ln 2

при n → ∞ .

n→∞ i=0 ci

2 n

2 dx

= ln 2 .

Итак, ∫

1 x

Пример 7.5.2.

Вычислить ∫e 2 x−1dx .

(e1 - e −1 ) = sh1.

Решение. ∫e 2 x−1dx =

e 2 x−1

Пример 7.5.3. Вычислить

∫

−1 ( x - 2)4

= ( x - 2)

−3

= -

< 0 .

Решение. ∫

( x - 2)4

( x - 2)3

−1

-3

-1

3 8

Упражнение.

Полученный результат содержит противоречие.

Установить это противоречие и найти ошибку в вычислениях.

7.6.Формула интегрирования по частям

вопределенном интеграле

	′	′
ТЕОРЕМА 7.6.1. Если u ( x)ÎC[a,b], v ( x)ÎC[a,b] , то
b	b	b
b	b	b
∫udv = uv	- ∫vdu .
a	a	a

Доказательство. Следует из формулы интегрирования по частям в неопределенном интеграле а также формулы Ньютона-Лейбница.

π
2	1
Пример 7.6.1. Вычислить ∫ x × cos	1	xdx .
Пример 7.6.1. Вычислить ∫ x × cos	2	xdx .
0	2
0

Решение. Применим формулу интегрирования по частям в опреде-

b	b	b
ленном интеграле ∫udv = uv	a	- ∫vdu .
a	a	a

Будем иметь

π				u = x; du = dx;																π		π
π																						π
2	1																	x			2				x
2																				2 - 2 ∫ sin
∫ x × cos		xdx =						x				x		= 2x			×sin									dx =
∫ x × cos		xdx =		dv = cos				x	dx; v =			x		= 2x			×sin									dx =
0	2										2sin						2			0	0		2
0	2										2sin						2				0		2
							2				2
															π

					p		2						x				p 2				2
					p		2						x		2		p 2				2
			= 2 ×			×			- 0	+ 2	× 2cos					=			+ 4					-1 .
			= 2 ×		2	×	2		- 0	+ 2	× 2cos					=	2		+ 4		2			-1 .
					2		2				2				0		2				2
															0

Пример 7.6.2. Вычислить ∫ x 2 ln xdx .

Решение. ∫ x 2 ln xdx =


u = ln x; du =	1		dx;			3		2
u = ln x; du =			dx;		x	3		2	1	2
	x			=	x		ln x	-	1	∫ x 2dx =
		x 3		=			ln x	-		∫ x 2dx =
dv = x 2dx; v =		x 3		3				1	3	1
dv = x 2dx; v =
3

=	8	ln 2 -	1	ln1 -	1	×	x 3	2	=	8	ln 2 -	1	(8 -1) =	8	ln 2 -	7	.

3			3		3	3		1	3			9	3			9

Пример 7.6.3. ∫ x 2 sin xdx = 0 .

−π

Упражнение. Какое свойство определенного интеграла позволяет получить результат, не вычисляя заданный определенный интеграл?

7.7.Замена переменных в определенном интеграле

ТЕОРЕМА 7.7.1.

Если

′

f ( x)ÎC[a,b] ; 2) x = x (t ), x (t )ÎC[α,β]

и при изменении

t от α до β значения x (t )

попадают в отрезок [a,b];

3) x (a) = a, x (b) = b , то

b∫ f ( x)dx = β∫ f (x (t )) x¢(t )dt .

cos x

Пример 7.7.1. Вычислить ∫

dx .

2sin x + 3

cos x

dx =

2 d (2sin x + 3)

Решение. ∫

∫

2sin x + 3

										π
										π
=	1	ln		2sin x + 3					2 =		1	(ln	5		− ln				3	) =					1	ln	5	= ln				5	.
	1										1														1		5					5

2									2																2	3						3
2									2																2	3						3
									0
Пример 7.7.2.												11				dx
						Вычислить ∫										dx					.
						Вычислить ∫															.
												4		x			x + 5
												4
11																						2							2
11				dx			=			x + 5 = t;				x + 5 = t								2	;			x = t			2	− 5;
Решение. ∫				dx						x + 5 = t;				x + 5 = t									;			x = t				− 5;					=


4			x		x + 5			dx = 2tdt; α =										4 + 5						= 3; β =							11 + 5			= 4


4	2tdt	4	dt		1			t -	5	4
= ∫	(t 2 - 5)t	= 2∫		= 2 ×		ln
= ∫		= 2∫	2 - 5	= 2 ×		ln
3		3 t	2 - 5		2 5		t + 5			3

=	1	ln		4 -	5	-	1	ln		3 -		5	.
=		ln	4 +			-		ln	3 +				.
5			4 +		5	5			3 +		5

Пример 7.7.3. Вычислить ∫

2 + cos x

= t;

x = 2arctg t;

dx =

2dt

;

+ t

Решение. ∫

+ cos x

cos x =

1 - t 2

; α = tg

= 0; β = tg

= 1

1 + t 2

2dt

1 + t 2

= ∫

= 2∫

2 + 2t 2 +1 - t 2

3 + t 2

2 +

1 - t

1 + t

= 2 ×

arctg

1 =

- 0

3 6

7.8. Несобственные интегралы первого рода. Сходимость несобственных интегралов

7.8.1. Несобственный интеграл первого рода

Определение 7.8.1. Пусть f ( x)ÎC[a,+∞) . Несобственным инте-

гралом от функции f ( x) по промежутку [a, +¥) называют предел

	B	+∞
lim	∫	f (x)dx = ∫ f (x)dx	(7.8.1)
B→+∞	a	a
	a	a

Определение 7.8.2. Если предел (7.8.1) существует и конечен, то несобственный интеграл первого рода называют сходящимся. В против-

ном случае – расходящимся.

Замечание 7.8.1. Геометрически несобственный интеграл первого рода вычисляет площадь неограниченной фигуры.

Рассмотрим функцию		y = f (x) ,	причем
f (x) ³ 0	для x Î[a;+¥) .
		+∞
В	этом случае Н.И.	∫ f (x)dx	выражает

площадь неограниченной (бесконечной) области, заключенной между линиями y = f (x), x = a и осью

абсцисс, как показано на рис. 7.8.1.

Замечание 7.8.2. В физике с помощью не- собственного интеграла вычисляют потенциал электростатического поля.

Пример 7.8.1. Вычислить или доказать расходимость

+∞

−kxdx .

∫ e

Решение. Воспользуемся определением Н.И. Будем иметь

+∞

−kx

∫

dx =

lim

∫ e

dx =

lim

× e

B→+∞

> 0,

= -

lim e

−kB

- e

> 0

Н.И. сходится

при

< 0,

k B→+∞

+¥,

Н.И. расходится

< 0

Пример 7.8.2. Вычислить или доказать расходимость

+∞ dx

∫

+∞

(ln B - ln1) = ¥ .

Решение.

∫

lim

∫

lim

B→+∞ 1

B→+∞

Таким образом, по определению, исходный интеграл расходится.

+∞

Пример 7.8.3. Вычислить или доказать расходимость ∫ cos xdx .

	+∞					0
			B		B
Решение.	∫	cos xdx = lim	∫cos xdx = lim sin x			=

	0	B→+∞	0	B→+∞	0

= lim	[sin B - sin 0](не существует) Н.И. расходится.
B→+∞

Определение 7.8.3. Пусть		f ( x) ÎC[−∞,B] , тогда несобственным
интегралом первого рода по промежутку [-¥, B]			называют
	B	B
	lim ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx .			(7.8.2)
	A→−∞ A	−∞
Определение 7.8.4. Пусть		f ( x) ÎC(−∞,+∞) , тогда несобственным
интегралом по промежутку (-¥, +¥) называют
+∞	0	+∞
∫	f (x)dx = ∫	f (x)dx + ∫	f (x)dx .	(7.8.3)
−∞	−∞	0

Определение 7.8.5. Интеграл (7.8.3) называется сходящимся, ес- ли в сумме сходится каждый из интегралов.

7.8.2. Исследование на сходимость несобственного интеграла первого рода

ТЕОРЕМА 7.8.1. (первый признак сравнения). Пусть при дос-

таточно больших х выполняется неравенство 0 < f (x) < ϕ(x) . Рассмот-

рим интегралы:

+∞
∫ f (x)dx ,	(7.8.4)
a
+∞
∫ j(x)dx .	(7.8.5)

Тогда:

1)если несобственный интеграл (7.8.5) сходится, то сходится и не- собственный интеграл (7.8.4).

2)если несобственный интеграл (7.8.4) расходится, то расходится и несобственный интеграл (7.8.5).

ТЕОРЕМА 7.8.2. (предельный признак сравнения). Если суще-

ствует предел lim	f (x)	= k,	k ¹ 0, k ¹ ¥, то несобственные интегралы (7.8.4),

x→∞ j(x)
(7.8.5) сходятся или расходятся одновременно.
Следствие 7.8.1.			Если f (x) ϕ(x) , то Н.И. (7.8.4) и (7.8.5)
			x→∞

сходятся или расходятся одновременно.

<<< < Предыдущая 1 23 / 253 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20152.77 Mб41умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл.pdf
#
18.05.20153.63 Mб50умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб34умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб39умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб41умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб40умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб33умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf