Radzevich, S.P. Monograph - 2001

P11 0,5 a11 a22 a11 a22 cos 2 a12 sin 2 ;

P22 0,5 a11 a22 a11 a22 cos 2 a12 sin 2 .

Эти уравнения эквивалентны уравнениям (33) и (35).

Так как взаимоогибаемые поверхности Д и И не должны внедряться одна в другую, то при изменении величины угла в пределах 0 зазор между поверхностями, измеренный на некотором достаточно малом расстоянии от точки K , должен быть одного знака – положительным. Поэтому поверхность приведенной кривизны представляет собой эллиптический параболоид, в частных случаях вырождающийся в параболический цилиндр. Она не может быть гиперболическим параболоидом.

В локальном подвижном ортонормированном базисе, например, в трехграннике Дарбу, уравнение поверхности приведенной кривизны приводится к виду:

Это, в частности, следует из (26).

Наряду с поверхностью приведенной кривизны, которая определяется исходя из (29), в рассмотрение может быть введена поверхность приведенного радиуса кривизны. Для такой поверхности выполняется условие

Rпр Rд Rи .

Без доказательства укажем, что в локальном подвижном ортонормированном базисе уравнение поверхности приведенного радиуса кривизны также можно привести к виду

2z R1.прx2 R2.пр y2 .

Во многих отношениях поверхность приведенного радиуса кривизны эквивалентна поверхности приведенной кривизны.

4.4.3. Индикатриса кривизны (индикатриса Дюпена) поверхности Д(И). Строение и особенности локальной топологии поверхности Д И в дифференциальной окрестности текущей точки M на ней удобно

исследовать при помощи индикатрисы кривизны. Индикатриса1 кривизны поверхности показывает характер

некоторое приближение индикатрисы Дюпена. Далее считаем, что расстояние стремится к нулю 0 и

1Индикатриса (франц. indicatrice, букв. – указывающая), линия или поверхность, наглядно характеризующая какое-либо свойство изучаемого объекта.

При ортогональной параметризации поверхности Д И уравнение (44) упрощается и преобразуется к виду:

Если рассмотрение вести в трехграннике Дарбу, начало которого совмещено с точкой M , уравнение индикатрисы кривизны может быть получено существенно проще. В этом случае из формулы Эйлера

что и является уравнением индикатрисы Дюпена.

Из (44) и (45) следует, что индикатриса Дюпена представляет собой плоскую кривую второго порядка. Это позволяет использовать матричную форму записи уравнения этой характеристической кривой исходя при этом из общего уравнения конического сечения:

Это уравнение можно представить в виде

Axд2 и 2Hxд и yд и Byд2 и 2Gxд и 2Fyд и C .

Здесь a 2 b2 c2 0 .

Приведенные результаты (44), (48) и (49) позволяют представить уравнение (44) индикатрисы кривизны

регулярной точки на ней. Это плоская характеристическая кривая, во всех случаях обладающая зеркальной и центральной симметрией. Ее асиптоты совпадают с асиптотическими направлениями на поверхности Д И , а

оси – с направлениями касательных к линиям кривизны.

Индикатрису Дюпена (44) и (45) можно также интерпретировать как вращение оператора формы Φ2.д и

(Koenderink, J.J., 1990).

В дифференциальной геометрии поверхности рассматриваются как бесконечно тонкие оболочки, т.е. без учета стороны, с которой расположен материальный носитель формы поверхности. В теории формообразования поверхностей деталей в обязательном порядке учитывается сторона поверхности, с которой расположено тело детали или инструмента, т.е. различают открытую и закрытую стороны поверхности (см. выше, рис. 1.6). Вследствие этого появляются особенности в определении понятия

“индикатриса кривизны поверхности Д И ”. В указанном смысле понятие индикатриса кривизны поверхности Д И представляет собой не кривую линию, а участок плоскости, расположенный внутри или вне собственно индикатрисы Дюпена. Поэтому уравнение индикатрисы кривизны для поверхности Д И требует уточнения и может быть записано так (1.117), (1.118):

Индикатрисы кривизны Ind Д И , построенные по (52) и (53), приведены в табл. 1.1.

Индикатрису Дюпена точнее следовало бы называть не индикатрисой кривизны, а индикатрисой нормального радиуса кривизны, поскольку она определяет характер распределения в дифференциальной

окрестности точки M на поверхности Д И не собственно кривизны kд и , а нормального радиуса кривизны Rд и (точнее – квадратного корня из абсолютной величины нормального радиуса кривизны).

Аналогично индикатрисе Дюпена Ind Д И можно построить индикатрису Ind k Д И собственно кривизны, т.е. характеристическую кривую, в отличие от индикатрисы Дюпена определяемую не

может оказаться удобной в приложениях. В частности, для локального участка уплощения поверхности индикатриса Дюпена не определена, тогда как индикатриса собственно кривизны Ind k Д И в этом случае однозначно определяет точку, совпадающую с началом системы координат xд и yд и , т.е. точку M .

В трехграннике Дарбу уравнение индикатрисы кривизны Ind k Д И может быть получено из формулы

Приведенные результаты (56)-(58) дают возможность геометрически интерпретировать уравнение (54) индикатрисы собственно кривизны Ind k Д И поверхности Д И (рис. 4.10).

Индикатрисы кривизны Ind k Д И (см. рис. 4.10) построены для случаев: