Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сумский государственный университет

Предмет:

Технология машиностроения

Файл:

Radzevich, S.P. Monograph - 2001

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.08.2013

Размер:

24 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 6017 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

160	3.2. Сведения о матрицах, необходимые для решения задач формообразования поверхностей деталей
																							2				2				5					1

	1 0	0 0																					7				7				7			7
	1 0	0 0																					7				7				7			7
																						9							39			2			5
	0 1	0 0									и										7						14				7			14			.
	0 0	1 0																					1				9						1	1

																							7				14						7	14
	0 0	0 1																					7				14						7	14
																							1					1					1	3
																							1					1					1	3
																							7				7						7	7
																							7				7						7	7
																							1			, обратная заданной матрице A :
Полученная выше матрица (она расположена справа) и есть искомая матрица A																										, обратная заданной матрице A :
					2		2			5						1

					7		7			7				7					4								10 2
					7		7			7				7					4		4						10 2
				9				39		2					5			1	18	39							4 5
		1																1	18	39							4 5
		A		7			14			7				14							9						2				.
		A		7			14			7				14																	.
					1		9					1		1			14		2											1

					7	14						7		14							2						2
					7	14						7		14					2		2						2			6
					1		1					1		3
					1		1					1		3
					7		7					7		7
					7		7					7		7
																								1			должно быть равно Е :
В правильности полученного результата легко убедиться, сделав проверку: A A																											должно быть равно Е :
		2	3 11 5							4			4				10 2			1					0 0 0
									1				39
		1 1 5				2			1	18			39				4 5			0					1 0 0						.
		2 1 3				2			14	2			9				2		1	0					0 1 0						.
		2 1 3				2			14	2			9				2		1	0					0 1 0
													2				2
		1 1 3				4				2			2				2		6	0					0 0 1

Следовательно, найденная матрица действительно является матрицей A 1 , обратной к исходной матрице A .

Отметим, что для обращения матриц высоких порядков разработаны эффективные программы для ЭВМ. Приведение матриц к удобному для выполнения вычислений диагональному виду связано с понятиями

собственного числа и собственного вектора матрицы.

Для квадратной матрицы A , при помощи которой производится линейное преобразование вектора X в

вектор Y : A X Y , можно подобрать	такой вектор X ,	что произведение A X даст вектор, равный
исходному, умноженному на скаляр :
(3.3)	A X λ X .

В этом случае вектор X будет собственным вектором матрицы A , а – ее собственным числом. Записав уравнение (3) в форме

A λ E X 0 ,

представим его в развернутом виде:

	a11 λ
		a 21
		a 21
(3.4)		a31


		a n1
		a n1

a12	a13
a 22 λ	a 23
a32	a33 λ

a n2	a n3

	a			X
		1n				1
	a 2n			X2
a3n				X3			0 .


a					X
a	nn		λ		X	n
	nn					n

3. Системы координат и линейные преобразования

161

Полученная система однородных уравнений может иметь ненулевое решение, если определитель системы равен нулю:

a11 λ	a12	a13	a1n
a11 λ	a12	a13	a1n
a 21	a 22 λ	a 23	a 2n
a31	a32	a33 λ		a3n	0	(3.5)

a n1	a n2	a n3	a nn λ

или в свернутой матричной форме

A λ E

0 .

матрицы A . Раскрывая определитель

Это уравнение будет характеристическим уравнением

(5),

получим уравнение n й степени относительно :

λn B λn 1

λ B

0 .

(3.6)

n 1

Уравнение (6) имеет

“n ” корней, следовательно,

квадратная матрица n го порядка имеет

“n ”

собственных чисел i i 1,

2, , n . Каждому собственному числу соответствует собственный вектор:

X X

T .

Один из возможных путей нахождения собственных векторов заключается в следующем. Равенство нулю определителя системы линейных уравнений (4) означает, что одно из уравнений системы является линейной комбинацией остальных. Исключая это зависимое уравнение, получим систему из (n 1 ) уравнений.

Подставляя последовательно 1 , 2 , , в (6) и решая систему “n ” раз, можем с точностью до произвольного множителя найти векторы X1, X2 ,

Квадратная матрица, составленная из собственных векторов

X12

X X13

X1n

X21	X31	Xn1
1	X32
1	X32	Xn2
X23	1	Xn3	,


X2n	X3n	1
X2n	X3n	1

называется фундаментальной. Она обладает тем свойством, что умножение матрицы A на фундаментальную матрицу слева и на обратную фундаментальной справа приводит исходную матрицу к диагональному виду:

	λ1		0		0
X A X		0	λ		0
X A X			1			.
1			1


		0	0	λn

Пример 3.5. Рассмотрим как находятся собственные числа и собственные векторы матрицы

	72	18
A		6	.
18

162	3. Системы координат и линейные преобразования
Характеристическое уравнение матрицы A
		72 λ	18	0 .
		72 λ	18
		18	6 λ

Раскрыв определитель, после преобразований получим квадратное уравнение λ2 78λ 108 0 . Корни этого уравнения являются собственными числами матрицы A : λ1 76,59 и λ2 1,41 .

Собственные векторы матрицы A определяем из уравнений

72 λi X1i 18X2i 0;18X1i 6 λi X2i 0.

	Так как эти уравнения линейно зависимы, для определения собственных векторов можно использовать любое из них, Полагая
X11	1 , из первого уравнения при	λ1 76,59	находим	X21 0,255 . Аналогично, принимая			X22 1 ,	λ2 1,41 , получаем
X12	0,255 .
	Матрица собственных векторов имеет вид
				1	0,255
			X		1	.
			0,255		1
	Легко убедиться, что произведение X A X 1		дает диагональную матрицу.

Приведенные сведения из алгебры матриц являются полезными при решении задач формообразования поверхностей деталей. Более полное изложение теории матриц и ее применения можно найти в многочисленных изданиях (Hohn, F.E., 1973; Метьюз Д., Уокер Р., 1972; Беклемишев Д.В., 1974; Strang, G.,

1986: Potter, M.C., 1978 и др.).

3.3. Системы координат станков с ЧПУ

Станок с числовым программным управлением характеризуется количеством и характером управляемых от системы ЧПУ движений его рабочих органов. Это линейные и поворотные движения вдоль и вокруг осей координат, в совокупность которых не входят вращения инструмента или заготовки, необходимые для осуществления собственно процесса резания. Например, токарный станок с ЧПУ имеет только два поступательных движения вдоль осей, параллельной и перпендикулярной оси шпинделя станка, т.е. вдоль осей Xст и Zст , тогда как вертикально-фрезерный станок имеет три управляемых от системы ЧПУ движения.

Вращение шпинделя (шпинделя заготовки на токарном станке или шпинделя инструмента на вертикально-фрезерном станке) обычно от системы ЧПУ не управляется (Melkanoff, M.M., Chang, C.-H. 1989).

Для определения взаимного положения и относительных движений инструмента и заготовки используется правая ортогональная система координат. Оси координат и управляемые от системы ЧПУ движения регламентированы стандартом ISO-R 8411.

Особенностью стандарта ISO-R 841 является то, что ось координат Zст всегда приимают параллельной

оси главного шпинделя станка (рис. 3.4) независимо от того как этот шпиндель расположен – вертикально или горизонтально. При контурной обработке плоскостей эта особенность позволяет использовать в программном обеспечении обозначение координат через Xст , Yст независимо от расположения оси шпинделя станка. В

качестве положительного направления оси Zст принимают направление от заготовки к инструменту. Ось

1EIA Standard RS-267-B: Axis and Motion Nomenclature for Numerically Controlled Machines (ANSI/EIA RS-267-B-83). Washington, D.C.: Electronic Industries Association, June 1983.

ISO Standard 841-1974: Axis and Motion Nomenclature for Numerically Controlled Machines. Geneva, Switzerland: International Organization for Standardization, 1974.

Рис. 3.4. Оси координат и управляемые от системы ЧПУ движения станка.

Yст

Xст

3.3. Системы координат станков с ЧПУ

Zст	Zст	С
Yст	В	Xст
А		А
		А
Xст	С	Yст
Xст		В
	Zст	В
	Zст
	Xст

X Y

Zст

Yст

163

Xст всегда горизонтальна. Если ось Zст верти-

кальна, то положительное направление оси Xст

будет направлено вправо, если смотреть от лицевой стороны станка в сторону тыльной его стороны. Если ось Zст горизонтальная,

положительное направление оси Xст будет

направлено вправо, если смотреть в направлении от шпинделя к заготовке. Направление оси Yст

определяется по направлениям двух других осей. Положительное направление оси Yст определяется

по правилу правого винта, расположенного вдоль оси Zст : поворот винта в

направлении от оси Xст к оси Yст должен соот-

ветствовать продвижению его в направлении Zст ,

поскольку используется правая система координат.

Положение начала координат допускается принимать произвольно. Поступательное движение инструмента вдоль осей координат обозначают так же, как и соответствующие оси. Перемещение подвижных органов станка с ЧПУ, приводящее к увеличению расстояния между заготовкой и инструментом, дополнительные движения, параллельные осям Xст , Yст , Zст , обозначают u , v и w (вторичные) или p , q

и r (третьей очереди). Вращательные движения вокруг осей Xст , Yст и Zст обозначают буквами A , B и

C , а дополнительные вращательные движения – буквами D и E . Положительные направления вращательных движений A , B и C соответствуют направлению вращения правого винта при его движении соответственно вдоль осей Xст , Yст и Zст . Перемещения заготовки и инструмента в системе

обозначают по-разному: движения заготовки помечают штрихом сверху ( Xст , Yст , Zст , A , B , C и т.д.),

а положительные направления перемещений заготовки соответствуют отрицательным направлениям перемещений инструмента. Если станок с ЧПУ имеет несколько шпинделей, один из них принимают в качестве главного. Для станков с ЧПУ, в конструкции которых предусмотрены повороты оси шпинделя, он в основном своем положении, соответствующем оси Zст , перпендикулярен плоскости установки заготовки. В

случае дублирования координатных перемещений в качестве первичных движений Xст , Yст и Zст

принимают движения узлов, расположенных ближе к шпинделю. В соответствие с этим вращение главного шпинделя всегда обозначают буквой C . Если в компоновке станка предусмотрены одновременно шпиндели детали и инструмента, первый считают главным и его вращение обозначают буквой C , а вращение второго – буквой A ( вращение вокруг оси Xст ), буквой B (вращение вокруг оси Yст ) или буквой D (вращение

вокруг оси Zст ).

164	3. Системы координат и линейные преобразования

3.4. Преобразования декартовых систем координат

Системой координат считаем систему правил, описывающих геометрический образ: точку, линию или поверхность в пространстве соответствующим набором чисел X , Y , Z , которые являются координатами или компонентами геометрического образа. Число координат, требуемых для задания точки, определяется размерностью пространства, в котором она описывается. В теории формообразования поверхностей деталей геометрические образы рассматриваются в двумерном ( E2 ) и трехмерном E3 евклидовом пространстве.

3.4.1.Системы координат с параллельными осями. Рассмотрим исходную систему координат X YZ ,

11 1

вкоторой разместим новую систему координат X2Y2Z2 . Последовательные переносы системы координат

X YZ		вдоль собственных осей до положения	X Y Z		2	можно представить так (рис. 3.5).
1 1	1		2	2	2

	Z1			Z1	Z2
	Z2				d y
	dx
		Y	X		Y	Y
		1	X		1	X2
		Y2	1			с
X2	X1	Y2			X2
		1.			2.

Z1 dz X2 Y2

	Y
X1	1
X1
	3.

Рис. 3.5. Последовательный перенос системы координат вдоль собственных осей.

В общем случае начало системы координат

X Y Z

в исходной системе

X YZ

определим вектором

1 1

d d

. Ее оси направим параллельно соответствующим осям системы координат X YZ . Пусть

1 1

в исходной системе координат произвольная точка

M задана радиус-вектором r

M . Тогда ее координаты в

новой системе координат определятся так (рис. 3.6):

(3.7)

r M

M d .

Если использовать развернутую матричную форму записи, то уравнение (7) можно переписать в виде

(M )

Таким образом переход от исходной системы координат к

новой

осуществляется

при

помощи

столбцовой

матрицы

d x

d y

d z

T . Обратный переход от новой системы коорди-

нат

X Y Z

к исходной

X YZ

описывается уравнением

1 1

Рис. 3.6. Параллельный перенос

начала координат.

						3.4. Преобразования декартовых систем координат																					165
3.4.2.	Линейные преобразования. В										декартовых координатах вектор									X	2	Y Z				2	T , получаемый из
		X Y Z T																			2			2		2
исходного	вектора	X Y Z T				в	результате					линейного преобразования								пространства, в общем виде
		1		1	1
записывается так:
								X2			A11		A12	A13			X1
								Y			A		A A				Y	.
								2			21		22	23			1
								Z		2	A		A A				Z
										2	31		32	33			1

											Матрица линейного
											преобразования
Компоненты Aij		матрицы A					линейного преобразования определяются через направляющие косинусы
углов между осями координат исходной X1Y1Z1 и новой X2Y2 Z2																	системами координат:
		A	cos X , X					2	;		A	cos Y , X			2	;		A	cos Z , X					2	;
		11				1		2	;		12		1		2			13		1				2
		A		cos X ,Y					;		A	cos Y ,Y ;					A		cos Z ,Y					;
		21				1		2	;		22		1	2		;		23		1		2			.
		A		cos X , Z				2	;		A	cos Y , Z			2	;		A	cos Z , Z				2		.
		31				1		2			32		1		2			33		1			2

При этом положительное направление отсчета углов между осями координат противоположно направлению хода часовой стрелки.

В приведенных соотношениях на косинусы углов можно также смотреть как на проекции ортов i 2 , j 2 , k 2 новой системы координат на оси X1 , Y1 , Z1 исходной системы.

Обратное преобразование, которое необходимо для перехода от новой системы координат X2Y2 Z2 к исходной системе X1Y1Z1 , описывается матрицей, обратной матрице A , т.е. матрицей A 1 . Поскольку

матрица A ортогональна, то A 1 A T , а матрица A 1				обратного преобразования координат может быть
получена путем транспонирования матрицы A прямого преобразования координат:
			A	A	A
1	A	T	11	21	31
A	A		A12	A22	A32 .
			A	A	A
			13	23	33

Нахождение транспонированной матрицы менее трудоемко, чем определение обратной (если обратная равна транспонированной). Это следует отнести к преимуществам рассматриваемого способа преобразования координат.

Часто встречаются случаи, когда исходная и новая системы координат развернуты одна относительно другой вокруг одной общей оси координат. Более того, сложное относительное расположение систем координат X1Y1Z1 и X2Y2 Z2 , как правило, удобнее разложить на несколько простых поворотов вокруг осей

координат с тем, чтобы матрицу результирующего преобразования координат получить как произведение записанных в соответствующем порядке матриц частных преобразований координат. Для подобных случаев взаимного расположения систем координат матрицы преобразования координат существенно упрощаются и могут быть записаны так:

при повороте вокруг оси X1 на угол (рис. 3.7.1):

	1	0	0
A	0	cos χ	sin	;
X
		sin χ	cos χ
	0	sin χ	cos χ

166

3. Системы координат и линейные преобразования

при повороте вокруг оси Y1

на угол

(рис. 3.7.2):

cos ξ

sin ξ

;

sin ξ

cos ξ

при повороте вокруг оси

Z1 на угол (рис. 3.7.3):

cos ζ

sin ζ

A sin ζ

cos ζ

0 .

Рис. 3.7. Поворот системы координат вокруг осей координат.

Обратные преобразования

A 1 A T

, A 1 A T

A 1 A T

производятся при помощи

транспонированных

матриц

соответственно.

Ai Ai1

Ai3 (строки матрицы),

комплектующие матрицу A линейного

Векторы

Ai2

преобразования, представляют собой линейно независимую систему векторов. Поэтому из девяти элементов

матрицы

A независимыми являются только три ее элемента,

которые не должны составлять какой-либо

столбец или строку этой матрицы.

Пусть матрица

A1 2

перехода от первой системы координат X1Y1Z1 ко второй системе координат

X2Y2 Z2

представлена в форме:

cos X

2 1

(3.8)

cos Y ,X

cos Y ,Y

cos Y ,Z

1 2

2 1

cos Z

2 1

Обозначим орты i1 , j1 , k 1		исходной системы координат X1Y1Z1							после перевода ее в новую систему
координат	X2Y2 Z2 через a 2 a x	, a y	, a z	, b 2 bx	, by	, bz	, c2 cx , c y			, cz	. Эта запись указывает на то,
	2	2	2	2	2	2	2	2		2
что орты	i1 , j1 , k 1 разложены по осям новой системы координат							X2Y2 Z2 . На основании формулы (8)
матричное представление этих векторов может быть записано в форме:

				c	x	a	13
		c		c	x	a	13	.
c	2	c	2	c	2	a	23	.
	2		2		y2		23
				c	z2	a	33
					z2		33

Линейные преобразования, задаваемые матрицей A aij , ортогональны. Условия ортогональности записываются так:

aiaTj	a	2	a	2		a	2	1;	aiaTj	ai	a j	ai	2	a j	2	ai	a j	3	0	,	i j .
		i		i	2		i			1	1		2		2		3	3
		1			2		3

Так как орты a 2 , b 2 , c2 – единичные и взаимно перпендикулярные, то

3.4. Преобразования декартовых систем координат								167
a	2	a	2	а2	a 2	a 2	1;
	2		2	11	21	31
b 2 b 2 a122 a222						a322	1;
c2 c2				a132	a232	a332	1;	(3.9)

a 2 b 2 a11a12 a21a22 a31a32 0; a 2 c2 a11a13 a21a23 a31a33 0; b 2 c2 a12a13 a 22a23 a32a33 0.

Шесть уравнений (9) связывают девять элементов матрицы (8). Следовательно, независимыми являются только три элемента матрицы A1 2 .

Для контроля правильности выполнения действий в случае необходимости выполнения многократных преобразований координат целесообразно использовать соотношения, связывающие элементы

матрицы A1 2 . Помимо

зависимостей

(9), можно

получить

еще

шесть зависимостей для

указанных

элементов матрицы A1 2 .

Обозначим через

a x , a y , az

b1 bx , by

, bz

c1 cx

, cy

, cz

орты новой системы

координат

X2Y2 Z2 , разложенные по осям исходной системы координат X1Y1Z1 . На основании (8) запишем

a11

a21

a31

;

c a

a13

a33

Так как векторы a1 ,

b1 , c1 – единичные и взаимно перпендикулярные, то

a1 a1 a112 a122 a132 1;

b1 b1 a212 a222

a232

c1 c1

a312 a322

a332

(3.10)

a1 b1 a11a 21 a12 a22 a13a23 0;

a1 c1 a11a32 a12 a32 a13a33 0;

b1 c1 a21a31 a22a32 a23a33 0.

Три независимых элемента матрицы преобразования координат A1 2 должны быть выбраны таким

образом, чтобы ни одно из уравнений (9) или (10) не вырождалось в тождество.

На основании (9) и (10) можно указать следующее правило проверки правильности вычисления элементов матрицы A1 2 :

- определитель матрицы преобразования A1 2 равен		A1 2		1 (“+”– если левая система координат

преобразована в левую или правая система координат преобразована в правую, и “–” – если левая система координат преобразована в правую и наоборот, если правая система координат преобразована

вправую);

-сумма квадратов элементов, содержащихся в одной и той же строке (или в одном и том же столбце), равна единице;

-сумма произведений соответствующих элементов двух строк (или двух столбцов) равна нулю;

-каждый элемент определителя матрицы преобразования равен своей адъюнкте (адъюнкта – это минор

определителя, взятый с учетом знака), умноженной на A1 2 1 .

168	3. Системы координат и линейные преобразования

Если исходная и новая системы координат не только имеют разные начала координат, но и их оси развернуты одна относительно другой, то результирующее преобразование координат описывается выражением:

X2		A11
Y		A
2		21
Z	2	A
	2	31

A12	A13	X1	d x
A	A	Y	d		,
22	23	1		y
A	A	Z	d
32	33	1		z

где первая матрица в произведении описывает линейное преобразование, а последняя столбцовая матрица задает линейное смещение начала новой системы координат X2Y2 Z2 в исходной системе координат X1Y1Z1 .

3.4.3. Однородные координаты точек. Для решения задач формообразования сложных поверхностей деталей на многокоординатных станках с ЧПУ преобразования координат, удобно описывать при помощи матриц и векторов четвертого порядка. Основная особенность и главное преимущество этого подхода заключается в том, что любые преобразования координат могут быть описаны при помощи одной математической операции умножения матриц, тогда как использование матриц и векторов третьего порядка требует применения двух операций: преобразование поворота системы координат моделируется умножением матриц, а преобразовани смещения – сложением векторов. Для этого введем в рассмотрение однородные координаты, являющиеся обобщением декартовых координат.

В зависимости от геометрической (физической) природы векторы четвертого порядка точек в трехмерном пространства E3 делят на собственные и несобственные. К первым относят радиус-векторы

точек, ко вторым – векторы, получаемые дифференцированием или бесконечно малым преобразованием радиус-векторов. Координаты векторов четвертого порядка называют однородными координатами. Собственные векторы имеют четвертую однородную координату равную единице, а несобственные – четвертую координату, равную нулю.

Радиус-вектор некоторой точки

M с декартовыми координатами X M ,

Y M ,

Z M записывается в

виде матрицы-столбца четвертого порядка:

(3.11)

M X

1 .

Вектор r M может быть представлен в виде

r M iX M jY M kZ M e .

где i , j , k – орты системы координат. Аналитически они записываются так:

1		0		0

i 0 ;	j	1 ;		k 0 .
0		0		1

0		0		0
Радиус-вектор начала координат равен
(3.12)	e 0 0		0	1 T .

3.4. Преобразования декартовых систем координат

169

Единственная операция, которая преобразует один радиус-вектор в другой радиус-вектор – это умножение первого радиус-вектора на оператор преобразования координат.

По определению радиус-вектора его начало всегда совпадает с началом системы координат. Несобственный вектор a имеет однородные координаты a x , a y , a z и 0, т.е.

a a x a y a z 0

(3.13)

и не представляет никакую точку.

Несобственными векторами вида (13) являются скорость и ускорение точек, нормаль к поверхности, погрешности положения точек и др.

Несобственные векторы можно складывать один с другим и с собственными векторами. В результате получаются соответственно несобственный и собственный вектор, что легко установить, формально выполняя операции с векторами вида (11) и (13). Кроме того, несобственный вектор можно умножить на скаляр, получая в результате этой операции снова несобственный вектор. Координатная запись этих операций может быть представлена так

				a x		ax2
					1
a	1	a	2	a y1 a y2			;
	1		2	az		az2
					1	0
						0

где p – скаляр.

rx ax		pax

r a ry a y	;	p a pa y	,
rz az		paz

1		0

Эти операции имеют ясную геометрическую трактовку. Например, складывая собственный и несобственный векторы, по определению, получаем вектор, приложенный там же, где приложено первое слагаемое, т.е. получаем радиус-вектор.

Для двух несобственных векторов и пары, состоящей из собственного и несобственного векторов, определено скалярное a b и векторное a b произведения, например,

			i	j	k
r a rxax rya y rzaz	и	r a	rx	ry	rz	.
			ax	a y	az

Для трех векторов, из которых хотя бы один несобственный, определено смешанное произведение, например:

a1x	a1y	a1z
a1 a 2 a3 a2 x	a2 y	a2 z .

a3x a3 y a3z

3.4.4.Применение однородных координат. Рассмотрим две системы координат: исходную X1Y1Z1 и новую X2Y2 Z2 . Одна и та же точка M пространства имеет в этих системах разные координаты, за исключением тривиального случая, когда системы координат X1Y1Z1 и X2Y2 Z2 полностью совпадают одна с

другой. Обозначим через r1M и r 2M радиус-векторы вида (13) точки M в каждой из систем координат соответственно. Радиус-векторы r1M и r 2M связаны между собой соотношением

r 2M Rs 1 2 r1M ,

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 6017 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Технология машиностроения

#
13.08.201324 Мб34Radzevich, S.P. Monograph - 2001.pdf
#
10.08.20138 Мб140Анализ и оценка технологичности конструкции деталей авиационной техники (Флек, 2005).pdf
#
13.08.20137 Мб1144Горбацевич - Курсовое проектирование по ТМ.doc
#
10.08.20132 Мб13ГОСТ 3_1702-79 - Единая система технологической документации_ Правила записи операций и переходов_ Обработка резанием.mht
#
13.08.2013949 Кб71Мешкова - Организация Технологии Отрасли.pdf
#
13.08.20134 Мб37Оптимизация Технологических Систем (укр).pdf