Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сумский государственный университет

Предмет:

Технология машиностроения

Файл:

Radzevich, S.P. Monograph - 2001

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.08.2013

Размер:

24 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 606 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

1. Рабочие поверхности деталей и инструментов

д и

2rд и

;

д и

2rд и

;

д и

2rд и

д и

Uд и

д и

Vд и

Аналогично дискриминанту линейного элемента

H д и ,

в рассмотрение

вводится

дискриминант Tд и

второй основной квадратичной формы Φ2.д и поверхности

Д И . Он равен:

Tд и Lд и Nд и Mд2 и .

Используемые при вычислениях вспомогательные коэффициенты и их производные соответственно равны

(Maekawa, T., and Patrikalakis, N., 1994):

д и

2rд и

;

Lд и

n д и

2rд и

д и

3rд и

;

Lд и

n д и

2rд и

д и

3rд и

;

д и

U 2

д и

U 2

д и

Mд и n д и

2rд и

;

Mд и

n д и

2rд и

n д и

3rд и

;

д и

U 2

д и

Mд и

n д и

д и

n д и

3rд и

;

д и

2rд и

Nд и

n д и

2rд и

3rд и

Nд и

n д и

2rд и

3rд и

Nд и n д и

;

n д и

;

n д и

Uд и

Vд и

д и

Дискриминант второй основной квадратичной формы и его

производные,

умноженные

на

n д2 и

(Maekawa, T., and Patrikalakis, N., 1994):

T n

L N

д и

;

д и

Aд и

Tд и

Lд и

д и

Nд и

д и

Mд и

;

U д и

д и

U д и

д и U д и

U д и

Aд и

Tд и

Lд и

Nд и

Mд и

д и

д и V

д и

Имеют место следующие полезные соотношения:

rд и

H д и n д и

H д и Lд и ;

д и

Uд и

д и

Uд и

1.2. Задание рабочих поверхностей деталей и инструментов.

Расчет элементов их локальной геометрии

r д и

2r д и

д и

r д и

2r д и

д и

H д и n д и

H д и Mд и ;

д и

rд и

r д и

rд и

H д и n д и

H д и Nд и .

д и

1.2.2.3. Параметрическая форма уравнения поверхности

Д И может рассматриваться как развернутая

форма записи ее векторного уравнения.

Уравнения поверхности Д И деталей и инструментов в параметрической форме записываются так:

	Xд и Xд и U д и , Vд и ;								(1.44)
	Yд и Yд и U д и , Vд и ;								(1.44)
	Z	д и	Z	д и	U	, V		,
		д и		д и		д и	д и
где Xд и , Yд и ,	Zд и – декартовы координаты текущей точки на поверхности								Д И .

Вид (44) представления поверхностей деталей и инструментов основан на том, что любую поверхность Д И можно рассматривать как пространство двух измерений. Вследствие этого координаты любой ее точки

однозначно определяются двумя независимыми параметрами U д и и Vд и , являющимися криволинейными

(гауссовыми или внутренними) координатами текущей точки M на поверхности Д И . Если на поверхности

введены криволинейные координаты – это свидетельствует о том, что поверхность соответствующим образом параметризована.

Если один из параметров U д и или Vд и принять постоянным, то при изменении другого получим соответствующую координатную линию на поверхности Д И . Так, при Uд и Const и изменении параметра Vд и получим Vд и линию, а при Vд и Const и изменении параметра U д и получим U д и линию на

поверхности Д И (см. рис. 1.3).

Вид параметрических кривых зависит не только от формы и параметров геометрии самой поверхности

Д И , но и от выбора U д и	и Vд и параметров на ней, т.е. от вида	U д и , Vд и параметризации поверх-
ности Д И . Координатные	линии ориентируют в направлении возрастания значений соответствующего
параметра (см. рис. 1.4).		Д И обладает важными преимущест-
Параметрическая форма (44) аналитического описания поверхности
вами. В такой форме можно определить уравнениями любую гладкую поверхность			Д И . Использование пара-
метрического способа аналитического описания поверхности Д И		упрощает	вычисления перемещений

режущего инструмента в задачах числового программного управления; при его использовании преобразование координат не требует модификации функций от используемых параметров; форма (44) пригодна для случаев кусочно-гладкого описания поверхностей и др.

Первые производные уравнения поверхности Д И , заданной параметрическими уравнениями вида (44),

записываются так:

Xд и

, V

;

Yд и

, V

;

Zд и

, V

(1.45)

U д и

Uд и

д и д и

1. Рабочие поверхности деталей и инструментов

(1.46)

Xд и

, V

;

Yд и

, V

;

Zд и

, V

Vд и

д и

Vд и

д и

соответственно.

Уравнения (45) и (46) определяют направления касательных к координатным линиям на поверхности

Д И .

Касательная плоскость. Для гладких регулярных участков поверхности Д И , описанной уравнениями в параметрической форме, уравнение касательной плоскости имеет вид

КП

X M

Y Y M

КП

д и

КП

д и

Xд и

Yд и

Zд и

U д и

Uд и

U д и

Xд и

Yд и

Zд и

Vд и

где XКП , YКП и ZКП – декартовы координаты текущей точки касательной плоскости. В этом уравнении все производные по параметрам U д и и Vд и рассчитаны в точке M на поверхности Д И .

Нормаль к поверхности Д(И). Приведенные выше зависимости для расчета касательных векторов позволяют записать уравнение прямой, нормальной к поверхности Д И , для случая описания поверхности

параметрическими уравнениями:

X X

Y Y M

Z Z

д и

Yд и

Zд и

Xд и

Yд и

U д и

Yд и

Zд и

Xд и

Yд и

Vд и

Первая основная квадратичная форма поверхности Д И . Коэффициенты первой основной квадратичной формы

Φ1.д и Eд и dUд2 и 2Fд и dU д и dVд и Gд и dVд2и

поверхности Д И

(1.47)

в координатах соответственно равны:

д и

Eд и

д и

;

д и

U д и

д и

Fд и

Xд и

Yд и

Zд и

;

д и

Gд и

д и

1.2. Задание рабочих поверхностей деталей и инструментов.
Расчет элементов их локальной геометрии	53
	53

Первая основная квадратичная форма Φ1.д и поверхности Д И имеет вид:

– ортогональный

Ф	dS	2	E	dU	2	G	dV2
1.д и		д и		д и	д и		д и	д и

вортогональных координатах;

–канонический

Ф	dS	2	dU	2	G	dV 2
1.д и		д и		д и		д и	д и

вполугеодезических координатах;

–изотермический (или изометрический)

Ф		dS	2	2 U	, V		dU	2	dV 2
1.д и			д и		д и	д и		д и	д и

в изотермических координатах.

Вторые производные уравнения поверхности Д И . Если поверхность Д И задана параметрическими уравнениями, то из (45) и (46) получим

2 X

д и

2 X

д и

;

2 Z

д и

2 Z

д и

;

, V

д и

, V

U д2 и

д и

Uд2 и

U д2 и

д и

U д2 и

д и д и

2 X

д и

2 X

д и

;

, V

д и

, V

д и

2 Zд и

, V

;

д и д и

д и

2 X

д и

2 X

д и

;

2 Z

д и

2 Z

д и

, V

д и

, V

V 2

д и

V 2

д и

V 2

д и д и

д и

Вторая основная квадратичная форма поверхности Д И . Коэффициенты второй основной квадратичной формы

Φ2.д и Lд и dU д2 и 2Mд и dU д и dVд и Nд и dVд2и

поверхности Д И в координатах соответственно равны:

1. Рабочие поверхности деталей и инструментов

2 X

д и

2 Z

д и

Uд2 и

U д2 и

Xд и

Yд и

Zд и

Uд и

U д и

Xд и

Yд и

Zд и

(1.48)

Lд и

Vд и

;

д и д и

д и

2 X

д и

2 Z

д и

Xд и

Yд и

Zд и

U д и

Uд и

Xд и

Yд и

Zд и

(1.49)

Мд и

Vд и

д и

2 X

д и

2 Z

д и

Xд и

Yд и

Zд и

Uд и

U д и

Uд и

Xд и

Yд и

Zд и

(1.50)

Nд и

Vд и

д и

1.2.2.4. Явная форма аналитического описания поверхности

Д И

может рассматриваться как частный

случай ее описания уравнениями в параметрической форме.

Уравнение поверхности Д И деталей и инструментов:

(1.51)

Zд и Zд и Xд и , Yд и .

Уравнение (51) тесно связано с параметрической формой задания поверхностей деталей и инструментов.

1.2. Задание рабочих поверхностей деталей и инструментов.

Расчет элементов их локальной геометрии

Это становится очевидным, если явное уравнение поверхности

Д И в форме Г.Монжа1 переписать в виде:

д и

;

д и

;

д и

Xд и , Yд и U.

Yд и Yд и ;

Yд и Vд и ;

(1.52)

, Y

;

, V

;

д и

При описании поверхности Д И уравнениями в явной форме, на ней можно построить три семейства

линий уровня.

Первые производные уравнения поверхности Д И равны:

Zд и

, V

Zд и

, V

Xд и

д и

Yд и

д и

Эти уравнения определяют направления касательных к поверхности

Д И .

Касательная плоскость. Для случая описания поверхности

Д И

уравнением в явном виде уравнение

касательной плоскости записывается так:

Zд и

ZКП Zд и

XКП Xд и

YКП Yд и

д и

Нормаль к поверхности

Д И . При задании поверхности

Д И

уравнением в явном виде уравнение

нормали определяется по формуле:

X X

Y Y M

Z Z M

д и

Zд и

Xд и

Yд и

Первая основная квадратичная форма поверхности Д И . Если поверхность Д И аналитически описана

уравнением в явной форме, то для расчета гауссовых коэффициентов первой основной квадратичной формы Φ1.д и могут быть использованы упрощенные формулы

д и

;

; G

д и

Это позволяет записать формулу для расчета площади участка поверхности Д И :

1Монж, Гаспар (Monge, Gaspard ) (10.5.1746-28.7.1818) – французский математик и механик, член Французской АН (с 1783, чл.-кор. с 1772, адъюнкт с 1780) и Национального института (1795-1814). Родился в Боне. Основатель и профессор Политехнической школы. Монжу принадлежат основополагающие результаты в области начертательной, аналитической и дифференциальной геометрии, работы по проективной и высшей геометрии, математическому анализу, теории дифференциальных уравнений. Он дал геометрическую интерпретацию дифференциальных уравнений с частными производными. Автор основополагающих работ по теории поверхностей. В 1795 опубликовал курс начертательной геометрии и “Приложение анализа к геометрии”. В 1802 совместно с Ж.Н.П.Ашеттом издал первый курс аналитической геометрии. Создал (1807) метод характеристик для решения дифференциальных уравнений с частными производными. Принимал участие в разработке основ десятичной системы мер и весов.

1. Рабочие поверхности деталей и инструментов

Zд и

д и

где D есть область интегрирования.

Вторые производные уравнения поверхностей Д И равны

2 Zд и

, Y

;

2 Zд и

д и

, Y

;

2 Zд и

, Y

д и

Xд и

д и

Yд и

Вторая основная квадратичная форма поверхности

Д И .

Для поверхности

Д И ,

описанной уравне-

нием в явной форме Zд и Zд и Xд и , Yд и

, гауссовы коэффициенты второй основной квадратичной формы

Ф2.д и рассчитываются также по упрощенным формулам:

2 Zд и

Lд и

д и

;

Mд и

д и

;

Nд и

д и

Zд и

Xд и

Yд и

Xд и

Yд и

Xд и

Yд и

обозначениях

Г.Монжа:

pд и

Zд и

qд и

Zд и

rд и

2 Zд и

sд и

2 Zд и

д и

Xд и

д и

2 Zд и

д и

1 p2

главные

радиусы

кривизны

2.д и

(помним,

что

д и

1.д и

д и

Д И находятся как корни квадратного уравнения:

R1.д и R2.д и ) поверхности

д и

2 p

д и

1 p2

д и

1 q2

0 ,

д и

а угол д – по значению производной

dYд и

из квадратного уравнения:

dXд и

dYд и

tд и pд и qд и sд и 1 q

д и

tд и 1 p

д и

rд и 1 q

д и

dXд и

д и

1 p

д и

д и д и

В трехграннике Дарбу, когда локальный участок поверхности

Д И может быть представлен в виде

zд и 12 k1.д и xд2 и k2.д и yд2 и ... ,

квадратичные формы Φ1.д и и Φ2.д и имеют особенно простой вид:

1.2. Задание рабочих поверхностей деталей и инструментов.

Расчет элементов их локальной геометрии

dr 2

dY2

;

1.д и

д и

2.д и

д и

Y2 .

д и

1.д и

д и

2.д и

д и

1.2.2.5. Неявная форма.

Аналитическое

описание поверхности

Д И уравнением в неявной форме

используется реже, чем в матричной, векторной, параметрической или в явной форме, поскольку использование такой формы задания поверхностей деталей и инструментов часто приводит к громоздким и технически

неудобным преобразованиям. Вместе с тем неявная форма аналитического описания поверхности Д И также

находит применение в задачах формообразования поверхностей при механической обработке деталей.

Уравнение поверхности Д И деталей и инструментов. При задании поверхности Д И уравнением в неявной форме декартовы координаты Xд и , Yд и , Zд и текущей точки на ней связаны уравнениями:

Д Xд, Yд, Zд 0;		Xд и , Yд и , Zд и U
И Xи, Yи , Zи 0;		Xд и , Yд и , Zд и U	(1.53)
И Xи, Yи , Zи 0;
соответственно для поверхностей	Д и И в своих системах координат. Здесь		U пространственная область,
которой определена поверхность	Д И .

Первые производные уравнения поверхности Д И рассчитываются по формулам:

, Y , Z

;

, Y , Z

;

, Y , Z

(1.54)

Xд

Yд

Zд

Yд

Аналогичные формулы справедливы для исходной инструментальной поверхности И :

, Y , Z

;

, Y , Z

;

, Y , Z

(1.55)

Xи

Yи

Zи

Уравнения первых производных (54) и (55) определяют направления, касательные к поверхности

Д И в

текущей точке на ней.

Касательная плоскость. Если поверхность

определена уравнением в неявном виде, текущая точка M

будет обыкновенной,

если

непрерывны

окрестности

этой точки и не равны нулю

одновременно:

grad Д 0

или

Тогда после дифференцирования функции

Д Xд, Yд, Zд

получаем уравнение плоскости, касательной к

поверхности детали:

КП

Y M

КП

Xд

Yд

КП

Zд

и подобное уравнение для поверхности И инструмента:

1. Рабочие поверхности деталей и инструментов

КП

Y M

КП

M 0 .

КП

Нормальная прямая к поверхности Д И , заданной неявным уравнением, определяется уравнением:

X X M		Y Y M		Z Z M
	д и		д и		д и	.
	Д		Д		Д	.
	Д		Д		Д
	Xд и		Yд и		Zд и

Простую формулу для расчета орта нормали n д и можно получить так. Дифференцируя функцию Д Д Xм, Yм, Zм трех переменных, при помощи цепного правила получаем:

d Д

Xд

Yд

Zд

0 ;

Xд

Zд

d S

Yд d S

d S

dr (S)

где r r S – уравнение произвольной кривой, лежащей на поверхности.

Таким образом вектор-градиент

(1.56)

jд

k д

перпендикулярен вектору dr (s) для любой принадлежащей поверхности Д кривой, которая проходит через dS

текущую точку на поверхности Д и в которой вычисляется Д .

Отсюда следует, что орт нормали к сложной поверхности детали может быть рассчитан по формуле

(1.57)	n д	Д	.
		Д


Очевидно, что аналогичное соотношение будет справедливо и для поверхности И инструмента:
	n и	И		.
		И

Первая	основная квадратичная форма поверхности Д И . Cоотношения (54) и (55) для первых

производных могут быть использованы для расчета коэффициентов первой основной квадратичной формы

поверхности

Д И ,

а затем самой квадратичной формы Φ1.д и .

Вторые производные уравнения поверхностей

Д И рассчитываются по формулам:

(1.58)

2 Д

, Y , Z

;

2 Д

2 Д X

, Y , Z

;

2 Д

, Y , Z

X 2

Z 2

X 2

1.2. Задание рабочих поверхностей деталей и инструментов.

Расчет элементов их локальной геометрии

Аналогичные формулы имеют место для исходной инструментальной поверхности И :

2 И

, Y , Z

;

2 И

2 И X

, Y , Z

;

2 И

, Y , Z

(1.59)

X 2

Z 2

Вторая

основная

квадратичная

форма

поверхности

Д И .

Cоотношения

(58) и

(59)

для вторых

производных могут быть использованы для расчета коэффициентов второй основной квадратичной формы поверхности Д И , а затем самой квадратичной формы Φ2.д и .

		Zu
			Vu
		ru	M
		ru	Xu
И	ru		Uu
И	ru	Y	И
		u

Рис. 1.10. К преобразованию формы аналитического описания сферической исходной инструментальной поверхности И фрезы.

– векторной

Наряду с рассмотренными выше, находят применение другие способы аналитического задания геометрической информации о поверхностях деталей и инструментов, например, задание с лишними пара-

метрами rд и rд и U д и , Vд и , Wд и , аналогичное

ему задание семейством касательных плоскостей и другие.

1.2.2.6. Преобразование видов аналитического описания поверхности Д И . Различные формы

аналитического описания поверхностей деталей и инструментов могут преобразовываться из одной в другую. Например, уравнения сферической исходной инструментальной поверхности И фрезы радиуса

rи (рис. 1.10) могут быть записаны в форме:

– матричной

	rи		cosUи sin Vи
rи	r		sin U	и	sin V
		и			и
			r cosV
			и		и
rи cosUи sin Vи			1			rи cosVи 1 T ;
		rи	sin Uи sin Vи

rи rи cosUи sin Vиiи

sin Uи sin Vиjи cosVиk и ;

– параметрической

cosU

sin V ;

Yи

rи sin Uи sin Vи;

cosV ;

– явной

2 X

У2 ;

– неявной

У2

Z 2

r 2 0.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 606 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Технология машиностроения

#
13.08.201324 Мб34Radzevich, S.P. Monograph - 2001.pdf
#
10.08.20138 Мб140Анализ и оценка технологичности конструкции деталей авиационной техники (Флек, 2005).pdf
#
13.08.20137 Мб1144Горбацевич - Курсовое проектирование по ТМ.doc
#
10.08.20132 Мб13ГОСТ 3_1702-79 - Единая система технологической документации_ Правила записи операций и переходов_ Обработка резанием.mht
#
13.08.2013949 Кб71Мешкова - Организация Технологии Отрасли.pdf
#
13.08.20134 Мб37Оптимизация Технологических Систем (укр).pdf