28. Объемное напряженное состояние

Совокупность напряжений, действующих по площадкам, проведенным через исследуемую точку, составляет напряженное состояние в рассматриваемой точке. На площадках общего положения действуют нормальные и касательные напряжения (рис. 3.1).

Рис. 3.1

Значения касательных напряжений на взаимно перпендикулярных площадках подчиняются закону парности касательных напряжений:

 Относительные деформации и напряжения связаны обобщенным законом Гука.

Площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, называются главными, а нормальные напряжения, действующие по этим площадкам, называются главными напряжениями (рис. 3.2).

Обозначение главных напряжений:

Напряженное состояние называется объемным или трехосным, если

Рис. 3.2

Относительное изменение объема:

где К – модуль объемной упругости,

Удельная потенциальная энергия упругой деформации:

полная

изменение объема

изменение формы

Относительная объемная деформация:

Изменение объема не зависит от соотношения между главными напряжениями, а зависит от суммы главных напряжений. Т.е. элементарный кубик получит такое же изменение объема, если к его граням будут приложены одинаковые средние напряжения: , тогда , где К= — модуль объемной деформации. При деформации тела, материал которого имеет коэффициент Пуассона μ= 0,5 (например, резина) объем тела не меняется.

29. Цель развития существующих феноменологических теорий прочности материалов – установить законы, по которым можно судить о начале разрушения материала при сложном напряженном состоянии, если известно поведение материала при простом растяжении, сжатии или сдвиге. Для этого на специальной машине испытывают подготовленные образцы материалов: кубики, призмы, балки или восьмерки. Под разрушением понимают либо наступление текучести материала, либо полное его разрушение.

Среди феноменологических теорий прочности наиболее известными являются следующие теории, которые принято называть «классическими» теориями прочности:

Теория наибольших нормальных напряжений.

Теория наибольших деформаций.

Теория наибольших касательных напряжений Треска.

Теория наибольшей удельной потенциальной энергии формоизменения фон Мизеса.

Теория Мора.

Условие прочности по теории Мора имеет следующий вид: σ_пр ≤ [σ]

Теория прочности Мора является наиболее полной, точной из наиболее известных теорий прочности в сопротивлении материалов. Все её положения были проверены экспериментально. Она подходит как для проверки прочности хрупких материалов (чугун, бетон, кирпич), так и для проверки на прочность пластичных материалов (низкоуглеродистая сталь). Её иногда называют V теорий прочности

30.

Расчет прочности при изгибе с кручением производится по энергетической гипотезе прочности. В опасных точках при изгибе с кручением существует плоское напряженное состояние.

.

Условие прочности при изгибе с кручением:

, где – эквивалентный момент по гипотезе наибольших касательных напряжений, а .

Если расчет вала вести по энергетической гипотезе прочности, то получимусловие прочности при изгибе с кручением: , в котором – эквивалентный момент по энергетической гипотезе прочности.

 Изгиб с кручением

Данный вид деформации имеет место когда в сечениях бруса одновременно возникают изгибающий и скручивающий моменты (рис. 7.5)

Рис. 7.5 

Условие прочности 

              

Эквивалентный момент М_экв рассчитывается по одной из гипотез прочности:

31. Понятие У. у. с. тесно связано с общим понятием устойчивости движения, в частности с понятием устойчивости по Ляпунову. Центральная задача теории У. у. с.- нахождение области в пространстве параметров системы и внешних воздействий, в пределах к-рой рассматриваемое состояние равновесия (движения) остается устойчивым. Поверхность, ограничивающая область устойчивости, наз. критической поверхностью. Часто воздействие на упругую систему задают с точностью до одного параметра  Без ограничения общности можно принять, что  причем при  имеет место устойчивость. Нижняя грань значений параметра при к-рых исследуемое равновесие (движение) перестает быть устойчивым, наз. критическим параметром. Задачи У. у. с. имеют большое прикладное значение: потеря устойчивости элементов конструкций, машин и приборов, как правило, влечет утрату несущей способности или нарушение нормальных условий эксплуатации. 

 Формула Эйлера для определения критической нагрузки сжатого стержня. Определим величину силы F, при которой форма равновесия становится неустойчивой (минимальную величину силы, при которой становится неустойчивой). Вывод основуется на допущениях: 1) Напряжение в сечениях бруса не превышает предела пропорциональности (напряжение, до которого сохраняется закон Гука), т.е. материал работает в пределах упругости. 2) Деформации бруса равны по сравнению с его размерами, тогда можно применять диф-е ур-е изогнутой оси бруса. d²W/dx²=M(x)/EI_min; M(x)= –Fx; d²W/dx²= –FW/EI_min; W″+ +(F/EI_min)W=0; k²=F/EI_min; W(x)= Asinkx + Bcoskx;  1) при x=0: W(0)=0; A∙0+B∙0=0; B=0. 2) при x=ℓ: W(ℓ)=0: W(ℓ)=Asinkℓ=0; A≠0; sinkℓ=0; kℓ=πn; k=πn/ℓ. Приравнивая k к k² получаем: n²π²/ℓ² = F/EI_min; F= n²π² EI_min /ℓ²; при n=1→F_min=F_кр

F_кр=π²EI_min/ℓ² – формула Эйлера.

32. Критическое напряжение σ_кр – это напряжение, которое возникает в сжатом брусе при нагрузке F=F_кр. σ_кр=F_кр/A=π²EI_min/Aℓ²={I_min/A= i²_min}=π²E/(ℓ/i)² – для шарнирно опертого бруса. λ _пред ={предельная гибкость}= √(π²E/σ_{пропорц}) – зависит только от свойств материала. λ ≥√(π²E/σ_{пропорц}); λ _пред ≥ λ; При решении задачи на устойчивость надо делать проверку:– посчитать λ для рассматриваемого бруса.– сравнить с λ_пред, взятым из таблиц. Если λ< λ_пред, то расчет ведут по формулам Ясинского, или только на сжатие в зависимости от величины λ. Формула Ясинского: σ_кр=a-bλ. Формула Ясинского для конструкционных материалов; a и b получены экспериментальным путем, их берут из таблиц. σ_кр=π²E/λ²; При расчетах брусьев на сжатие, необходимо определить геометрическую характеристику λ из таблиц для рассматриваемого материала, выбрать величины из таблиц λ₀ и λ_пред, и после этого определиться по каким формулам следует вести расчет на сжатие.