Алгебра лекции 2 семестр

N∑−1

F = I =1 ZI 2 + γ ZN

Определитель формы, стоящей в правой части равенства (3), равен γ . Поэтому достаточно доказать, что число γ положительно.

вид которых содержит как положительные, так и отрицательные квадраты переменных.

51

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Аргумент комплексного числа, 11 Базис ─ ортонормированный, 33

─ последовательности векторов, 19 ─ пространства, 20 Вектор, 17 ─ нормированный, 33

Векторное пространство, 17 ─ евклидово, 31 Векторное уравнение, 18 ─ однородное, 18

Геометрический смысл модуля, 11 Действительная ─ ось, 9

─ часть комплексного числа, 8 Дефект линейного оператора, 35 Изоморфизм ─ векторных пространств, 25

─ евклидовых пространств, 33 Квадратичная форма, 48 ─ вырожденная, 48 ─ невырожденная, 48

─ положительно определённая, 53 Квадратичной формы ─ главные миноры, 54 ─ канонический вид, 50 ─ матрица, 48

─ матричная форма записи, 49 ─ отрицательный индекс инерции, 53

─ положительный индекс инерции, 53 ─ сигнатура, 53 Комплексная плоскость, 9

Координатная строка (столбец) вектора в базисе, 22 Корень n-ной степени из комплексного числа, 14 Линейная выразимость, 18 Линейная комбинация векторов, 18

Линейная оболочка последовательности векторов, 23 Линейный оператор, 34 Матрица ─ квадратичной формы, 48

─ линейного оператора, 38 ─ перехода от одного базиса к другому, 41 Мнимая ─ единица, 3 ─ ось, 9

─ часть комплексного числа, 8 Модуль комплексного числа, 8 Неравенство ─ Коши –Бунявского, 32

─ треугольника, 32 Норма вектора, 31

Образ линейного оператора, 35 Ортогональное дополнение подпространства, 30 Ортогональные векторы, 29 Подпространств ─ пересечение, 24

─ прямая сумма, 25 ─ сумма, 24

Подпространство векторного пространства, 23 Поле комплексных чисел, 3, 5

52

Последовательность векторов, 18 ─ линейно зависимая (ЛЗ), 19 ─ линейно независимая (ЛНЗ), 19 ─ ортогональная, 29 ─ ортонормированная, 33 Пространство

─ векторное (линейное) над полем P, 17 ─ конечномерное, 20 Размерность пространства, 20 Ранг ─ квадратичной формы, 48

─ линейного оператора, 35 ─ последовательности векторов, 20 Скаляр, 17 Скалярное умножение, 28 ─ невырожденное, 28 ─ нулевое, 28 ─ стандартное, 28

Собственное значение линейного оператора, 44 Собственный вектор линейного оператора, 44 Сопряжённое число, 8 Спектр линейного оператора, 47 Теорема

─ закон инерции квадратичных форм, 53 ─ критерий подпространства, 23

─ критерий положительной определённости квадратичной формы, 54 ─ критерий Сильвестра, 54 ─ о вычислении линейного оператора по его матрице, 38

─ о действиях с комплексными числами в алгебраической форме, 5 ─ о действиях с комплексными числами в тригонометрической форме, 12 ─ о корнях n-ной степени из 1, 14

─ о корнях n-ной степени из комплексного числа, 15

─ о линейной независимости собственных векторов, принадлежащих разным собственным значениям, 46 ─ о простейших свойствах векторных пространств, 17

─ о простейших свойствах изоморфизма, 25 ─ о простейших свойствах скалярного умножения, 28

─ о свойствах базиса последовательности векторов, 20 ─ о свойствах координатных строк, 22

─ о свойствах линейной зависимости и линейной независимости, 19 ─ о свойствах модуля комплексного числа, 9 ─ о свойствах операторов с простым спектром, 47 ─ о свойствах ортогонального дополнения, 30 ─ о свойствах сопряжённого, 8

─ о связи матриц линейного оператора в разных базисах, 43 ─ о существовании базиса подпространства, 25 ─ о существовании тригонометрической формы, 11

─ об изменении матрицы квадратичной формы при линейном преобразовании, 49 ─ об ортогональных последовательностях векторов, 29

─ об элементарных преобразованиях, 21 ─ основная лемма о линейной зависимости, 19 ─ основная о квадратичных формах, 50

─ простейшие свойства линейного оператора, 34 ─ процесс ортогонализации, 30 ─ свойства матрицы перехода, 42

─ свойства нормы в евклидовом пространстве, 31 Форма записи комплексного числа ─ алгебраическая, 4 ─ тригонометрическая, 12 Формула

─ корней n-ной степени из 1, 14

53

─ корней n-ной степени из комплексного числа, 15 ─ Муавра, 13

Характеристический многочлен линейного оператора, 45 Характеристическое уравнение линейного оператора, 45 Эквивалентные последовательности векторов, 20 Элементарные преобразования последовательностей векторов, 20 Ядро линейного оператора, 35

54