Алгебра лекции 2 семестр

Так как U V , то все свойства, выполняющиеся для любых векторов

из V и скаляров из P выполняются и в U. Проверяем выполнимость

остальных аксиом.

. Тогда вектор 0 A U , т.к.

Так как U ≠ , то существует A U

0 A = θ , то

θ U .

(

−1 A U , но

(

−1 A = −A ,

Пусть A U

. Возьмем −1 P . Тогда

)

)

поэтому −A U . В результате все аксиомы векторного пространства

выполняются и U – пространство над полем P.

В обратную сторону утверждение тривиально.▲

ПРИМЕРЫ.

последовательности векторов.

1) Линейная оболочка

Пусть A1,A2,…,AN V

и не все векторы нулевые. Обозначим

L = L

(

A1; A2;…; AN

)

{

+ …+ αN

AN

αI P

}

–

= α1 A1 + α2 A2

множество всех линейных комбинаций последовательности векторов

A1,A2,…,AN

с коэффициентами из поля

P. Множество

L называется

линейной оболочкой последовательности векторов A1,A2,…,AN .

Множество L является подпространством пространства V.

Действительно,

θ = 0 A1 + 0 A2 + …+ 0

AN

)

. По определению L и

L ≠ , т.к.

θ L

(

свойствам векторного пространства L V .

Если

A,B L , то

A = α1 A1 +

α2 A2 + …+ αN AN , B = β1 A1 + β2 A2 + …+ βN AN .

A + B = (α1 + β1) A1 + (α2 + β2 ) A2 + …+ (αN + βN ) AN , следовательно,

A + B L .

и α P , то

Если

A L

α A = α (α1 A1 + α2 A2 + …+ αN AN ) =

= (α α1) A1 + (α α2 ) A2 + …+ (α αN ) AN

и, следовательно,

α A L .

По критерию подпространства L является подпространством

векторного пространства V над полем P.

2) Пересечение подпространств.

Пусть

U1,U

2 – подпространства пространства V над полем P.

Обозначим

U = U1 ∩U2 . Тогда U – подпространство пространства V

над полем P.

(ибо θ U1 и θ U2 ).

Действительно, U V ; U ≠ , т.к. θ U

Если

A,B U , то

A,B U1 ∩U2

. Значит, A,B U1 и A,B U2 . Так как

U1,U2

– подпространства, то

A + B U1

и A + B U2 . Но тогда

A + B U1 ∩U2 , т.е. A + B U .

и A U1, A U2 . Тогда

Если

A U

и α P

, то A U1 ∩U2

α A U1, α A U2

и α A U1 ∩U2

, т.е.

α A U .

По критерию U – подпространство векторного пространства V.

СЛЕДСТВИЕ. Индукцией по k можно доказать, что пересечение k

подпространств

U1,…,UK пространства V над полем P является его

подпространством.

3) Сумма подпространств.

Пусть

U1,U

2 – подпространства пространства V над полем P.

Обозначим

= {A + B

A U1, B U2} .

U = U1 + U2

Тогда

U – подпространство векторного пространства V.

Действительно, для любых A U1 и B U2 имеем A + B V , значит,

U V . U ≠ (θ U ) . Пусть X,Y U . Тогда x = a1 + b1,

y = a2 + b2 , где

A1,A2 U1 , B1,B2 U2 , и

x + y = (a1

+ b1) + (a2 + b2 ) = (a1 + a2 )

+ (b1 + b2 ) U1

+ U2 .

Если X U

и α P , то X = A + B , где A U1, B U2

и

α X = α (A + B ) = α A + α B U1

+ U2 .

X,Y U

и α P . По критерию

Значит, X + Y U

и α X U для любых

U является подпространством векторного пространства V.

СЛЕДСТВИЕ. Индукцией по k

можно доказать, что сумма k

подпространств векторного пространства V над полем P является

его подпространством.

При этом, из определения суммы

подпространств и аксиом пространства следует, что для любых

подпространств

U1,U2,U3

векторного пространства V над полем P

выполняются свойства:

)

(

)

U1 + U2 = U2 + U1

(

2

.

и U1 + U

+ U3 = U1 + U2 + U3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Сумма U1 +U2 называется прямой суммой

подпространств

U1,U2

векторного пространства

V над P ,если

U1 ∩U2 = θ

} .

Заметим, что сумма U1 +U2 прямая тогда и только тогда, когда для

любых A1,A2 U1

и B1,B2 U2 из равенства A1 + B1 = A2 + B2 следует,

что A1 = A2

и B1

= B2 .

+ B1 = A2

+ B2 , то A1 − A2 = B2 − B1 . Правая часть

Действительно, если A1

равенства принадлежит U1,

а левая часть – U

2. Так как

U1 ∩U2 = θ

, то a1 − a2

= θ

и b2 − b1 = θ

и, следовательно,

A1 = A2 и B1

= B2

. В обратную сторону утверждение очевидно.

Прямая сумма подпространств

U1

и U2

обозначается U1 U2 .

Для произвольных векторных пространств и их подпространств, так

же как и для арифметических пространств, верна теорема о

существовании базиса.

ТЕОРЕМА (о существовании базиса подпространства). Если U –

ненулевое подпространство n-мерного векторного пространства V

над полем P, то U имеет базис с количеством векторов меньшим

или равным n.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству для случая

арифметических пространств.

ЗАМЕЧАНИЯ. 1). Базисом линейной оболочки ненулевой

последовательности векторов ( ) A1,A2,…,AN является любой базис

последовательности ( ) .

2). Если подпространства U1,U2 – конечномерные и

Б1= a1; a2;…; aK

, Б2= b1; b2;…; bM

их базисы соответственно, то

базисом суммы подпространств U1 +U2 будет базис

последовательности A1,A2,…,AK ,B1,B2,…,BM . Если при этом

U1 ∩U2 = θ

}

, т.е. сумма U1 и U2 прямая, то базисом U1 U2

{

является последовательность векторов Б = a1; a2;…; aK ; b1; b2;…; bM .

§3. Изоморфизм векторных пространств

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть V,U – некоторые векторные пространства над

полем P. Взаимно однозначное отображение f пространства V на

пространство U называется

изоморфизмом, если для любых векторов

A,B V и любого скаляра

λ P

выполняются условия:

1) F (A + B ) = F (A ) + F (B )

;

V, действующее по правилу: если A V и F (A ) = X U , то f −1 ( x ) = a .

Докажем, что для F −1 выполнены оба условия изоморфизма.

Действительно, для любых X,Y U имеем

f ( f −1 (x + y )) = x + y ,

f ( f −1 (x ) + f −1 (y )) = f ( f −1 (x )) + f ( f −1 (y )) = x + y ,

т.е. f ( f −1 (x + y )) = f ( f −1 (x ) + f −1 (y )) . В силу взаимной

однозначности отображения f получаем, что

f −1 ( x + y ) = f −1 (x ) + f −1

(y ) .

Аналогично, для любого

X U и α P имеем

F ( F −1 (α X )) = α X,

Значит, g f – изоморфизм и V W . ▲

Изоморфизм конечномерных векторных пространств

В этом пункте будем рассматривать n-мерные ненулевые

векторные пространства, т.е. при N > 0 .

ТЕОРЕМА 15. Пусть V – n-мерное векторное пространство над

полем P. Тогда V изоморфно арифметическому векторному

пространству PN .

– базис пространства

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Б = a1; a2;…; aN

V над полем P, f – правило, ставящее каждому вектору A V

[

]

(

)

его координатную строку A

Б . Если

α1; α2;…; αN

PN , то для

вектора A = α1 A1 + α2 A2 + …+ αN AN

получаем, что

пространств V и PN , V PN . ▲

ТЕОРЕМА 16. Пусть U, V – конечномерные векторные

пространства над полем P. Пространства U и V изоморфны

тогда и только тогда, когда равны их размерности.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть DIMU = DIMV = N > 0 . По теореме 15

U PN и V PN

. Из теоремы 14 следует, что U V .

Наоборот, пусть

U V

, оба пространства конечномерные и f –

изоморфизм пространства U на пространство V. Выберем

базис Б1 = a1; a2;…; aN

пространства U. Тогда

последовательность векторов Б2 = f (a1) ; f (a2 );…; f (aN )

является базисом пространства V.

Действительно, если X V , то существует A U такой, что

F (A ) = X . Но A = α1 A1 + α2 A2 + …+ αN AN . Поэтому

X = F (A ) = F (α1 A1 + α2 A2 + …+ αN AN ) =

= α1 F (A1) + α2 F (A2 ) + …+ αN F (AN )

,

Б2 .

т.е. любой вектор из V линейно выражается через векторы

Докажем, что последовательность Б2

– линейно независима.

Пусть

γ1 F (A1) + γ2 F (A2 ) + …+ γN F (AN ) = θV .

Тогда

F (γ1 A1 + γ2 A2 + …+ γN AN ) = F (θU ) .

(A, B) = ∑N αI βI = α1 β1 + α2 β2 + …+ αN βN .

I =1

Стандартное умножение в N является невырожденным.

2. В PN можно определить и вырожденное скалярное умножение,

если взять, например,

(

A, B

)

= α1 β1

(

N > 1 .

)

]

функций

3. Пусть C – множество всех непрерывных на отрезке A;

B

из

[

в . В качестве операций возьмём обычное сложение функций

и умножение функций на скаляр. Нетрудно доказать, что оно будет

векторным пространством над полем

. Скалярное умножение на

этом пространстве можно задать по правилу:

( f , g ) = B∫

f (x ) g (x ) dx .

A

17 (о простейших свойствах скалярного умножения). Для

ТЕОРЕМА

любых векторов A,B, A1, A2,…, AK векторного пространства V над

полем P, с заданным на нём скалярным умножением, и скаляров

∂,α1,α2,…,αK из P выполняются следующие свойства.

1)

(∂ A, B ) = ∂ (A, B ) .

2)

(A, θ ) = 0 .

3) (α1 A1 + α2 A2 + …+ αK AK, B ) =

= (B, α1 A1 + α2 A2 + …+ αK AK ) =

= α1 (A1,B) + α2 (A2, B) + …+ αK (AK ,B) .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

1)

(A, B ) = ∂ (A, B ).

(∂ A, B ) = (∂ A + 0 A, B ) = ∂ (A, B ) + 0

Последовательность векторов A1,A2,…,AK

из V называется

ортогональной, если её векторы попарно ортогональны

(Ai , Aj ) = 0 при i ≠ j и 1 ≤i, j ≤k .

Ортогональная последовательность векторов, являющаяся

базисом пространства V, называется ортогональным базисом.

ТЕОРЕМА 18 (об ортогональных последовательностях векторов).

Пусть V – векторное пространство над полем P с заданным

на нем невырожденным скалярным умножением. Тогда любая

ортогональная последовательность ненулевых векторов

линейно независима.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть ( ) A1,A2,…,AK – ортогональная

последовательность ненулевых векторов пространства V и

α1 A1 + α2 A2 + …+ αK AK = θ .

(1)

Положим B1 = C1 . Вектор B2

будем искать в

виде B2 = C

2 + α21 B1 и удовлетворяющим условию (B1, B2 ) = 0 .

Имеем:

0 = (B1, B2 ) = (B1, C2 + α21 B1) = (B1, C2 ) + α21 (B1, B1)

и т.к. B1 ≠ 0 , то (B1, B1) ≠ 0

и α21 = − (C2,B1) .

(B1, B1)

Вектор B3

будем искать в виде B3 = C3 + α31 B1 + α32 B2 и

удовлетворяющим условиям (B1, B3 ) = (B2, B3 ) = 0 . Аналогично

предыдущему находим α31

(C3, B1)

(C3,B2 )

= − (B1, B1) , α32 = −

(B2, B2 ) .

Если векторы B1,B2,…,BS−1

уже найдены, то вектор

BS (2 ≤S ≤M ) ищем в виде:

BS = CS + αS1 B1 + αS2 B2 + …+ αSS−1 BS−1

и с условиями (B1, BS ) = (B2, BS ) = …= (BS−1, BS ) = 0 .

Умножив BS на BT , T

= 1,2,…,S −1 , находим αST

(CS , BT )

= − (BT , BT ) .

Полученные векторы

(2) B1,B2,…,BM образуют ортогональную

последовательность. По теореме 11 получаем, что (1) (2) ,

значит, в (2) нет нулевых векторов. По свойствам

эквивалентности

( )

(1) (2) заключаем, что (2) –

ортогональный базис линейной оболочки последовательности

( ) . ▲

Ортогональное дополнение подпространства

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть

V

– векторное пространство над полем P с

невырожденным скалярным умножением и L – его

подпространство. Ортогональным дополнением

подпространства

L

называется множество

L = { A V

(A, B )

=

0

для любого вектора B L

} .

ТЕОРЕМА 20

(о свойствах ортогонального дополнения). Пусть V

– векторное пространство над полем P с невырожденным

скалярным умножением, L – его подпространство. Тогда

выполняются следующие свойства.

1) L – подпространство пространства V над P.

2) Если L конечномерное, то V = L L .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) θ L , значит, L ≠ . L V по

определению. Пусть A,B L . Тогда для любого вектора C L

имеем (A, C ) = 0 ,

(B, C ) = 0 . Но в этом случае

(A + B, C ) = (A, C ) + (B, C ) = 0 + 0 = 0 . Значит, A + B L .

Пусть A L , α P

и c – произвольный вектор из L. Тогда

(A, C ) = 0 и (α A, C ) = α (A, C ) = α 0 = 0 , т.е. α A L . По

критерию подпространства получаем, что L –

подпространство пространства V.

{

}

2) Если A L ∩ L , то

(

A, A

)

и

= 0 и A = θ . Значит, L ∩ L = θ

сумма L и L – прямая.

Если L = θ

}

, то L = V

и V = L L .

{

}

и т.к. L – конечномерное, то в L

Допустим, что L ≠ θ

{

евклидовым векторным пространством.

ПРИМЕР. Арифметическое векторное пространство с заданным на нем

стандартным скалярным умножением является евклидовым

пространством.

ОБОЗНАЧЕНИЕ.

EN .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.

Нормой вектора a евклидова векторного пространства

E над полем называется величина

A

= (A, A) , т.е. корень

квадратный из скалярного квадрата

вектора a.

ТЕОРЕМА 21 (свойства нормы в евклидовом пространстве).

Для любых векторов a,b евклидова пространства E над и любого

α выполняются следующие свойства.

1)

A

≥

0 и

A

= 0 A = θ .

2)

α A

=

α

A

.

3)

(A, B)

≤

A

B

(неравенство Коши –Бунявского).

4)

A +B

≤

A

+

B

(неравенство треугольника).

Д

ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Свойства 1) и 2) следуют из определения нормы и

определения арифметического квадратного корня из действительного

числа.

3) Если A = θ или B = θ , то неравенство верно. Пусть A ≠ θ, B ≠ θ .

Тогда для любых

α,β по определению евклидова пространства

верно неравенство

(α A − β B, α A −

β B) ≥ 0

Положим, что α =

B

,

β =

A

. Тогда, подставив в последнее

неравенство, получим

2 (

A

B

)2 − 2

A

B

(A, B) ≥ 0 .

− (A, B) ≥ 0 или

Так

как A ≠ θ, B ≠ θ , то

A

B

> 0 и, значит,

A

B

(A, B) ≤

A

B

. Если заменить A на −A и заметить, что

− A

=

A

и

(−A,B) =

− (A, B) , то получим − (A, B) ≤

A

B

. В результате

(A, B)

≤

A

B

.

A +B

2 ≤(

A

+

B

)2 . Действительно,

4) Докажем сначала, что

A + B

2 = (A + B, A + B) = (A,

A) + 2

(A, B) + (B, B) =

=

A

2 +

B

2 + 2 (A, B) ≤

A

2 +

B

2 + 2

A

B

= (

A

+

B

)2 ,

т.е.

A +B

2 ≤(

.

▲

+

B

)2 . Так как значения нормы неотрицательны, то

A + B

≤

A

+

B